Розв’язування задач з теми Залежність між кутами в піраміді

Розв’язування задач з теми Залежність між кутами в піраміді

 При вивченні піраміди в 11 класі корисно вміти використовувати різні прийоми для обчислення її елементів та подальшого обчислення площі поверхні та об’єму.

 Особливу увагу варто приділити кутам, бо їх в піраміді чимало, згадаємо найвідоміші:

– плоскі кути в основі піраміди;

– кут між бічним ребром та площиною основи α;

– кут між бічною гранню та площиною основи β;

– плоскі кути бічних граней при вершині γ;

– двогранний кут при бічному ребрі φ;

– кут між висотою та бічним ребром;

– кут між висотою та бічною гранню, і це ще не весь перелік.

 Розглянемо залежність між кутами правильної  піраміди.

Задача 1

Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює . Знайдіть  кут нахилу бічного ребра до площини основи.

Розв’язання:

 Розглянемо традиційне розв’язання за допомогою введення допоміжного лінійного елемента.

 Нехай АМ = m, АМ = МС, отже АС = 2 m. Позначимо шуканий  SAO = x.

З ∆ASM, М = 90^о:   ASM = , 

З ∆ASО, О = 90^о: АО = R₃=  

а отже,  

 Якщо за допоміжний елемент позначити бічне ребро SA = m, то

З ∆ASM, М = 90^о:   ASM = , 

З ∆ASО, О = 90^о: АО = R₃=  

З ∆AMО, M = 90^о:

 Існує третій, цікавій спосіб розв’язання даної задачі, який можна запропонувати учням на математичному гуртку. Він пов’язаний з поняттям елементарного тетраедра.

 Елементарним тетраедром називають таку трикутну піраміду, всі грані якої є прямокутними трикутниками. Для Задачі 1 таким тетраедром є SOMA.

Послідовність застосування такого тетраедра полягає в декільках кроках.

1) Для шуканого кута SAO будемо шукати таку тригонометричну функцію, яка пов’язує відрізки, що належать граням з відомими гострими кутами:

2) Визначаємо третій відрізок, який виходить зі спільної точки А цих відрізків – це  АМ. Отже  чисельник та знаменник отриманого відношення поділимо на АM.

Відповідь:    

 Можна також запропонувати учням ще один алгоритм, описаний в підручнику геометрії 11 класу Олександра Істера на сторінці 50, який містить наступні кроки:

Задача 2

Знайти плоский кут при вершині та двогранний кут при ребрі основи правильної трикутної піраміди, якщо бічне ребро утворює з площиною онови кут β.

Розв’язання:

 За шуканий плоский кут при вершині виберемо   АSB,    де  АSB = 2ASM .  А  шуканий двогранний кут при ребрі основи вимірюється  лінійним  кутом SMО.

 Застосуємо елементарний тетраедр SAMO. За умовою МАО = 30^о, SAO = β.

Для кута ASM –    

чисельник та  знаменник отриманого відношення ділимо на АО:   

а шуканий   плоский кут при вершині,   

Для кута SMО –    

чисельник та  знаменник отриманого відношення ділимо на АО:

Відповідь: плоский кут при вершині дорівнює ,

а двогранний кут при основі 

Задача 3

Знайти об’єм кулі, вписаної в правильну чотирикутну піраміду з плоским кутом при вершині та стороною основи а.

Розв’язання:

 Розглянемо  правильну  піраміду  SABCD,  

АВ = а, ASB= α.

SM – апофема, тому ASM =

  де r = ОК – радіус вписаної кулі.

З  ∆КОМ,  О = 90о : ОМ =, нехай   SMO  = x,  де МК – бісектриса  цього кута, тоді  КМО = ,

, тоді    

 Обчислимо кут  х з використанням елементарного тетраедра SOAK.

Розглянемо –  

 Застосуємо відому тригонометричну формулу  тангенса половинного кута

 Тепер можна знайти об’єм     

Відповідь: