Тема уроку.  Розв'язування задач на знаходження відстані між мимобіжними прямими.

Мета уроку: формування вмінь учнів у знаходженні відстані між двома мимобіжними прямими.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями № 13—15 та пе­ревірка правильності розв'язання домашньої задачі.

2. Математичний диктант.

Дано зображення куба: варіант 1 (рис. 229); варіант 2 (рис. 230). Реб­ро куба дорівнює а.

Знайдіть відстань між прямими:

1) АВ і LK;  2) АХ і CN;   3) AN і KM;

4) DL і AB;   5) AL і ВК;   6) KN і АВ. (Кожне завдання — 2 бали), 

Відповідь.  Варіант 1. 1) а; 2) а; 3) а;

4) ; 5) ; 6) а. 

Варіант 2. 1) а; 2) а; 3) ; 4) а; 5) ; 6) а.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач, які допомагають знаходити відстань між двома мимобіжними прямими

Задача 1.

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної цій прямій площини, яку проведено через другу пряму. Довести.

Розв'язання

Відстань між мимобіжними прямими a і b (рис. 231) дорівнює відстані між паралельними площинами α і β, що проходять через ці прямі (а α, b β). Візьмемо довільну точку А на прямій а. Оскільки А α, то відстань від точки А до площини β дорівнює відстані між площинами α і β, а, отже, вона є відстанню між прямими а і b. Відстань від точки А до площини β є відстанню від прямої а до площини β.

Задача 2.

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між їх прое­кціями на площину, перпендикулярну до однієї з цих прямих. Довести.

Розв'язання

Нехай α а . Спроектуємо (ортогонально — перпендикулярно) обидві прямі а і b на площину α (рис. 232). Проекцією прямої а є точка А, а проекцію прямої b є пряма b₁. Проведемо площину β через прямі b і b₁. β || α, оскільки будь-яка проектуюча пряма площини β паралельна а. α β, тому перпендикуляр, проведений з точки А до прямої b₁, буде перпендикуля­ром і до площини β. Цей перпендикуляр є відстанню від прямої а до парале­льної їй площини β, а, отже, і відстанню між мимобіжними прямими а і b.

Розв'язування задач

1. Через вершину А трикутника ABC проведено пряму а, перпендику­лярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ =13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. (Відповідь. 12 см.)
2. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і KD; 2) KD і АС. (Відповідь. 1) 5 см; 2) см.)
3. Прямокутники ABCD і АВМК лежать у різних площинах. Сума їх периметрів дорівнює 46 cm, AK = 6 cm, BC = 5 см. Знайдіть від­стань між прямими AK і BC. (Відповідь. 6 см.)
4. Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпен­дикуляр МО до його площини; МО = а , АВ = 2а . Знайдіть від­стань між прямими: 1) АВ і МО; 2) ВD і МС. (Відповідь. 1) а; 2) а.)

5. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а і b (рис. 233).

Рис. 233

(Відповідь, а) 5 см; б) 5 см; в) 5 см; г) см; д)   ; е) см.)

III. Домашнє завдання

§ 3, п. 21; контрольні запитання № 13—15. Розв'язати наступну задачу.

Через вершину С прямого кута трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну до його площини. АС = 15 см, BC = 20 см. Знайдіть відстань між прямими а і АВ.(Відповідь. 12 см.)

Повторити п. 13 § 2.

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Як можна знайти відстань між двома даними мимобіжними прямими?

2) Через вершину А прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено перпендикуляр SA до площини трикутника, СК — висо­та трикутника. Відомо, що АС = 3 см, АВ = 5 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) спільним перпендикуляром прямих SA і ВС є відрізок АВ;

б) відстань між прямими SA і ВС дорівнює 3 см;

в) відстань між прямими SA і СК дорівнює відстані між точкою А і прямою СК;

г) відстань між прямими SA і СК дорівнює 1,8 см.