Самостійні і контрольні роботи за курс алгебри 10 - 11 клас

ТЕМАТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самостійні і контрольні роботи

за курс алгебри

10 -11 клас

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

Передмова…………………………………………………...............................4

Розділ І. Тригонометричні функції

Самостійні роботи

Тема 1. Функції…………………………………………..............................5

Тема 2. Перетворення графіків функцій……………………......................9

Тема 3. Тригонометричні функції……………………………....................14

Тематичне оцінювання (теми 1 — 3). Контрольна робота № 1…............18

Самостійні роботи

Тема 4. Співвідношення між тригонометричними

функціями одного і того ж аргументу……………....................21

Тема 5. Тригонометричні функції суми і різниці

двох чисел та подвійного аргументу………………...................25

Тема 6. Формули зведення……………………………….............................28

Тема 7. Перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток ……..............................................…....................................33

Тематичне оцінювання (теми 4 — 7). Контрольна робота № 2…..............37

Розділ ІІ. Тригонометричні рівняння і нерівності

Самостійні роботи

Тема 8. Обернені тригонометричні функції……………….........................41

Тема 9. Тригонометричні рівняння….……………………..........................44

Тема 10. Тригонометричні нерівності……………………...........................46

Тематичне оцінювання (теми 8 — 10). Контрольна робота № 3…............49

Розділ ІІІ. Степенева функція

Самостійні роботи

Тема 11. Корінь п-го степеня………………………….................................51

Тема 12. Ірраціональні рівняння….……………………..............................55

Тема 13. Степінь з раціональним показником……….................................58

Тематичне оцінювання (теми 11 — 12). Контрольна робота № 4….........62

Розділ ІV. Показникова і логарифмічна функція

Самостійні роботи

Тема 14. Показникова функція…………………………...............................66

Тема 15. Показникові рівняння….……………………..................................69

Тема 16. Показникові нерівності………………………………....................71

Тематичне оцінювання (теми 14 — 16). Контрольна робота № 5…..........73

Самостійні роботи

Тема 17. Логарифм числа………………………………................................77

Тема 18. Логарифмічна функція……………………………….....................80

Тема 19. Логарифмічні рівняння………………………………....................83

Тема 20. Логарифмічні нерівності………………………………..................85

Тематичне оцінювання (теми 16 — 20). Контрольна робота № 6..............87

І. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

ТЕМА 1. ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ

Самостійні роботи 

 

Самостійна робота № 1

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Функція у = f(x) — непарна. Відомо, що f(5) = ‑12. Знайти f(‑5).

 2) Функція y = (x) — спадна на області визначення. Записати в порядку зростання значення функції: (0); (‑5); (12).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = ‑3x;   2) ; 3) y = x² – 4x + 3.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = x⁴ + 5x² ‑ 3.

3. Знайти координати вершини параболи y = 2x² – 8x + 1 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(6; 3), яка проходить через точку С(4; 7). Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції:  f(7,4) і f(6,8).

3. Дослідити на парність функцію .

 

 Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Функція у = f(x) — парна. Відомо, що f(17) = 100. Знайти f(‑17).

 2) Функція y = h(x) — зростаюча на області визначення. Записати в порядку збільшення значення функції: h(0); h(20); h(‑1).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 4x;   2) ;  3) y = x² – 4x ‑ 5.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ;  б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = 4x⁵ ‑ 17x³ + x.

3. Знайти координати вершини параболи y = 3x² – 12x + 3 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(‑1; 3), яка проходить через точку з ординатою ‑4. Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції:  f(1,6) і f(2,2).

3. Дослідити на парність функцію .

 

 Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Функція у = (x) — парна. Відомо, що (0,2) = ‑12. Знайти (‑0,2).

 2) Функція y = f(x) — спадна на проміжку . Записати в порядку збільшення значення функції: f(14); f(0); f(3).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 3x + 1;  2) ; 3) y = x² – 6x + 5.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = x⁷ – x³ +5х.

3. Знайти координати вершини параболи y = ‑2x² + 4x + 1 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(1; 3), яка перетинає пряму у = 4. Знайти проміжки зростання і спадання функції і порівняти значення f(‑41) і f(‑10).

3. Дослідити на парність функцію .

 Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Функція у =(x) — непарна. Відомо, що (‑3) = 17. Знайти (3).

 2) Функція y = f(x) — зростаюча на проміжку . Записати в порядку збільшення значення функції: f(20); f(0); f(1).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 4x ‑ 1;  2) ;  3) y = x² – 6x +8 .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = 4x⁶ + 2x⁴ + 3.

3. Знайти координати вершини параболи y = ‑3x² + 18x + 3 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(1; 3), яка не перетинає пряму у = 4. Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції f(17) і f(27).

3. Дослідити на парність функцію .

 

ТЕМА 2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

 

Самостійна робота № 2

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у = x³ в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на 5 одиниць;

  в) розтягу від абсцис у 4 рази;

  г) стиску до абсцис удвічі;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 6 одиниць;

  е) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на – 4 одиниці.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = x²; y = ‑x²; y = x² + 1; y = (x + 4)².

2. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(‑3; 0),  В(0; 2) і С(3; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 3f(x); в) у = f(x); г) у = ‑3f(x).

3. Побудувати графік функції y = (x – 2)²+ 3.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від абсцис у 4 рази і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (3; 5).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = ‑(x + 3)² + 8.

3. Записати функції, графіки яких утворюються з графіка функції y = (x) в результаті його:

  а) стиску осі ординат у 3 рази; 

  б) розтягу від осі ординат у 7 разів;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC де А(‑4; 0), В(0; 2) і С(4; 0).Побудувати графік функції:

  а) y = (4x);  б) .

2. Побудувати графік функції .

3. Побудувати графік функції .

 

 Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на ‑3 одиниці;

  в) розтягу від осі абсцис у 7 разів;

  г) стиску до осі абсцис у 3 рази;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 8 одиниць;

  е) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на – 5 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = x³; y = ‑x³; y = x³ ‑ 8; y = (x ‑ 4)³.

2. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(0; 0),  В(2; 3) і С(4; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = ‑2f(x); г) у = f(x).

3. Побудувати графік функції y = (x + 2)² ‑ 4.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) стиску графіка функції до осі абсцис у 3 рази і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (‑2; 7).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = ‑(x ‑ 2)² + 4.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 5 разів;

  б) розтягу від точки (0; 0) вздовж осі абсцис у 3 рази;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(‑3; 0), В(0; 4) і С(3; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (3x);  б) .

2. Побудувати графік функції .

3. Побудувати графік функції .

 

 Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення вздовж осі у на ‑5 одиниці;

  в) розтягу від точки (0; 0) вздовж осі ординат у 3 рази;

  г) стиску до точки (0; 0)  вздовж осі ординат у 4 рази;

  д) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на 7 одиниць;

  е) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на – 6 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = ; y = ‑; y =  + 2; y = .

2. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(‑2; 0),  В(0; 4) і С(2; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = f(x); г) у = ‑f(x).

3. Побудувати графік функції y = (x ‑ 1)² + 3.

 

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від осі абсцис у 5 разів і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (4; ‑5).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = ‑(x + 2)² + 4.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 7 разів;

  б) розтягу від осі ординат у 2 рази;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = ‑

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(0; 0), В(3; ‑2) і С(6; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (3x);  б) .

2. Побудувати графік функції , подавши її у вигляді .

3. Побудувати графік функції .

 

 Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на ‑2 одиниці;

  в) розтягу від осі абсцис у 3 рази;

  г) стиску до осі абсцис у 4 рази;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 5 одиниць;

  е) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на – 6 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = ; y = ‑; y =  ‑ 2; y = .

2. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(1; 0),  В(3; 4) і С(5; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = f(x); г) у = ‑f(x).

3. Побудувати графік функції y = (x ‑ 3)² ‑ 8.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від осі абсцис у 5 разів і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (‑4; ‑7).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = ‑(x + 2)² ‑ 1.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 10 разів;

  б) розтягу від осі ординат у 5 разів;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = ‑

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(0; 0), В(2; 2) і С(4; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (2x);  б) .

2. Побудувати графік функції , подавши її у вигляді .

3. Побудувати графік функції .

 

ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

 

Самостійна робота № 3

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола (0; 0) на кут  радіан відображається у точку P_ . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = cos x на проміжку .

2. Обчислити:

 1) sin 0 + cos 180 + ctg 90;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = 2tg x; б) ;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 2sin x; б) y = cos x + 3.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло із центром у початку координат, узявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (₁ і ₂) такі, що sin  = ; 

 б) кути  (₁ і ₂) такі, що tg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 2sin x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 3cos x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = tg .

3. Знайти період функції:

  а) y = sin 4x;  б) y = cos ;  в) y = tg 2x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2sin  і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = tg x + |tg x|.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0;0) на кут  радіан відображається у точку P_ . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = sin x на проміжку .

2. Обчислити:

 1) sin 90 + cos 0 + tg 0;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = ‑3tg x; б) ;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 4sin x; б) y = cos x + 5.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло із центром у початку координат, узявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (₁ і ₂) такі, що cos  = ; 

 б) кути  (₁ і ₂) такі, що ctg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 3cos x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 4sin x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = ctg .

3. Знайти період функції:

  а) y = sin 2x;  б) y = cos ;  в) y = ctg 2x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4cos  і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = ctg x + |ctg x|.

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  радіан відображається у точку P_ . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = tg x на проміжку .

2. Обчислити:

 1) 2sin 30 + cos 30;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = tg x; б) y = 2ctg x;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = cos x; б) y = sin x + 7.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (₁ і ₂) такі, що sin  = ; 

 б) кути  (₁ і ₂) такі, що ctg  = ‑2.

2) Побудувати графік функції y = 3sin x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = ‑3sin x + 4.

2. Знайти область визначення функції y = tg 4x.

3. Знайти період функції:

  а) y = sin ;  б) y = cos 4x;  в) y = tg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3sin 4x і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = sin x + |sin x|.

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  радіан відображається у точку P_ . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = ctg x на проміжку .

2. Обчислити:

 1) cos 45 + sin 60;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції:  а) y = 0,1tg x; б) y = 4,3ctg x.

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 2cos x; б) y = sin x + 10.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (₁ і ₂) такі, що cos  = ; 

 б) кути  (₁ і ₂) такі, що tg  = ‑2.

2) Побудувати графік функції y = 2cos x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = ‑2cos x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = ctg 4x.

3. Знайти період функції:

  а) y = sin ;  б) y = cos 8x;  в) y = ctg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3cos 2x і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = cos x + |cos x|.

 

 

 

 

Тематичне оцінювання: теми 1 — 3

Контрольна робота 1

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  відображається у точку P_ . Виконати рисунок, узявши за одиничний відрізок 5 клітинок, і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = sin x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення синуса дорівнює .

2. Знайти область визначення функції:

 а) ; б) y = 4cos x; г) y = 8tg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 10sin x; б) y = 12 + cos x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4sin x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 5cos x + 8.

2. Знайти область визначення функції y = tg 2x.

3. Знайти період функції: а) y = sin ; в) y = ctg 8x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3cos  і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .
3. Побудувати графік функції y = |tg x|.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  відображається у точку P_ . Виконати рисунок, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки, і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = cos x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення косинуса дорівнює ‑.

2. Знайти область визначення функції:

 а) ;  б) y = ‑5cos x;  г) y = 10tg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 12sin x; б) y = 14 + cos x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4cos x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 12sin x + 3.

2. Знайти область визначення функції y = ctg .

3. Знайти період функції: а) y = cos 6x;   в) y = tg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3sin 2x і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = |ctg x|.

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  відображається у точку P_ . Виконати рисунок, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = tg x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення тангенса дорівнює 1.

2. Знайти область визначення функції:

 а) ;  б) y = 12sin x;  г) y = 16ctg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 14sin x; б) y = 7 + cos x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = ‑2sin x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = ‑4cos x + 3.

2. Знайти область визначення функції y = tg  + 1.

3. Знайти період функції: а) y = cos ;  в) y = tg 6x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2cos  і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = tg |x|.

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P₀ (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут  відображається у точку P_ . Виконати рисунок, узявши за одиничний відрізок 4 клітинки і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = ctg x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення котангенса дорівнює ‑1.

2. Знайти область значень функції:

 а) ;  б) y = cos x;  г) y = 7ctg x.

3. Знайти множину значень функції:  а) y = 20cos x; б) y = 9 + sin x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = ‑2cos x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = ‑5sin x + 4.

2. Знайти область визначення функції y = ctg 4x + 5.

3. Знайти період функції: а) y = sin 10x;  в) y = ctg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2sin 4x і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = ctg |x|.

 

ТЕМА 4.СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО Й ТОГО САМОГО АРГУМЕНТУ

Самостійні роботи

 

Самостійна робота № 1

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) sin² 17 + cos² 17; 2) tg  ctg;  3) 1 + tg² 4.

2. 1) 1 ‑ sin² 29;  2) –sin²  ‑ cos² ; 3) .

3. Обчислити:

 1) sin , tg , ctg , якщо cos  = 0,6 і .

 2) cos² , якщо tg  = ‑3.

 Спростити вираз:

 3) tg  ctg  + ctg² ; 4) (sin  ‑ cos )² + 2sin  cos .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , tg , якщо ctg  = ‑ і .

2) Спростити вираз ctg  tg .

2. Спростити вираз (1 – ctg )² + (1 + ctg )².

3. Довести тотожність ctg²  ‑ сos²  = cos²  ctg² .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти sin , tg , ctg .

2) Довести тотожність .

2. Відомо, що tg  = 3. Обчислити .

3. Обчислити sin  cos , якщо sin  ‑ cos  = 

 Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) sin² 71 + cos² 71;  2) tg  ctg;  3) 1 + ctg² 3.

2. 1) 1 ‑ cos² 15;  2) –3sin²  ‑ 3cos² ; 3) .

3. Обчислити:

 1) cos , tg , ctg , якщо sin  = 0,8 і .

 2) sin² , якщо ctg  = 5.

 Спростити вираз:

 3) tg²  + tg  ctg ;  4) (sin x + cos x)² ‑ 2sin x cos x.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , ctg , якщо tg  = ‑ і .

2) Спростити вираз  + ctg  tg .

2. Спростити вираз (1 + tg )² + (1 – tg )².

3. Довести тотожність tg²  ‑ sin²  = tg²  sin² .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність tg⁴ .

2. Відомо, що ctg  = ‑2. Обчислити .

3. Обчислити sin  cos , якщо sin  + cos  = 

 

 Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) соs²  + sin² ;  2) ctg 1 tg 1;  3) ctg² 17 + 1.

2. 1) 1 ‑ cos² 28;  2) –cos²  ‑ sin² ; 3) .

3. Обчислити:

 1) sin , tg , ctg , якщо cos  = ‑0,8 і .

 2) cos² , якщо tg  = 4.

 Спростити вираз:

 3) 1 ‑ sin  tg  cos ; 4) (1 + ctg )² ‑ 2ctg .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , tg , якщо ctg  = ‑ і .

2) Спростити вираз sin²  + cos⁴ (1 + tg² ).

2. Спростити вираз (sin  + cos )² + tg²  ‑ 2sin  cos .

3. Довести тотожність  = cos .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність 1 – 3sin²  cos²  = sin⁶  + cos⁶ .

2. Відомо, що ctg  = ‑2. Обчислити .

3. tg  + ctg  = 3. Обчислити tg²  + ctg² .

  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) соs² 72 + sin² 72;  2) ctg tg ;  3) ctg² 3 + 1.

2. 1) 1 ‑ sin² 51;  2) –2cos²  ‑ 2sin² ; 3) .

3. Обчислити:

 1) cos , tg , ctg , якщо sin  = ‑0,6 і .

 2) sin² , якщо ctg  = 2.

 Спростити вираз:

 3) 1 ‑ sin  ctg  cos ; 4) (1 + tg )² ‑ 2tg .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos  і ctg , якщо tg  =  і .

2) Спростити вираз cos²  + sin⁴ (1 + ctg² ).

2. Спростити вираз (sin  ‑ cos )² + ctg²  + 2sin  cos .

3. Довести тотожність  = sin .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність  = 2 cos⁴ .

2. Відомо, що tg  = 2. Обчислити .

3. tg  + ctg  = 4. Обчислити ‑tg²  ‑ ctg² .

 

ТЕМА 5. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ СУМИ І РІЗНИЦІ ДВОХ ЧИСЕЛ ТА ПОДВІЙНОГО АРГУМЕНТУ

 

Самостійна робота № 2

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 9cos  + sin 9sin;  2) sin 7cos 2 ‑ sin 2cos 7;

 3) ; 4) 2sin 15cos 15; 5) cos²10 – sin² 10.

2. 1) cos ( + ) – cos  cos ;  2) 2cos² 4 ‑ 1.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз sin(60 + ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = 3;

2) cos 75, подавши кут 75, як суму 30 + 45;

3) sin 2, якщо sin  = 0,6 і  — кут 1 чверті.

2. Знайти значення виразу .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити sin ( + ), якщо , ,  і  — кути І чверті.

2) Знайти tg, якщо і  — кут ІІІ чверті.

3) Обчислити tg 2, якщо sin  = ‑0,6 і .

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність sin 3 = 3sin  ‑ 4sin³ .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 11cos  ‑ sin 11sin; 2) sin 4cos 1 + sin 1cos 4;

 3) ; 4) 2sin 10cos 10; 5) cos²15 – sin² 15.

2. 1) cos ( ‑ ) – sin  sin ;   2) 1 ‑ 2sin² 4.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз sin(30 ‑ ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = 4;

2) cos 15, подавши кут 15, як різницю 45 ‑ 30;

3) sin 2, якщо cos  = ‑0,6 і  — кут ІІ чверті.

2. Знайти значення виразу 2cos(60 ‑ ) ‑ .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити sin ( + ), якщо , ,  — кут ІІ чверті,  — кут ІV чверті.

2) Знайти tg, якщо , .

3) Обчислити tg 2, якщо cos  = 0,8 і .

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність cos 3 = 4cos³  ‑ 3cos .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 13 cos 17 ‑ sin 13 sin17; 2) sin 6 cos 2 + sin 2 cos 6;

 3) ; 4) 2sin 4cos 4; 5) cos²42 – sin² 42.

2. 1) sin  cos  – sin ( ‑ );   2) 2cos² 10 ‑ 1.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз cos(60 ‑ ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = ;

2) sin 15, подавши кут 15, як різницю 45 ‑ 30;

3) cos 2, якщо cos  = ‑, .

2. Знайти значення виразу cos  ‑ 2cos ( ‑ 30) + sin .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити cos ( + ), якщо cos  = 0,5, sin  = ‑0,4, , .

2) tg ( ‑ 45) = 3. Знайти tg .

3) cos  = ‑, . Знайти tg 2.

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність

 sin ( + ) – sin  cos³  ‑ cos  sin³  = sin  cos  cos ( ‑ ).

 

  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 47 cos 2 + sin 47 sin 2; 2) sin 10 cos 4 ‑ sin 4 cos 10;

 3) ;  4) ; 5) .

2. 1) sin ( + ) – sin  cos ; 2) 1 – 2cos² 8.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз cos(45 ‑ ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = ;

2) sin 75, подавши кут 75, як суму 30 + 45;

3) cos 2, якщо sin  = , .

2. Знайти значення виразу sin ( ‑ 45) ‑ sin  + cos .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити cos ( ‑ ), якщо sin  = , cos  = ‑, , .

2) tg ( + 45) = 4. Знайти tg .

3) sin  = 0,96, . Обчислити tg 2.

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність

 cos ( ‑ ) – sin  sin³  ‑ cos  cos³  = sin  cos  sin ( + ).

 

ТЕМА 6. ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Самостійна робота № 3

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 20:

  а) sin (90 + 20);   б) tg (180 ‑ 20); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) cos;   б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (180 ‑ 30);   б) ctg (270 ‑ 60).

 2) Cпростити вираз sin.

3. 1) Обчислити:   а) cos 135;  б) sin 300.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) ctg 0,6;   б) tg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання, довести рівність sin ( + ) = ‑sin .

2) Спростити вираз sin (90 ‑ ) ‑ cos (180 ‑ ) ‑ ctg (270 + ).

3) Обчислити:  а) sin ;  б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) sin ;   б) cos ( ‑ ).

3. Обчислити:   а) tg (‑330); б) cos 510.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність sin (45 + ) = cos (45 ‑ ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) sin 1914;   б) tg (‑1560).

3) Довести тотожність

tg ( ‑ ) – ctg  ‑ cos ( ‑ ) = 2cos .

2. Довести, що коли ,  і  — кути трикутника, то cos ( + ) = ‑cos .

3. Довести, що рівність tg 1 tg 2 tg 3… tg 87 tg 88 tg 89 = 1 правильна.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 35:

  а) tg (180 + 35);  б) cos (270 ‑ 35); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) cos ;  б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (180 + 60);  б) tg (270 ‑ 30).

 2) Cпростити вираз cos.

3. 1) Обчислити:  а) sin 135;  б) cos 210.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) tg ;   б) ctg 0,7;  б) tg 1,6.

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність cos  = ‑sin .

2) Спростити вираз sin (180 ‑ ) + cos (90 ‑ ) + ctg (270 ‑ ).

3) Обчислити:  а) cos ;  б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) cos ;   б) sin ( ‑ ).

3. Обчислити:   а) sin (‑300); б) tg 480.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність cos (45 + ) = sin (45 ‑ ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 2024;   б) tg (‑1560).

3) Спростити вираз:

tg ( ‑ 360) – ctg ( ‑ 270) ‑ sin ( ‑ 180) ‑ cos ( + 90).

2. Довести, що коли ,  і  — кути трикутника, то sin ( + ) = sin .

3. Обчислити суму sin 0 + sin 1 + sin 2+ sin 3… sin 357 + sin 358 + sin 359 + sin 360.

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 15:

  а) sin (180 ‑ 15);  б) tg (270 + 15); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) ctg;  б) cos .

2. 1) Обчислити:

  а) cos (270 ‑ 60);  б) tg (180 ‑ 30).

 2) Cпростити вираз sin.

3. 1) Обчислити:  а) sin 150;  б) ctg 225.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 0,9;  б) tg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність tg ( ‑ ) = ‑tg .

2) Спростити вираз sin (90 + ) + cos (180 ‑ ) + tg (270 + ) + ctg (360 ‑ ).

3) Обчислити:  а) cos ; б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) ctg ;  б) cos ( ‑ 2).

3. Обчислити:   а) cos 495;  б) tg (‑240).

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність tg (45 + ) = ctg (45 ‑ ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) sin 2030;  б) tg (‑865).

3) Спростити вираз:

sin  + cos ( ‑ ) ‑ tg  + ctg (2 ‑ ).

2. ,  і  — кути трикутника. Довести, що sin  = cos .

3. Обчислити суму tg 20 + tg 40 + tg 60+ … + tg 160 + tg 180.

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 50:

  а) sin (180 + 50);  б) cos (270 ‑ 50); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) tg;  б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (270 + 45);  б) cos (180 + 30).

 2) Cпростити вираз tg.

3. 1) Обчислити:  а) sin 150; б) tg 330.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 0,6;  б) ctg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність tg ( + ) = tg .

2) Спростити вираз sin (270 + ) + cos (180 ‑ ) + tg (90 ‑ ) + ctg (90 + ).

3) Обчислити:  а) sin ;  б) ctg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) tg ;   б) sin ( ‑ 2).

3. Обчислити:   а) sin (‑315); б) cos 570.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність tg (45 ‑ ) = ctg (45 + ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 300;   б) ctg (‑928).

3) Спростити вираз:

sin  + cos ( ‑ ) ‑ tg ( ‑ ) + ctg .

2. ,  і  — кути трикутника. Довести, що tg  = ctg .

3. Обчислити суму cos 20 + cos 40 + cos 60+ … + cos 160 + cos 180.

 

ТЕМА 7. ПЕРЕТВОРЕННЯ СУМИ І РІЗНИЦІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У ДОБУТОК

 

Самостійна робота № 4

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

 1) sin 5 + sin ;  2) sin 40 ‑ sin 10;

 3) cos  + cos ;  4) cos 2 ‑ cos 7.

2. Cпростити вираз:

 1) sin 70 + sin 20;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) sin 28‑ cos 66;  2) + cos .

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin  + cos .

3) Довести тотожність tg  + tg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1 + 2cos .

3. sin  + sin 3 + sin 5 + sin 7.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) cos²  ‑ cos² ;  2) sin  + sin  + sin ( + ).

3) Обчислити sin 5 ‑ sin 3, якщо sin  = .

2. Використовуючи формулу різниці косинусів, довести формулу sin  sin  =  і перетворити на суму добуток sin 10 sin 8.

3. ,  і  — кути трикутника. Довести, що tg  + tg  + tg  = tg  tg  tg .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 7 ‑ sin ;  2) sin 2 + sin 4;  

 3) ;  4) cos 10 ‑ cos 20.

2. Cпростити вираз:

 1) sin 80 ‑ sin 10;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) cos 25‑ sin 25;  2) + sin .

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin  ‑ cos .

3) Довести тотожність ctg  + ctg = .

 Подати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1 ‑ 2sin .

3. cos 2x ‑ cos 4x ‑ cos 6x + cos 8x.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) sin²  ‑ sin² ;  2) sin  + sin  + sin ( ‑ ).

3) Обчислити cos 2 ‑ cos 6, якщо cos  = .

2. Використовуючи формулу різниці косинусів, довести формулу cos  cos  =  і перетворити на суму добуток cos 55  cos 15.

3. ,  і  — кути трикутника. Довести, що sin  + sin  + sin  = 4cos  cos  cos .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 8 + sin 2;  2) sin 50 ‑ sin 20;

 3) ;  4) cos 3 ‑ cos 9.

2. Cпростити вираз:

 1) cos 10 + cos 50;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) sin 2+ cos 86;  2) + sin 10.

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз cos  + sin .

3) Довести тотожність tg  ‑ tg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1 ‑ sin .

3. cos  + sin 2 + cos 3 + sin 4.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) 3 – 4cos²;  2) sin  ‑ sin  ‑ sin ( + ).

3) Обчислити sin 3 ‑ sin 5, якщо sin  = .

2. Довести тотожність 1 + sin  + cos  =  cos cos .

3. ,  і  — кути трикутника. Довести, що sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4sin  sin  sin .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 75 + sin 5;  2) sin 12 ‑ sin 2;

 3) ;  4) cos 4 ‑ cos 6.

2. Cпростити вираз:

 1) cos 20 ‑ cos 70;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) cos 2+ sin 84;  2) ‑ sin 5.

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin  ‑ cos .

3) Довести тотожність ctg  ‑ ctg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. .

3. sin  + cos 2 + sin 3 + cos 4.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) 1 – 4sin² ;  2) sin  + sin  ‑ sin ( + ).

3) Обчислити cos 3 ‑ cos 5, якщо sin  = .

2. Довести тотожність 1 ‑ cos  + sin  =  sin cos .

3. ,  і  — кути трикутника. Довести, що sin  + sin  = 2cos.

 

Тематичне оцінювання: теми 4 — 7

Контрольна робота 2

  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos² 8 + sin² 8;  2) cos² 8 ‑ sin² 8;

 3)   ;  4) sin 50 + sin 40.

2. 1) cos ( + ) + sin  sin ; 2) .

3. 1) sin  = ‑0,6;  <  < . Обчислити: cos , tg , sin 2.              

 2) tg  = 3; 0 <  < . Обчислити: cos² , cos , tg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , sin 2, sin 4.

2) Обчислити tg15.

3) Довести, що sin 35 + cos 65 = cos 5.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( + ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута: tg 2005.

3) Довести, що .

2. Довести тотожність .

3. Довести, що .

  Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 1 + sin² 12 + cos² 12; 2) 2sin 12 cos 12;

 3)   ;  4) cos 50 + cos 40.

2. 1) sin ( ‑ ) ‑ sin  cos ; 2) .

3. 1) cos  = ‑;  <  < . Обчислити: sin , ctg , cos 2.  

 2) ctg  = 3; 0 <  < . Обчислити: sin , tg 2, ctg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , cos 2, cos 4.

2) Обчислити tg75.

3) Довести, що cos 12 ‑ sin 42 = sin 18.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( ‑ ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута: sin 2005.

3) Довести, що .

2. Довести тотожність .

3. Довести, що .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 6 + sin² 6 + cos² 6; 2) 2sin 6  cos 6;

 3)   ; 4) sin 50 ‑ sin 40.

2. 1) sin  cos  ‑ sin ( + ); 2) .

3. 1) sin  = ; 0 <  < . Обчислити: cos , ctg , cos 2.  

 2) tg  = ‑2;  <  < 2. Обчислити: cos , tg 2, ctg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити tg , tg 2, tg 4.

2) Обчислити tg105.

3) Довести, що sin 40 + cos 70 = cos 10.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( ‑ ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кут sin 594.

3) Довести, що .

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. Довести, що .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 14 + cos² 14 + sin² 14;  2) cos² 14‑ sin² 14;

 3)   ;  4) cos 50 ‑ cos 40.

2. 1) cos ( ‑ ) ‑ cos  cos ; 2) .

3. 1) cos  = ; 0 <  < . Обчислити: sin , cos 2, sin 2.  

 2) ctg  = ‑2;  <  < . Обчислити: cos , tg 2, сtg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , sin 2, sin 4.

2) Обчислити sin 105.

3) Довести, що cos 20 ‑ sin 50 = sin 10.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( + ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута tg 624.

3) Довести, що .

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. Довести, що .

 

ІІ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

ТЕМА 8. ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

 

Самостійна робота № 1

 

  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arcsin  = ;  б) arctg (‑1) = ‑.

 2) Знайти:  а) arcsin ; б) arccos ;        в) arcctg (‑1).

2. Побудувати графік функції y = arcsin x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Позначити точку P₀ (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P₀A = arcsin; б) P₀B = arccos; в) P₀C = arctg 2.

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ; б) tg.

2) Побудувати графік функції у = 2arccos x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arcsin (x – 2).

3. Розв’язати рівняння arctg (2x – 1) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) sin; б) tg .

2) Побудувати графік функції y = arccos (x + 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcsin (‑x) = ‑arcsin x.

2. Обчислити cos .

3. Побудувати графік функції y = sin(arcsin x).

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arccos  = ;  б) arсctg  = 150.

 2) Знайти:

  а) arcsin ;  б) arccos ;  в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arccos x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Позначити точку P₀ (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P₀A = arcsin; б) P₀B = arccos; в) P₀C = arctg (‑2).

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) tg.

2) Побудувати графік функції у = 2arcsin x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arccos (x + 3).

3. Розв’язати рівняння arcctg (3x – 1) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) cos; б) tg .

2) Побудувати графік функції y = arcsin (x ‑ 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcctg (‑x) =  ‑arcctg x.

2. Обчислити sin .

3. Побудувати графік функції y = cos(arccos x).

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arcsin (‑1) = ; б) arcctg  = .

 2) Знайти:

  а) arccos ;  б) arcsin ; в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 5 клітинок. Позначити точку P₀ (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P₀A = arcsin;    б) P₀B = arccos;    в) P₀C = arcctg .

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) cos.

2) Побудувати графік функції у = 2arcctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arcsin (3x ‑ 1).

3. Розв’язати рівняння arccos (3x + 4) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) ctg; б) cos .

2) Побудувати графік функції y = arcsin (x + 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcsin x =  ‑arccos x.

2. Обчислити cos .

3. Побудувати графік функції y = .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arccos 0 = ;  б) arcsin  = ‑.

 2) Знайти:

  а) arccos ;  б) arctg ;  в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arcctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 2 клітинки. Позначити точку P₀ (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P₀A = arcsin; б) P₀B = arctg 2;        в) P₀C = ‑arcctg (‑3).

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) ctg.

2) Побудувати графік функції у = 2arctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arccos .

3. Розв’язати рівняння arcctg (2x + 5) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) sin; б) ctg .

2) Побудувати графік функції y = arccos (x ‑ 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arctg x =  ‑arcctg x.

2. Обчислити sin .

3. Побудувати графік функції y = .

 

ТЕМА 9. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

 

Самостійна робота № 2

 

 Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) sin 2x = ;  2) cos = 1;

2. tg²x + 2tg x – 3 = 0.

3. sin 3x + sin x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2sin² x + 5cos x – 4 = 0;  2) cos 10x = cos² x – sin²x.

2. sin² x + 10cos² x = 11sin x cos x.

3. sin x + cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 5cos x ‑ 3sin x = ;   2) tg x = tg 2x.

2. sin² x + sin² 3x = 1.

3. Розв’язати систему рівнянь

  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) tg 2x = ;  2) sin = 0;

2. сos²x – 11cos x + 10 = 0.

3. sin 10x ‑ sin 4x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x + 8sin x – 7 = 0;  2) sin 4x = cos² x – sin²x.

2. 6sin² x ‑ 7sin x cos x + cos² x = 0.

3. sin x ‑ cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 9cos x ‑ 13sin x = ;  2) tg 4x = tg x.

2. cos² x + cos² 2x = 1.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 4x = ;   2) tg = 0;

2. sin²x + 3sin x ‑ 4 = 0.

3. cos 3x + cos x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x + 8sin x – 7 = 0.

2) cos x + cos 3x – cos 2x = 0.

2. 3sin² x ‑ 8sin x cos x + 7 cos² x = 1.

3. sin x ‑ cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 2(cos⁴ x – sin⁴ x) = 1; 2) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

2. cos 7x cos 10x = cos 2x cos 15x.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) sin 4x = ;  2) tg = 0;

2. ctg²x – 8ctg x + 7 = 0.

3. cos 9x ‑ cos x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x ‑ 10cos x – 11 = 0.

2) cos 6x = cos² 2x – sin² 2x.

2. 2sin² x ‑ 8sin x cos x + 8 cos² x = 1.

3. cos x + sin x = 2.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) cos⁴ 1,5x – sin⁴ 1,5x = ;  2) cos 3x + sin 3x = cos x + sin x.

2. sin 5x sin 3x + cos 7x cos x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

ТЕМА 10. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Самостійні роботи

№ 45.  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) sin x > ;   2) tg x < ;

2. ctg 2x < .   3. 2cos x ‑ 1  0.

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos .   2. 4sin 4x cos 4x > .

3. cos 5x cos x – sin 5x sin x < .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2sin² x + sin x – 1 < 0. 2. sin x + sin 3x + sin 2x > 0.

3. 2cos² >1.

 

№ 46.  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) cos x > ‑;  2) ctg x < ;

2. tg < 1.   3. 2sin x + .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. tg .  2. sin x cos x < .

3. sin 2x sin 5x + cos 2x cos 5x > .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos² x ‑ cos x – 1 < 0. 2. sin x + sin 3x ‑ sin 2x < 0.

3. tg² x < 1.

№ 47.  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) cos x < ;  2) ctg x > ‑1.

2. sin 2x < .  3. 3tg x +   0.

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. sin .  2. 2cos²  ‑ 1 < .

3. sin  + cos  < .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos² x ‑ 3sin x – 3 < 0. 2. cos x + cos 3x + cos 2x < 0.

3. ctg² x < 3.

 

№ 48.  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) sin x < ‑;  2) tg x < 1.

2. ctg 2x < .  3. 2cos x ‑   0.

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos . 2. 1 ‑ 2sin² 2x > .

3. sin x + cos x  0.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2sin² x + 5cos x – 4 < 0. 2. sin 4x ‑ sin 2x ‑ cos 3x > 0.

3. tg² x > 1.

Тематичне оцінювання: теми 8 — 10

Контрольна робота 3

  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2 cos x + .

 2) Розв’язати нерівність sin 2x > .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. tg² x + 5tg x + 4 = 0.  3. sin 5x – sin x = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2sin² x + 3cos² x + 2sin x = 0.

 2) Розв’язати нерівність sin 3x cos x – cos 3x sin x > .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 2sin² x – 4sin x cos x + 5cos² x = 2.  3. sin x + cos x = .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння cos x + cos 5x – 2cos 3x = 0.

 2) Розв’язати нерівність 2sin² x + sin x > 0.

2. Розв’язати рівняння sin² 6x + sin² 4x = 1.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2 sin x – 1 = 0.

 2) Розв’язати нерівність tg 2x > 1.

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. sin² x – 2sin x ‑ 3 = 0.

3. cos 3x + cos 5x = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2cos² x + 5sin x ‑ 4 = 0.

 2) Розв’язати нерівність cos² 4x – sin² 4x .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 22cos² x + 8sin x cos x = 7.  3. sin x + cos x = 1.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння tg 2x ‑ ctg 3x = 0.

 2) Розв’язати нерівність cos² x + 2cos x < 0.

2. Розв’язати рівняння sin⁴ x + cos⁴ x = .

3. Розв’язати систему рівнянь

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2 sin x + 1 = 0.

 2) Розв’язати нерівність cos 4x > .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. ctg² x – 2ctg x ‑ 3 = 0.  3. sin 3x + sin 5x = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2cos 2x = 7cos x.

 2) Розв’язати нерівність sin 3x cos x + cos 3x sin x .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 6sin² x + 4sin x cos x + 4cos² x = 3.

3. sin x ‑ cos x = 1.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння sin⁴ ‑ cos⁴ = .

 2) Розв’язати нерівність sin x + cos x < 1.

2. Розв’язати рівняння 2tg² x + 4cos² x = 7.

3. Розв’язати систему рівнянь

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння 2 sin x ‑  = 0.

 2) Розв’язати нерівність tg 4x > .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. ctg² x – 5ctg x + 4 = 0.

3. cos 2x ‑ cos 6x = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння tg x + ctg x = 2.

 2) Розв’язати нерівність sin 2x cos 2x .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 5sin² x ‑ 5sin x cos x + 2cos² x = 1.

3. sin x ‑ cos x = .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння cos⁴ x ‑ sin⁴ x = .

 2) Розв’язати нерівність sin x + cos x < .

2. Розв’язати рівняння cos 2x = 2tg² x ‑ cos² x.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

ІІІ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

ТЕМА 11. КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ

 

Самостійна робота № 1

 

  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння:

  а) x¹⁰ = 3; б) x⁸ = ‑5; в) x⁷ = 2; г) x⁵ = ‑3.

 2) Обчислити:

  а) ; б) ;

  в) ;  г) .

2. Спростити вираз .

3. 1) Внести множник під знак кореня: а) 2; б)

 2) Винести множник з-під знака корня: а) ; б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ;  б) .

2) Обчислити: .

3) Порівняти числа: 2 і 3.

2. Спростити вираз: а) ; б) ; в) .

3. Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу:

  а) ;  б) .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Спростити вираз .

 3) Порівняти числа і .

2. Виконати дії: .

3. Довести рівність .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння:

  а) x¹² = 5;  б) x¹¹ = 7; в) x¹¹ = ‑9; г) x¹⁰ = ‑7.

 2) Обчислити:

  а) ;  б) ;

  в) ;   г) .

2. Спростити вираз .

3. 1) Внести множник під знак кореня: а) 3;  б)

 2) Винести множник з-під знака корня: а) ; б) , де a > 0.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ;  б) .

2) Обчислити: .

3) Порівняти числа: 2 і 3.

2. Спростити вираз: а) ; б) ; в) .

3. Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу:

  а) ;  б) .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Спростити вираз .

 3) Порівняти числа і .

2. Довести рівність: .

3. Спростити вираз: .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння:

  а) x⁶ = 2;  б) x⁸ = ‑3; в) x⁷ = 4; г) x⁹ = ‑2.

 2) Обчислити:

  а) ;  б) ;

  в) ;   г) .

2. Спростити вираз .

3. 1) Внести множник під знак кореня: а) 5;  б)

 2) Винести множник з-під знака корня:  а) ; б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ;  б) .

2) Обчислити: .

3) Порівняти числа: 2 і 3.

2. Спростити вираз: а) ; б) ; в) .

3. Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу:

  а) ;  б) .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Спростити вираз .

 3) Порівняти числа і .

2. Виконати дії: .

3. Довести подібність коренів: і .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Розв’язати рівняння:

  а) x²⁰ = 3;  б) x¹⁸ = ‑4; в) x¹⁵ = 2; г) x¹³ = ‑7.

 2) Обчислити:

  а) ; б) ;

  в) ;  г) .

2. Спростити вираз .

3. 1) Внести множник під знак кореня: а) 2;  б)

 2) Винести множник з-під знака корня:

  а) ;   б) , де a > 0.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Обчислити: .

3) Порівняти числа: 5 і 2.

2. Спростити вираз: а) ; б) ; в) .

3. Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу:

  а) ;  б) .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Спростити вираз .

 3) Порівняти числа і .

2. Виконати дії: .

3. Довести подібність коренів: і .

 

ТЕМА 12. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

Самостійна робота № 2

 

 Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .   3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) ;  2) .

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Розв’язати систему рівнянь .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. .

3. . Вказівка. Використати спосіб заміни змінної.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ;  2) ; 3) .

2. .

3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) ;  2) .

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Розв’язати систему рівнянь .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. .

3. . Вказівка. Використати спосіб заміни змінної.

 

  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ;  2) ; 3) .

2. .  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) ;  2) .

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Розв’язати систему рівнянь .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. .

3. . Вказівка. Використати спосіб заміни змінної.

 

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ; 2) ;  3) .

2. .    3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) ;  2) .

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Розв’язати систему рівнянь .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. .

3. . Вказівка. Використати спосіб заміни змінної.

 

ТЕМА 13. CТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Самостійна робота № 3

 

  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді кореня:;  .

 2) Подати у вигляді степеня з дробовим показником: ;  .

 3) Обчислити:; .

2. Спростити вираз: а) ;  б) .

3. Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості:

  а) y = x^1,8;  б) .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Спростити вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^0,8 + 2 і записати її властивості.

2. Розв’язати рівняння .

3. Спростити вираз .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Розв’язати рівняння .

 3) Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа і .

3. Виконати дії: .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді кореня:; 2) .

 2) Подати у вигляді степеня з дробовим показником: ;.

 3) Обчислити:; .

2. Спростити вираз: а) ;   б) .

3. Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості:

  а) y = x^0,8;    б) .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Спростити вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^‑0,5 + 3 і записати її властивості.

2. Розв’язати рівняння .

3. Спростити вираз .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Розв’язати рівняння .

 3) Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа і .

3. Виконати дії: .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді кореня:; 2) .

 2) Подати у вигляді степеня з дробовим показником: ;.

 3) Обчислити:; .

2. Спростити вираз: а) ; б) .

3. Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості:

  а) y = x^2,5;  б) .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Спростити вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^0,7 + 3 і записати її властивості.

2. Розв’язати рівняння .

3. Спростити вираз .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Розв’язати рівняння .

 3) Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа і .

3. Виконати дії: .

 

 Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді кореня:;  2) .

 2) Подати у вигляді степеня з дробовим показником: ;.

 3) Обчислити:; .

2. Спростити вираз: а) ;  б) .

3. Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості:

  а) y = x^0,4;  б) .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Спростити вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^1,4 + 3 і записати її властивості.

2. Розв’язати рівняння .

3. Спростити вираз .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: .

 2) Розв’язати рівняння .

 3) Накреслити ескіз графіка функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа і .

3. Виконати дії: .

 

Тематичне оцінювання: теми 11 — 13

Контрольна робота 4

   Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді степеня: ; .

 2) Обчислити:; .

 3) Знайти область визначення функції:

  а) y = x²¹;  б) y = x^‑5; в) y = x^‑0,4; г) y = 0,4.

2. Спростити вираз: ; .

3. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Накреслити ескіз графіка функції: а) y = x²⁰; б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) y = (2x – 1)^0,5;   б) y = (3x + 2)^‑1,2.

 2) Подати у вигляді степеня вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^‑2,3 + 1.

2. Спростити вираз .

3. Розв’язати рівняння .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції y = (2x – 5)^0,1 + (3 – x)^‑0,1.

 2) Спростити вираз: .

 3) Розв’язати рівняння .

2. Порівняти числа:  а) і ; б) і .

3. Накреслити ескіз графіка функції .

 

 Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді степеня: ; .

 2) Обчислити:; .

 3) Знайти область визначення функції:

  а) y = x^2,3;  б) y = x²³; в) y = ; г) y = x⁷.

2. Спростити вираз: ; .

3. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Накреслити ескіз графіка функції: а) y = x^‑20;      б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції: а) y = (4x + 3)^1,4;    б) y = .

 2) Подати у вигляді степеня вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^0,7 + 2.

2. Спростити вираз .

3. Розв’язати рівняння .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції: y = .

 2) Спростити вираз: .

 3) Розв’язати рівняння .

2. Порівняти числа:  а) і ;  б) і .

3. Накреслити ескіз графіка функції .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді степеня: ; .

 2) Обчислити:; .

 3) Знайти область визначення функції:

  а) y = x¹⁴;  б) y = x^‑14;  в) y = ; г) y = x^‑1,4.

2. Спростити вираз: ; .

3. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Накреслити ескіз графіка функції:

  а) y = x²¹;   б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) y = (5x ‑ 2)^1,3;   б) y = .

 2) Подати у вигляді степеня вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^0,7 + 2.

2. Спростити вираз .

3. Розв’язати рівняння .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції: y = .

 2) Спростити вираз: .

 3) Розв’язати рівняння .

2. Порівняти числа:  а) і ; б) і .

3. Накреслити ескіз графіка функції .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Подати у вигляді степеня: ; .

 2) Обчислити:; .

 3) Знайти область визначення функції:

  а) y = x⁸;  б) y = x^‑8;  в) y = ; г) y = .

2. Спростити вираз: ; .

3. 1) Розв’язати рівняння .

 2) Накреслити ескіз графіка функції:

  а) y = x^0,8;  б) .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) y = (6 ‑ x)^2,5;  б) y = .

 2) Подати у вигляді степеня вираз .

 3) Накреслити ескіз графіка функції y = x^0,2 ‑ 3.

2. Спростити вираз .

3. Розв’язати рівняння .

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції: y = .

 2) Спростити вираз: .

 3) Розв’язати рівняння .

2. Порівняти числа:

  а) і ;   б) і .

3. Накреслити ескіз графіка функції .

ІV. ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ

ТЕМА 14. ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ

 

Самостійна робота № 1

 

  Варіант 1.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y = 3^х і записати її властивості.

2. Порівняти числа:  а) 5^0,4 і 5^0,7; б) і .

3. Знайти область значень функції:  а) y = 7^x + 5;  б) .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 5^x + 2 і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо: 

 а) a⁷ < a⁹;   б) a¹⁰ < a⁵.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 2^x, якщо .

3. Розв’язати графічно рівняння .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати графічно рівняння .

2) Порівняти числа:  а) і 1;  б) і 1.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 

3. Побудувати графік функції y = 3^|x| і записати її властивості.

 

 Варіант 2.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

2. Порівняти числа:   а) 7^0,9 і 7^1,2;  б) і .

3. Знайти область значень функції:  а) y = 4^x ‑ 3; б) .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2^x ‑ 3 і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо: 

 а) a¹⁴ < a¹⁹;  б) a⁷ < a³.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 3^x, якщо .

3. Розв’язати графічно рівняння .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати графічно рівняння .

2) Порівняти числа:  а) і 1;  б) і 1.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 3^{sin x}.

3. Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 Варіант 3.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y = 5^х і записати її властивості.

2. Порівняти числа:   а) 6^‑0,8 і 6^‑0,1;  б) і .

3. Знайти область значень функції:  а) y = 0,8^x + 3; б) y = 9,1^x ‑ 6.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо: 

 а) a^2,3 > a^3,1;  б) a^‑4 < a^‑1,4.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = , якщо .

3. Розв’язати графічно рівняння .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати графічно рівняння .

2) Порівняти числа:  а) і 1;  б) і 1.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 

3. Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

  Варіант 4.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

2. Порівняти числа:   а) 7,1^0,5 і 7,1^0,2;  б) 0,7^0,9 і 0,7^0,3.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 0,7^x ‑ 4; б) .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо: 

 а) ;  б) a^ < a⁴.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 5^x, якщо .

3. Розв’язати графічно рівняння .

Високий рівень

1. 1) Розв’язати графічно рівняння .

2) Порівняти числа:  а) і 1;  б) і 1.

2. Знайти найбільше і найменше значення функції y = 5^{cos x} – 2.

3. Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

ТЕМА 15. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

 

Самостійна робота № 2

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ;   2) 5^x – 1 – 1 = 0.

2. 3^x + 1 + 3^x = 108.  3. 4^x – 3  2^x + 2 = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 4^x + 1 – 4^x – 4^x – 1 = 44; 2) 2^x + 1 + 4^x = 80.

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2  4^x + 1 – 3^x = 3^x + 2 – 2  4^x;   2) 4  9^x + 12^x = 3  16^x.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Розв’язати рівняння .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2^4x = 64;   2) .

2. 5^x + 2 + 5^x = 130.  3. 9^x – 4  3^x + 3 = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 5^x + 1 – 5^x + 5^x – 1 = 105; 2) 3^x + 1 + 9^x = 108.

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 6^x + 6^x + 1 = 2^x + 2^x + 1 + 2^x + 2; 2) 2  4^x – 3  10^x = 5  25^x.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Розв’язати рівняння .

 Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ;    2) .

2. 2^x + 2 + 2^x = 40.

3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 5^x + 1 + 3  5^x ‑ 1 – 6  5^x + 10 = 0; 2) 2^2x + 1 – 7  2^x + 3 = 0.

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2^x + 2^x + 1 + 2^x + 2 = 2  5^x + 5^x + 1;  2) 4^x + 6^x = 2  9^x.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Розв’язати рівняння .

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) ;  2) 4^3x ‑ 1 – 1 = 0.

2. 2^x + 1 + 2^x = 48.  3. 4^x – 5  2^x + 4 = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2  3^x ‑ 6 + 6  9^0,5x ‑ 2 = 56; 2) 9^x – 5  3^x + 1 + 54 = 0.

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь .

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2  3^x ‑ 1 – 3^x ‑ 2 = 5^x ‑ 2 + 4  5^x ‑ 3;              2) 8^x + 18^x = 2  27^x.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Розв’язати рівняння .

 

ТЕМА 16. ПОКАЗНИКОВІ НЕРІВНОСТІ

 

Самостійна робота № 3

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;   2) .

2. 5^3x ‑ 1 < 25.   3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність (1 — 2):

1. 1) 2^x + 1 + 2^x > 24;  2) .

2. 4^x – 6  2^x + 8 < 0.

3. Розв’язати графічно нерівність 2^x > 3 ‑ x.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) x²  3^x – 3^x + 1 ;  2) 4^x  5 + 2  25^x .

2. .

3. Розв’язати графічно нерівність .

 

 Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;   2) .

2. .   3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність (1 — 2):

1. 1) 3^x + 2 + 3^x ‑ 1 > 28;  2) .

2. 4^x – 2^x < 12.

3. Розв’язати графічно нерівність .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) 2^2 + x ‑ 2^x + 3 – 2^x + 4 > 5^x + 1 – 5^x + 2; 2) 2^x + 2^3 ‑ x <9;.

2. .

3. Розв’язати графічно нерівність .

 Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;   2) .

2. 10^2x + 1 < 0,1.  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність (1 — 2):

1. 1) 3^x + 2 + 3^x < 30;  2) .

2. .

3. Розв’язати графічно нерівність .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) x²  0,2^x – 0,2^x + 2 < 0; 2) 3^x + 3^2 ‑ x > 10.

2. .

3. Розв’язати графічно нерівність .

 

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;  2) .

2. 10^3x + 1 > 0,001.  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність (1 — 2):

1. 1) 5^x + 1 – 3  5^x ‑ 2 < 122; 2) .

2. 3  9^x + 11  3^x < 4.

3. Розв’язати графічно нерівність .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;  2) 2^2 + x + 2^2 ‑ x > 15.

2. .

3. Розв’язати графічно нерівність .

Тематичне оцінювання: теми 14 — 16

Контрольна робота 5

 Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4^x і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння .

 Розв’язати нерівність:

 3) ;   4) .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 7^x + 2 – 7^x = 42.

3. 25^x – 6  5^x + 5 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 4^x + 2^x + 1 = 80.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати нерівність .

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2^x ‑ 3 – 1.

 2) Розв’язати рівняння 7  49^x + 5  14^x = 2  4^x.

 3) Розв’язати нерівність 2^x – 2^3 – x > 2

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Побудувати графік функції y = 0,5^|x|.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4^x і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння .

 Розв’язати нерівність:

 3) ;   4) .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 3^x + 2 + 3^x = 270.

3. 4^x – 9  2^x + 8 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 2^2x + 1 + 2^x + 2 = 16.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати нерівність .

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2^x + 4 – 1.

 2) Розв’язати рівняння 3  9^x = 2  15^x + 5  25^x.

 3) Розв’язати нерівність 3^1 + x + 3^2 – x < 28.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Побудувати графік функції .

 

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 5^x і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 7^x + 4 – 1 = 0.

 Розв’язати нерівність:

 3) 2^5x ‑ 1 < 32;   4) .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 5^x + 2 – 5^x = 120.

3. 9^x – 10  3^x + 9 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 3^x + 2 + 9^x + 1 – 810 = 0.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати нерівність .

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Розв’язати рівняння 2  25^x ‑ 5  10^x + 2  4^x = 0

 3) Розв’язати нерівність 5^x – 5^1 – x < 4.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Побудувати графік функції y = 4^|x|.

 

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 9^2x ‑ 1 – 1 = 0.

 Розв’язати нерівність:

 3) 10^3x ‑ 1 > 100000;   4) .

 Розв’язати рівняння (2 — 3):

2. 2^x + 3 + 2^x = 36.

3. 9^x – 7  3^x ‑ 18 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння 3^x + 2 + 9^x + 1 – 108 = 0.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати нерівність .

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Розв’язати рівняння 2  4^x ‑ 5  6^x + 3  9^x = 0

 3) Розв’язати нерівність 5^‑x – 5 ^x + 2 > 24.

2. Розв’язати систему рівнянь .

3. Побудувати графік функції y = 5^|x|.

 

ТЕМА 17. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА

 

Самостійна робота № 1

 

 Варіант 1.

Середній рівень

1. Обчислити:

 1) log₂ 64;   ;  ;  

 2) log₆ 2 + log₆ 3;  ;  ; 3) .

2. Прологарифмувати за основою 5 вираз .

3. Знайти lg x = lg 12 + 5lg a + lg b – 4lg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити:  ;  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 3 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. log₂ 3 = a;  log₂ 5 = b. Знайти:  log₂ 15;  log₂ 6;  log₂ 75;  log₃ 5.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .

Високий рівень

1. 1) Обчислити:  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 10 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. Обчислити log₄ 5  log₅ 6  log₆ 7  log₇ 8.

3. Довести тотожність .

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. Обчислити:

 1) log₃ 81;   ;  ;  

 2) log₂₁ 3 + log₂₁ 7;  ;  ;

 3) .

2. Прологарифмувати за основою 7 вираз .

3. Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + 2lg b – lg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити:  ;  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 5 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. log₇ 2 = a;  log₇ 3 = b. Знайти:  log₇ 6;  log₇ ;  log₇ 18;  log₃ 2.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .

Високий рівень

1. 1) Обчислити:  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. Обчислити log₃ 49    log₂₅ 27.

3. Довести тотожність .

 

 Варіант 3.

Середній рівень

1. Обчислити:

 1) log₅ 125;   ;  ;  

 2) log₁₂ 2 + log₁₂ 72;  ;  ; 3) .

2. Прологарифмувати за основою 3 вираз .

3. Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + lg с – lg b.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити:  ;  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. log₃ 2 = a;  log₃ 7 = b. Знайти:  log₃ 14;  log₃ 6;  log₃ 28;  log₂ 7.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .

Високий рівень

1. 1) Обчислити:  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 3 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. Обчислити log₈ 9, якщо log₁₂ 18 = a.

3. Довести тотожність .

 Варіант 4.

Середній рівень

1. Обчислити:

 1) ;  ;  ; 

 2) log₃ 6 + log₃ ;  ;  ; 3) .

2. Прологарифмувати за основою 2 вираз .

3. Знайти lg x = lg 5 + 2lg a ‑ lg b + lg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити:  ;  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 10 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. log₅ 2 = a;  log₅ 3 = b. Знайти:  log₅ 6;  log₅ ;  log₅ 12;  log₂ 3.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .

Високий рівень

1. 1) Обчислити:  ;  .

 2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .

 3) Знайти x, якщо .

2. Обчислити log₆ 16, якщо log₁₂ 2 = a.

3. Довести тотожність .

ТЕМА 18. ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ

 

Самостійна робота № 2

 

  Варіант 1.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y = log₃ x і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log₃ 5,4 і log₃ 6,2;  б) і .

3. Знайти область визначення функції y = log_0,4 (3x – 1).

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log₂ (x + 1) і записати її властивості.

 2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

  а) log_a 7 < log_a 5;   б) log_a 7,1 > log_a 5,9.

2. Знайти область визначення функції y = log₂ sin x.

3. Розв’язати графічно рівняння log_0,5 x = 2x – 5.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Порівняти числа:  а) log_0,4 7 і 0;  б) log₉ 1,3 і 0.

2. Знайти область визначення функції .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості.

 

  Варіант 2.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log₁₁ 0,7 і log₁₁ 0,6; б) і .

3. Знайти область визначення функції y = log₇ (5x + 3).

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log_0,5 (x + 1) і записати її властивості.

 2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

  а) log_a 1,2 < log_a 2,2;   б) log_a 0,3 > log_a 0,5.

2. Знайти область визначення функції y = log_0,4 cos x.

3. Розв’язати графічно рівняння log₂ x = ‑x + 1.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Порівняти числа:  а) 0 і log_0,4 0,5;  б) 0 і log₇ 1,2.

2. Знайти область визначення функції .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості.

  Варіант 3.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log_7,1 3,7 і log_7,1 3,9; б) і .

3. Знайти область визначення функції .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log₂ (x ‑ 2) і записати її властивості.

 2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

  а) log_a  < log_a 4;   б) log_a  > log_a 3.

2. Знайти область визначення функції .

3. Розв’язати графічно рівняння log₂ x = x ‑ 4.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Порівняти числа:  а) log_ 0,8 і 0;  б) і 0.

2. Знайти область визначення функції .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості.

  Варіант 4.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log_1,1 0,3 і log_1,1 0,5; б) і .

3. Знайти область визначення функції .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log₃ (x + 1) і записати її властивості.

 2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

  а) log_a 0,6 < log_a 0,5;   б) log_a 5,9 > log_a 5,7.

2. Знайти область визначення функції .

3. Розв’язати графічно рівняння .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції .

 2) Порівняти числа:  а) log_0,7 5 і 0;  б) і 0.

2. Знайти область визначення функції .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості.

ТЕМА 19. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

 

Самостійна робота № 4

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2^x = 3; 2) log₄ (5x + 1) = 2; 3) log₂ (2x + 1) = log₂ (x – 2).

2. log₂ x + log₂ (x + 6) = 4.

3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (3x – 1) – lg (x + 5) = lg 5; 2) 3lg² (x ‑ 1) – 10lg (x – 1) + 3 = 0.

2. log₇ log₃ log₂ x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) log₂ x + log_x 2 = ; 2) . 2. .

3. Розв’язати систему рівнянь

  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 7^x = 2;  2) log₃ (5x ‑ 1) = 2; 3) log₂ (x ‑ 7) = log₂ (11 ‑ x).

2. log₃ (x + 1) + log₃ (x + 3) = 1.

3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (x – 1) – lg (2x ‑ 11) = lg 2; 2) .

2. log₂ log₃ log₄ x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2log_x 27 ‑ 3log₂₇ x = 1;  2) .

2. 0,1x^{lg x – 2} = 100.

3. Розв’язати систему рівнянь

 Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 5^x = 4;  2) log₂ (3x ‑ 1) = 3; 3) log₅ (x + 1) = log₅ (7 ‑ x).

2. log₅ (x + 1) + log₅ (2x + 3) = 0.  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (x + 6) – lg (2x ‑ 3) = 2 ‑ lg 25;  2) .

2. log₅ log₃ log₂ log₂ x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) log₃ x ‑ ;  2) log₂ x + log₄ x + log₁₆ x = 7.

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 9^x = 5; 2) log₄ (5x + 1) = 2; 3) log_0,3 (13 ‑ x) = log_0,3 (x + 3).

2. lg (x ‑ 3) + lg (x + 6) = lg 2 + lg 5. 3. .

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) log₂ (3x ‑ 1) + log₂ (x ‑ 1) = 1 + log₂ (x + 5); 2) .

2. lg lg lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) log_x 10 +lg x = 2;  2) log₃ x log₉ x log₂₇ x  log₈₁ x = .

2. .

3. Розв’язати систему рівнянь

ТЕМА 20. ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ

 

Самостійна робота № 5

 

  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log₅ x > 2;  2) .

2. .  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log₂ (x² – 13x + 30) > 3; 2) .

2. . 3. log_x (x + 2) > 0.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log_0,4 (x² + 2x – 3) > log_0,4 (x – 1);  2) log_3 – x (x – 2,5) > 0.

2. x^lg x < 100x.     3. .

 Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log₆ x > 2;  2) .

2. .  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;  2) .

2. .

3. log_x (x + 3) > 0.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log_0,7 (x² ‑ 2x – 3)  log_0,8 (9 ‑ x); 2) log_2x + 3 x² < 1.

2. x^lg x < 1000x².

3. .

  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log₅ x > ‑2;  2) .

2. .  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;  2) .

2. . 3. log_x (3x ‑ 1) > 1.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log_0,2 (x + 1) + log_0,3 (5 ‑ x)  log_0,2 (x + 7); 2) log_0,5 log₈  < 0.

2. .

3. .

  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log₂ x > 3;  2) .

2. .  3. .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) ;  2) .

2. . 3. log₄ (5x ‑ 1) > 1.

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) log_0,8 (x + 2) + log_0,8 (6 ‑ x)  log_0,8 (x + 8); 2) .

2. .  3. .

Тематичне оцінювання: теми 17 — 20

Контрольна робота 6

  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log₂ x і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння log₂ (3x + 1) = 4.

2. Розв’язати рівняння log₂ x + log₂ (x + 2) = 3.

3. Розв’язати нерівність .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 2) Прологарифмувати за основою 4 вираз .

 3) Розв’язати нерівність lg (3x + 4) < lg 2x.

2. Розв’язати рівняння log₅ log₃ log₂ x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 1 + log₃ (x ‑ 1).

 2) Розв’язати рівняння log₂ x – 2log_x 2 = ‑1.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння x^lg x = 1000x².

3. Розв’язати систему рівнянь .

 Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння log₅ (2x ‑ 1) = 3.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати нерівність .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 2) Прологарифмувати за основою вираз .

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння lg log₃ log₄ x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = ‑1 + .

 2) Розв’язати рівняння log₂ x + log_x 2 = 2,5.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати систему рівнянь .

  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння lg (3x + 1) = 2.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати нерівність .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння log₂ log₃ lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2 + .

 2) Розв’язати рівняння log₃ x = 1 + log_x 9.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати систему рівнянь .

  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції і записати її властивості.

 2) Розв’язати рівняння log₃ (4x + 1) = 2.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати нерівність .

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.

 2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння log₈ log₉ lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = .

 2) Розв’язати рівняння log₃ x + 2log_x 3 = 3.

 3) Розв’язати нерівність .

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати систему рівнянь