Система уроків "Розкладання многочлена на множники"

Про матеріал

Система уроків "Розкладання многочлена на множники" для дітей з особливими потребами.

Перегляд файлу

Дузенко Руслан Алімович,

вчитель математики та інформатики

Томаківського НВК

«ЗОШ І-ІІІ ст. – ДНЗ» № 1.

Томаківка

2018 рік

ТЕМА: Розкладання многочленів на множники способом

винесення спільного множника за дужки та способом

групування.

Формування компетентностей:

предмента: Формувати в учнів уміння розкладати многочлен на множники способом винесення спільного множника за дужки та способом групування, розвивати інтерес до математики;
інформаційно – цифрова: діяти за алгоритмом та складати алгоритми;
іціативність і підприємливість: використовувати критерії раціональності з метою вибору найкращого рішення;
соціальна та громадська: висловлювати власну думку, слухати і чути інших, оцінювати аргументи та змінювати думку на основі доказів;

Розкладання многочленів на множники – це перетворення, обернене до множення многочленів. Розв’язуючи різні задачі, іноді перемножують два чи більше чисел, а іноді – розкладають дане число на множники. Подібні задачі виникають в процесі перетворення цілих алгебраїчних виразів, скорочення дробів і розв’язування рівнянь.

Перелік понять, які використовуються в цій темі:

Одночлен – це найпростіші вирази – числа, змінні, їх степені й добутки.

Наприклад: 6; - ; z; х⁵; 0,3а²х.

Многочлен – це сума кількох одночленів.

Наприклад: 2ху-5х+6.

Розподільний закон множення: (а+в)∙с = а∙с + в∙с.

Щоб помножити многочлен на одночлен, потрібно кожний член многочлена помножити на даний одночлен і результати додати.

Наприклад: 6х∙(х³-2) = 6х∙х³- 6х∙2 = 6х⁴-12х.

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого многочлена і одержані добутки додати.

Наприклад: (2а-в)(3а-4в) = 2а∙3а+2а∙(-4в)+(-в)∙3а+(-в)∙(-4в) = 6а²-8ав-3ав+4в²= 6а²-11ав+4в².

Підготовчі вправи:

1) Розклади на множники числа:

30=2∙3∙5; 9=3²; 25=5²; 125=5³; 18=2∙3²; 20=2²∙5; 40=2³∙5.

2) Подай у вигляді добутку вирази:

а²= а∙а; х³= х∙х∙х; р⁴= р∙р∙р∙р; q²= q∙q; t⁵= t∙t∙t∙t∙t; n⁴= n∙n∙n∙n;

(х+у)² = (х+у)(х+у); (в-с)³= (в-с)(в-с)(в-с).

3) Знайди найбільший спільний дільник чисел:

а) 15; 10 і 20; б) 42; 35 і 63;

15=3∙5 42=6∙7

10=2∙5 35=5∙7

20=2²∙5 63=3²∙7

НСД (15; 10; 20)=5; НСД (42; 35; 63)=7;

Завдання для самостійного опрацювання:

1) Підкресли спільний множник у даних одночленах:

а) ав і ас (ு ав і ас)

б) 3х²у і 3х²z (ு 3х²у і 3х²z)

2)Підкресли спільний множник у даних многочлена:

с(а+z) і 2(а+z) (ு с(а+z) і 2(а+z))

Розкласти многочлен на множники – це означає замінити його добутком кількох многочленів, тотожним даному многочлену.

Наприклад: 1) х²-1 = (х-1)(х+1);

множення многочлена на одночлен

2) (а+в)∙с = а∙с + в∙с;

розкладання многочлена на множники

Найпростіші способи розкладання многочленів на множники:

винесення спільного множника за дужки;
спосіб групування;
використання формул скороченого множення.

В цьому розділі ми опрацюємо тільки перші два способи.

Вимоги до вивчення теми:

Учні повинні знати:

Учні повинні вміти:

Розподільний закон множення:

(а+в)∙с = а∙с + в∙с;

Мати уявлення про розкладання многочлена на множники;
Що означає розв’язати рівняння?
Коли добуток двох і більше множників дорівнює нулю?

Використовувати розподільний закон множення під час розв’язування завдань;
Уміти виділити спільний множник у вигляді одночлена або многочлена та подати многочлен у вигляді добутку і виконати перевірку;
Застосовувати подання многочлена у вигляді добутку при розв’язування рівнянь;
Уміти виділити групу доданків, які мають спільний множник, розкласти на множники кожну групу доданків та подати многочлен у вигляді добутку і виконувати перевірку;
Застосовувати спосіб групування до розв’язування рівнянь;

Методичні рекомендації на рівні стандарту:

І) Алгоритм винесення спільного множника за дужки:

Приклад 1. Розкладіть многочлен 9х²у - 9ху на множники.

Розв'язання:

Крок 1. Виділяємо спільний множник: 9ху∙х - 9ху∙1;

Крок 2. Застосовуємо розподільний закон: 9ху(х-1);

Крок 3. Записуємо відповідь: 9х²у - 9ху = 9ху(х-1).

Приклад 2. Розкладіть многочлен 3(а+в) + (а+в)²на множники.

Розв’язання:

3(а + в) + (а + в)² = 3(а + в) + (а + в)(а + в) = (а + в)(3+(а + в))=(а + в)(3 + а+ в).

ЗАУВАЖЕННЯ.

Щоб перевірити, чи правильно виконано дії, треба спільний множник помножити на вираз у дужках і одержаний результат порівняти з даним многочленом.
Якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «мінус», то знаки доданків у дужках змінюються на протилежні.

Наприклад: -ау + ву + су = -у(а - в - с);

Завдання 1. Розкладіть многочлен на множники використовуючи наступну таблицю:

Виконуємо разом:

Виконай самостійно:

ах + вх + сх = х(а + в + с);
ах²+ ау²+ аz² = а(х²+ у²+ z²);
15х²у² + 10х²у - 20х²y³= =3∙5∙х²∙у∙у+2∙5∙ х²∙у - 4∙5∙ х²∙у∙ ∙у² = 5х²у(3у+2 - 4у²);
7q(p-q) – 2p(p-q) = (p-q)(7q-2p);
х(х-4)-3(4-х) = х(х-4) +3(х-4) =

= (х-4)(х+3);

mу + nу + ру =
ву³+ вх⁶+ вz² =
40m²n – 25mn²+ 30mn³ =

5х(а+в) - 4у(а+в) =
5х(х-3) - а(3-х) =

Завдання 2. Розв’яжи рівняння використовуючи наступну таблицю:

Виконуємо разом:

Виконай самостійно:

х(х-3)=0

х₁=0 або х-3=0

х₂= 3

Відповідь: 0;3

2х²- 2х=0

2х(х-1)=0

х₁=0 або х-1 =0

х₂=1

Відповідь: 0;1

х³ - 5х²=0

х²(х-5)=0

х₁=0 або х-5=0

x₂=5

Відповідь: 0;5

у(у+5)=0

8у² – 8у = 0

3) у⁴+3у³ = 0

Завдання 3. Встанови відповідність між заданими виразами (а-д) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (1-5):

ு

а
б
в
г
д

а	2
б	4
в	1
г	5
д	3

Приклади: Відповіді:

а) mх + nх; 1) m(n + 3m);

б) 2m + 2n; 2) х(m+ n);

в) mn + 3m²; 3) 2m(3m - 1);

г) 4m²- 2mn; 4) 2(m + n);

д) 6m²-2m; 5) 2m(2m - n);

Завдання 4. Заміни пусту клітинку виразом, щоб одержати тотожність:

ு

5а-25в = (а-5в); 1) 5(а-5в);
12а-18с = 6(); 2) 6(2а-3с);
7а²-14а³ = 7а²(); 3) 7а²(1-2а);
12в³- 18в⁵= (2-3в²); 4) 6в³(2-3в²);
4)2а⁴ - 6а³ + 8а²= 2а²(); 5) 2а²(а²- 3а + 4);

Завдання для самостійного опрацювання:

В-1	В-2
Базовий рівень.
Розкласти на множники:
1) 18а-24с = (ு 6(3а-4с)) 2) 30с³ - 40с⁵= (ு 10с³(3 - 4с²))	1) 3а + 24 в = (ு 3(а + 8в)) 2) 27а⁵- 18а³= (ு 9а³(3а²-2))
Ускладнений рівень.
Розкласти на множники:
3) а¹²-а¹⁴ + а¹⁰ = (ு а¹⁰(а²-а⁴+ 1)) 4) 21аⁿ⁺³ -24аⁿ⁺¹ = (ு 3аⁿ⁺¹ (7а²-8))	3) а⁷-а⁸+ а⁶ = (ு а⁶(а-а²+ 1)) 4) 56аⁿ⁺⁴+63аⁿ^-1 = (ு 7аⁿ^-1 (8а⁵+9))
Розв’язати рівняння:
5) 6х²- 5,4х = 0 ( ு 6х(х-0,9) = 0 х₁=0 або х-0,9 = 0 х₂=0,9 Відповідь: 0; 0,9 )	5) 9х²- 7,2х = 0 ( ு 9х(х-0,8) = 0 х₁=0 або х-0,8 = 0 х₂=0,8 Відповідь: 0; 0,8 )

Розглянь наступні розв’язані приклади та зверни увагу на відміну у виразах 1-3:

1) с(а + m) + n(а + m) = (а + m)(с + n);

2) 3(а - в) + с(в - а) = 3(а - в) - с(а - в) = (а - в) (3 - с);

3) а(х + у) + х +у = а(х + у) + (х + у) = (х + у)(а + 1);

4) 10х² + 10ху + 3х + 3у;

5) 10х² + 10ху + 5х + 5у;

Приклад п’ятий розв’язуємо по кроках:

ІІ) Алгоритм до способа групування:

Крок 1. Об'єднуємо члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник:

10х² + 10ху +5х + 5у = (10х²+ 10ху) + (5х + 5у);

Крок 2. Виносимо спільний множник за дужки в кожній групі:

(10x²+ 10ху) + (5х + 5у) = 10х(х + у) + 5(х + у);

Крок 3. Виносимо за дужки спільний множник виразу:

10х(х + у) + 5(х + у) = (х + у)(10х + 5) = 5(х + у)(2х + 1);

Отже, 10х²+ 10ху + 5х + 5у = 5(х + у)(2х + 1).

Завдання 1. Розкладіть многочлен на множники використовуючи наступну таблицю:

Виконуємо разом:

Виконай самостійно:

1) 2а(х + у) + х + у = 2а(х+у)+(х + у) =

= (х+у)(2а+1);

2) а(m + n) + вm+ вn = а(m + n) +

+ (вm+ вn) = а(m + n) + в(m + n) =

=(m + n)(а+в);

m²+ mn – 5m – 5n = (m²+ mn) –

- (5m + 5n) = m(m + n) - 5(m + n) =

= (m + n) (m -5);

3в(m + n) + m + n =

х(а + в) + ay + вy =

а²- ав - 3а + 3в =

Завдання 2. Розв’яжи рівняння використовуючи наступну таблицю:

Виконуємо разом:

Виконай самостійно:

1) х(х-15) + 3(х-15) = 0

(х-15)(х+3) = 0

х-15 = 0 або х+3 = 0

х₁=15 х₂= -3

Відповідь: -3; 15

1) у(у+2) – 7(у+2) = 0

Завдання 3. Встанови відповідність між заданими виразами (а-д) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (1-5):

ு

а
б
в
г
д

а	5
б	3
в	2
г	1
д	4

Приклади: Відповіді:

а) m(1+n)+n(1+n); 1) (а - в)(а - в + с);

б) ах+х+2(а+1); 2) (а + в)(а + в - 3);

в) (а+в)²-3(а+в); 3) (а + 1)(х + 2);

г) (а-в)²+с(а-в); 4) (m + с)(с²+ 1);

д) с²(с+m)+m+с; 5) (m + n)(1+n);

Хочеш дізнатися більше, зверни особливу увагу на завдання 4 та 5:

Завдання 4. Обчисліть значення виразу:

Якщо m = 0,35 і n = 0,25, то

m²- mn – 2m + 2n = m(m - n) - 2(m - n) = (m - n)(m - 2) = (0,35 - 0,25)(0,35 - 2) = = 0,1∙(-1,65) = -0,165;

Завдання 5. Розв’язати рівняння:

у(у-2) - 7(2-у) = 0

у(у-2) + 7(y-2) = 0

(у-2)(у+7) = 0

у-2=0 або у+7=0

y₁=2 y₂= -7

Відповідь: -7; 2

Завдання для самостійного опрацювання:

В-1	В-2
Базовий рівень.
Розкласти многочлен на множники:
1) 5ах + вх - 5ау - ву = (ு х(5а + в)-у(5а + в) = (5а + в)(х - у) ) 2) 10ах – 4ау + 5сх – 2су = (ு 2а(5х-2у)+с(5х-2у)=(5х-2у)(2а+с) )	1) 7а + 7в - 2а² - 2ав = (ு 7(а + в) - 2а(а + в) = (а +в)(7 - 2а) ) 2) 2ах – вх + 10ау – 5ву = (ு 2а(х+5у)-в(х+5у)=(х+5у)(2а-в) )
Ускладнений рівень.
Обчислити:
3) 20,5•17+79,5•17+20,5•0,28+79,5•0,28= ( ு 17(20,5+79,5)+0,28(20,5+79,5)= =(20,5+79,5)(17+0,28)=100•17,28=1728)	3) 42,2²- 42,2•41,2 + 57,8²- 57,8•56,8 = ( ு 42,2(42,2 - 41,2)+57,8(57,8 - 56,8)= = 42,2+57,8 = 100 )
Розв’язати рівняння:
4) х³-3х²+х-3 = 0 ( ு х²(х-3)+(х-3)=0 (х-3)(х²+1)=0 х-3=0 або х²+1=0 х=3 х²-1 Рівняння розв’язку не має Відповідь: 3 )	4) х³+4х²+3х+12=0 ( ு х²(х+4)+3(х+4)=0 (х+4)(х²+3)=0 х+4=0 або х²+3=0 х= - 4 х²-3 Рівняння розв’язку не має Відповідь: - 4 )

ТЕМАТИЧНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА

МЕТА: Перевірити, як засвоєно способи розкладання на множники: винесення спільного множника за дужки, групування, застосування цих методів до розв’язання рівнянь.

ХІД РОБОТИ

І. Тематична контрольна робота.

І варіант II варіант

Початковий рівень

1 .Закінчить запис

а) 9в + 9t = 9(...); а) 12х- 12у = 12(...);

б) а(m+n) + в(m+n)= (m+n)(...). б) m(а +в) + n( а+в)= (а+в)(...)

2.Розв’яжіть рівняння

а) х(х-1)=0 а) z(z-2)=0

х₁=…; х₂=… z₁=…; z₂=…

Середній рівень

1. Винесіть спільний множник за дужки:

а) 7n-14n²; а) 21х²-7ху; б) а(3-в)-5(в-3); б) с(х-2)-d(2-х);

2. Розкладіть многочлен на множники способом групування:

mх - mу + nх - nу; mх + mу + nх + nу;

Достатній рівень

1. Винесіть за дужки спільний множник:

8а⁴x⁴+ 7а³х³+ а²х²; 64х³у – 96x²y²+ 32ху;

2. Розкладіть многочлен на множники:

(Зх - 4у)²- (Зх - 4у)(7х + 2у) (6а + 2в)(7в -6а) - (6а +2в)²

3. Розв’яжіть рівняння:

у³ - 5(у²- 2) = 10 х² - 6(х - 3) = 18

Високий рівень

1. Подайте у вигляді добутку:

a) 3вⁿ⁺¹ + 21вⁿ; a) 2х^m+1-25х^m ;

б) -24вх - 15с²+ 40вс + 9сх; б)32х у²+ 15уz²- 48xz² - 10у³;2. Доведіть, що:

16¹⁷+16¹⁶ ділиться на 17; 5¹² + 5¹⁰ ділиться на 13.

Ключі до контрольної роботи:

І варіант II варіант

Початковий рівень

1 .Закінчить запис

а) 9(в+t); а) 12(х-у);

б) (m+n)(а+в); б) (а+в)(m+n);

2.Розв’яжіть рівняння

а) 0;1 а) 0;2

Середній рівень

1. Винесіть спільний множник за дужки:

а) 7n(1-2n); а) 7х(3х-у); б) (3-в)(а+5); б) (х-2)(с+d);

2. Розкладіть многочлен на множники способом групування:

(х-у)(m+n); (х+у)(m+n);

Достатній рівень

1. Винесіть за дужки спільний множник:

а²х²(8а²х²+7ах+1); 32ху(2х²-3ху+1);

2. Розкладіть многочлен на множники:

-2(Зх-4у)(2х+3у); 2(3а+в)(5в-12а);

3. Розв’яжіть рівняння:

0;5 0;6

Високий рівень

1. Подайте у вигляді добутку:

a) 7вⁿ(0,5в+3); a) 5х^m(0,5х-5); б) (3с-8в)(3х-5с); б) (2у²-3z²)(16-5у);

2. Доведіть, що:

Розкласти на множники і скористатись правилом, що добуток ділиться на число, коли один з множників ділиться на дане число.

16¹⁶∙17; 5¹⁰∙26;

Творче завдання:

Скласти завдання по рівнях з теми: «Розкладання многочленів на множники з використанням формул скороченого множення».

docx

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Дузенко Руслан Алімович

Пов’язані теми

Алгебра, Розробки уроків

Інкл

До підручника

Алгебра 7 клас (Істер О.С.)

Додано

16 лютого 2019

Переглядів

5709

Оцінка розробки

Відгуки відсутні