23 липня о 18:00Вебінар: STEM-освіта без гендерних стереотипів – запорука успішного майбутнього школярів

Система уроків з теми "Вектори на площині"

Про матеріал
Система уроків з теми "Вектори на площині" З курсу фізики учням відомо, що дееякі фізичні величини характеризуються не тільки числовим значенням, але й напрямом. Необхідність математичного моделювання таких величин спричинила створення теорії векторів. Учні знайомляться з поняттям вектора, вивчають ознаки і властивості векторів; розвивають спостережливість, здатність узагальнювати і робити висновки, вчаться виконувати дії з векторами, розв'язувати задачі прикладного характеру.
Зміст архіву
Перегляд файлу

Урок    1.

Тема.  Вектор. Модуль і напрям вектор, рівність векторів .

Мета: формування поняття вектора і супутніх йому понять
(абсолютна величина вектора, напрям вектора, рівні вектори); навичок відкладання вектора від точки, сприяти розвитку мислення, усної та письмової математичної мови, уваги, виховання дисциплінованості.

Обладнання: опорні конспекти
Тип уроку:  комбінований (урок ознайомлення з новим матеріалом).
                                                               Хід уроку.

 І . Організаційний етап

Чого б ти не навчався,

ти навчаєшся для себе.

                 Петроній

ІІ. Повідомлення  теми і цілей уроку, мотивація вивчення теми   (Презентація №1, слайди 1-3)

 Ми починаємо вивчати заключну частину теми "Декартові координати, рух і вектори на площині", яка носить назву "Вектори на площині".

При вивченні цієї теми будуть розглянуті такі питання:

1). Вектори. Арифметичні дії над векторами (додавання, віднімання, множення на число)
2). Скалярний добуток двох векторів.
3). Розкладання векторів за двома неколінеарними векторами. Орти.
На сьогоднішньому уроці будуть розглянуті наступні поняття: вектор, модуль вектора, напрям вектора, рівність векторів.

Ніколи не соромся запитувати

про те, чого не знаєш.

Арабське прислів’я

Історична довідка. (Презентація №1, слайди 4-6)
    Вектор - відносно нове математичне поняття. Сам термін "вектор" (від лат Vector -.  "Несучий") вперше з'явився в 1845 році у ірландського математика і астронома Вільяма Гамільтона (1805-1865) в роботах з побудови числових систем, узагальнюючих комплексні числа. Гамільтону належать терміни «скаляр», «скалярний добуток», «векторний добуток». вів німецький математик Герман Грассман (1809 -  1877). Англієць Вільям Кліффорд (1845 - 1879) зумів об'єднати два підходи в рамках загальної теорії, що включає в себе і звичайне

Майже одночасно з ним дослідження в тому ж напрямку, але з іншої точки зору числення. А остаточний вигляд воно прийняло в працях американського фізика і математика Джозайл Вілларда Гіббса (1839 - 1903), який в 1901 році опублікував великий підручник з векторного аналізу. Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, які характеризуються величиною і напрямком.

 



Вільям Гамільтон                     Герман Грассман            Джозайл Віллард Гіббс

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Самостійна робота.  В  паралелограмах  АВСD  і  А1В1С1D1  АВ=А1В1,  АD1D1 і кут А  рівний куту А1.  Доведіть,  що  паралелограми  рівні,  суміщаються рухом.

 В С В1 С1

 

 А  D   А1 D1

Доведення .

  1.   Сумістимо паралелограми  АВСD  і  А1В1С1D1  так,  щоб  точки  А  і  А1  співпали,  а  сторона  АВ  сумістилась  зі  стороню  А1В1.  Тоді  точки  В  і  В1  співпадуть  і  сторона  AD  суміститься зі стороню  А1D1,  так  як  кути  А і А1  рівні. 

2. Так як  АD1D1,  то  точки  D  і  D1  сумістяться.  Звідси слідує,  що сумістяться   і      діагоналі     ВD  і  В1D1.

 3.  якщо співпадуть відрізки,  то  зівпадуть  і їх середини,  отже,  точка     О    суміститься  з  точкою  О1 (діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл). Значить, відрізки АО  і  А1О1  також  сумістяться.  АО=ОС  і  А1О11С1 (за  властивістю  диагоналей  паралелограма).

  4.  Оскільки відрізки АО  і  А1О1  співпали,  можемо  стверджувати,  що  АО=А1О1,  але тоді ОС=О1С1, отже, точка С збігається з точкою С1. Тоді сторона ВС сполучиться зі стороною В1С1 і сторона СD сполучиться зі стороною С1D1. Отже, паралелограми рівні, тобто поєднуються рухом.

 

Фронтальне опитування

1). Які півпрямі називаються однаково напрямненими?
2). Доведіть, що якщо півпрямі а і в однаково напрямлені, і півпрямі в і з однаково напрямлені, то півпрямі а і з теж однаково напрямлені.
  3). Які півпрямі називаються протилежно напрямленими?

IV. Сприйняття і осмислення матеріалу

 (Під час пояснення нового матеріалу учні основні поняття записують в конспект)

1.Поняття вектора                                В (кінець)

 

 

 

                                 А ( початок)                       

 

Абсолютна величина вектора

| |=АВ.

Вектор характеризується величиною і напрямком.

Рівні вектори  (  однаково  напрямлені  й рівні за абсолютною величиною)                                  Д

                                                       В

              А

                                         С

 


    Вектор - спрямований відрізок. Напрямок вектора визначається зазначенням його початку і кінця. На малюнку напрям вказується стрілкою

 

Вектор  можна  позначати різними способами: 

     Вектори називаються однаковонапрямленими, якщо однаково напрямлені півпрямі, що містять вектор. Вектори називаються протилежнонапрямленими, якщо вони лежать на протилежно напрямлених півпрямих.

 

                                      

 

    і  -  однаково  напрямлені;  і    -  протилежно  напрямлені.

 Вектор  задається  напрямком  і  абсолютною   величиною. 

 

Абсолютною  величиною (модулем)  вектора  називаеться  довжина відрізка,  що зображає  вектор:  . Початок вектора  може  співпадати  з його кінцем.  Такий  вектор  називаеться  нульовим  вектором  ().Про напрям нульового вектора не говорять. Абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулю.
 

  Означення: Два вектора називаються рівними, якщо вони збігаються при паралельному перенесенні. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні по абсолютній величині.
 

Властивість: Якщо вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.

Доведення .
     Нехай АВ і СD - однаково напрямлені вектори, рівні по абсолютній величині. Паралельний перенос, що переводить точку С в точку А, поєднує пів пряму СD з пів прямою АВ, тому що вони однаково напрямлені. А тому відрізки АВ і СD рівні, то точка D збігається з точкою В, тобто паралельний перенос переводить СD в АВ. Отже, АВ = СD.

 

                  D                     В

               С                   А

Запитання . Скільки  рівних  векторів  можна  відкласти  від  однієї  точки  в  заданому  напрямку?

    Якщо є деяка точка  А,  тоді від неї можна відкласти  один  і  тількои  один  вектор  ´,  рівний  вектору  .

                          А                       

 

   

Існує єдиний паралельний перенос, при якому початок вектора    переходить  в  точку  А. Вектор,  в  який  при цьому переходить  вектор  ,  і  являеться  вектором  ´.

 

V. Формування поняття вектора, напрямки вектора, рівних векторів

 Вважай нещасливим той день і ту годину,

коли ти не засвоїв нічого нового.

Давньокитайська мудрість

Діалог

№1. На прямій дано три точки: А, В, С, причому точка В лежить між А і С. Серед векторів АВ, АС, ВА і ВС назвіть однаково напрямлені і протилежно напрямлені.

2. №452
3. Дано паралелограм АВСD. Назвіть: а) однаково напрямлені вектори, б) протилежно напрямлені вектори, в) вектори, які мають рівні модулі; г) вектори, рівні векторам АО, ВА, ОД.

Розвязання.

а)    і  ;    і  ;    і  ,    і  .

 б)    і  ,    і  ,    і ,    і  ,    і  ,    і  ,    і  ,  і  .

 в)    і  ,    і  .

 г)   =,  =,  =.

 

              В С

 

         А D

Колективна робота (учень розв’язує задачу біля дошки)

4. Чотирикутник АВСD -  паралелограм.  Доведьть рівність векторів  АВ  і  DС.

               В С

 А     D 

Доведення .

  1.   Застосуємо до АВ  паралельний  перенос,  при  якому  точка  А  переходить  в  точку  D.  В  результаті  цього  переносу  точка  А  перемещається  вздовж прямої  ВС,  ВС||АD. Пряма  АВ  переходить  в  паралельну  їй  пряму,  тобто в  DС.

2.Отже,  точка  В  перейде  в  точку  С.  Таким  чином  паралельний  перенос  переводить  вектор    в  вектор  ,  а  отже,  ці  вектори  рівні:  =.

5.  Відкладіть  від  точки  С  вектор,  рівний  вектору    (із  №2 ).

Розвязок.

             В                   С

 А  D

 

      =,  так як ( В→С,  А→D)  і  (ВС||АD).

6. № 454

Усні вправи

№1 Дано: АВСД — прямокутник;  АВ=3; ВС=4; М- середина АВ.

Знайти: |АВ|; |ВС|; |ДС|; |МА|; |СВ|; |АС|.

№ 2 Основа АD прямокутної трапеції АВСD з прямим кутом А дорівнює     12,  АВ=5 і  < D= 450 .   Знайти модулі векторів .

 

Робота в парах  №448

V І. Підсумок уроку

?    Назвіть однаково напрямлені і протилежно напрямлені вектори

       а                              в                                                 с                   d

                                                              p      

   VІ. Домашнє завдання

  Вивчити §14 пункт 14.1- 14.2

№453 (6 балів),

№455(9 балів),          № 467

№457(12 балів)

 

Перегляд файлу

Урок №12

Тема уроку: Діі з векторами

Мета уроку:вдосконалювати вміння учнів виконувати дії з векторами, розв’язувати задачі на застосування основних означень і теорем; розвивати логічне мислення, культуру математичної мови і записів; виховувати самостійність, інтерес до математики, взаємодовіру.

                                        Хід уроку

Тільки той,

хто не боїться великих невдач,

зможе досягти успіху.

Дж. Кенеді

І.  Організаційний етап

Постановка цілей і завдань уроку: завдання уроку : вдосконалити вміння  виконувати дії з векторами, розв’язувати задачі на застосування основних означень і теорем.

ІІ. Розминка «Чи готові до уроку?»

На екрані з’являються тестові завдання  із домашньої роботи у різному порядку. Учням потрібно швидко, назвавши правило, обрати відповідь із запропонованих.

Тестова робота

Користуючисьмалюнком,

виконайте завдання 1—6.

  1. Знайдіть координати вектора .
    А (1; 1) Б (-2; 2) В (2; 2) Г (2; -2)
  2. Укажіть вектор, який дорівнює век­тору .

A  Б  В  Г

  1. Укажіть координати вектора + .

А (2; 5) Б (1; 2) В (5; 2) Г (1; -2)

  1. Знайдіть .

А   Б 2  В 0   Г 1

  1. При якому значенні вектори (1; -1) і (п; 1) колінеарні?

А Ні при яких п   Б п = -1 

В п = 1   Г п = ±1

  1. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо А(0; 2),    В(1; 0), С(2; 0).

А D(1; 2) Б D(2; 2) В D(1; -2)  Г D(2; 1)

  1. Знайдіть координати вектора .
    А(1; 1) Б (-2; 2) В (2; 2) Г(2; -2)
  2. Укажіть вектор, який дорівнює век­тору .

А  Б  В  Г

  1. Укажіть координати вектора .

А (1; 2)  Б(-1; 2) В (1; -2)  Г(-1; -2)

  1.                     Знайдіть .
    А  Б 2  В 0  Г 1
  2.                     При якому значенні п вектори (-1; 1) і (п; -1) коліне­арні?

А n = 1 Б п = -1 В n = ±1  Г ні при яких п

  1.                     При якому значенні п вектори (1; -1) і (п; 1) перпендику­лярні?

А Ні при яких n   Б n = -1 В n = 1 Г n = ±1

 

ІІІ. Вдосконалення  вмінь виконувати дії з векторами

Робота в парах за алгоритмом

Учням даються завдання  + до окремих завдань даються детальні розв’язки, з метою, щоб учні самостійно могли перевірити правильність виконання завдань та зробити самоаналіз допущених помилок.

 

№ 1.  Доведвіть, що для любих двох векторів   і :  ()222 .

Доведення.

     =| | ||cosα,  тоді  ()2= ||2•||2 cos2α,

якщо  -1≤сosα ≤1,  тоді  0≤cos2α≤1,  значить  ()222.

№ 2.  Знайти кут між векторами  (1;2),  (1;-0,5).

Розв’язання .

 =11+2(-0,5)=0.

 = ||  ||cosα,  звідси слідує, що

 ||  ||cosα =0,  cosα=0, так як   ≠ 0,  ≠ 0,  α=90˚

№3.  Доведіть, що вектори (m;n)  і  (-n;m)  перпендикулярні, або обидва рівні нулю.

Доведення .

= ||  || cosα.  = -mn+mn=0.  Звідси слідує, що   cosα=0  або (=0  і  =0),  і    перпендикулярні.

№ 4.  Дано вектори (1;0)  і  (1;1).  Знайдіть таке число  λ,  щоб  вектор    був перпендикулярний  вектору  .

Розв’язання .

     Якщо     і  ()  перпендикулярні,  тоді  ()=0.

Розв’яжемо отримане рівняння :  2=0,  λ= -2,  λ= - (2)/( ).

  2=1,  =1+10=1,  λ=-1.

Додаткове завдання.

№5. Доведіть рівність 2=⌡2 ( скалярний квадрат вектора дорівнює  квадрату його модуля)

Розв’язання .

    Нехай 12). Тоді |│=√а1222; ⌡21222;

2==(а1а2)1а2)=а1222. Значить,  2=│2 .

№6.  Виведіть формулу квадрата суми двох векторів.

Розв’язання.

    Тоді  (+)2=(+)(+)=(+)+(+)=+++=2+2+2.

№7. Доведіть, що (+)(-)=2-2.

Обчисліть (+)(-), якщо ││=3, ││=5.

 

Розв’язування задач біля дошки

1.Розв’язати  задачу № 641 на дошці і в зошитах (для кута А пояснює вчитель):

Розв’язання

1) cos A =

cos A = ;  cos A = , то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ≈ 0,9286;  B знаходимо за таблицями Брадиса:

B ≈ 21°47′.

3) C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

відповідь: A = 60°;  B ≈ 21°47′;  C ≈ 98°13′.

 

ІІІ. Підсумок уроку . «Дельта - плюс»

Учні спочатку висловлюють позитивні моменти уроку  - « плюс», а потім про моменти які можна було замінити, або уникнути.цей метод навчає учнів дипломатично висловлювати свою думку, зважаючи на почуття оточуючих.

Що  ми робили на уроці?

Навіщо ми це робили?

Чи досягли ви очікуваних результатів?

Чи працювали ви на завданнями  разом(в групі , в парі)?

Чи узагальнювали видумки інших?

Чи доповнювали думки інших?

Чи вносили ви пропозиції, які були враховані в ході розв’язування?

 

ІV Домашнє завдання

§17-18    №644, №639,    №654

 

 

Урок №11

Тема уроку: Діі з векторами

Мета уроку: виявити глибину учнівських знань, перевірити знання, вміння і навички учнів з теми «Вектори на площині» ; розвивати вміння мислити, застосовувати набуті знання до розв’язування вправ; виховувати самостійність, уміння самоорганізуватись.

Тип уроку: урок самостійної роботи.

                                                 Хід уроку

І. Організаційний етап

Повідомлення теми, мети і очікуваних результатів уроку. Коротка характеристика завдань самостійної роботи.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

З класом повторюються основні моменти теми «Вектори». Для цього дається завдання, пропонується уч­ням відповідати по плану. Оцінюються відповіді.

1.  Повторення теорії необхідної при розв'язанні задач. (про­водиться у вигляді змагання між двома групами- рядами).

1) Означення вектора.

2) Координати вектора, як їх знайти.

3) Абсолютна величина вектора.

4) Сума і різниця векторів.

5) Добуток вектора на число.

6) Властивості колінеарних векторів.

7) Скалярний добуток векторів.

8) Що собою являє скалярний добуток векторів? (число чи вектор)

9) Якщо вектори перпендикулярні, що можна сказати про їх скаляр­ний добуток? Чи вірне обернене твердження?

10) Косинус кута між векторами.

2.  За­дачі, які розв'язуються усно.

1)  Вектор   має   кінець  у  точці  А(; 0,3), а    початок     у   точці В(0,3; ).

Обчисліть координати даного вектора.

3)  Знайдіть абсолютну величину вектора , якщо?

4)  Данo вектори (2; -1), (-1 ; 3), (4; 0).

Обчисліть різницю векторів + і .

5)  При якому значені b вектори (6; b) і (5; -3) взаємно перпен­дикулярні

 

ІІІ. Виконання самостійної роботи

Текст контрольної роботи. Кожна правильна відпо­відь оцінюється в 3 бали.

Варіант 1

  1. Знайдіть координати вектора = – 2, якщо (1; 1), (3; 1).
  2. Дано три вершини паралелограма ABCD: A(-2; 1), В(-1; 1), С(1; 1). Знайдіть координати вершини D.
  3. Дано вектори (4; 2) і (x; -4). При якому значенні х ці вектори колінеарні?
  4. Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(-1; 1), В(0; 2),     С(1; 1). Знайдіть зовнішній кут при вершині А.

Варіант 2

  1. Знайдіть координати вектора = 2, якщо (1; 1), (3; 1).
  2. Дано три вершини паралелограма ABCD: A(1; -3), В(2; -1), D(3; -3). Знайдіть координати вершини С.
  3. Дано вектори (4; 2) і (x; -4). При якому значенні х ці вектори перпендикулярні?
  4. Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(3; 5), В(4; 6),      С(5; 5). Знайдіть зовнішній кут при вершині А.

Варіант 3

  1. Знайдіть координати вектора = 3, якщо (-1; 2), (1; -2).
  2. Дано три вершини паралелограма ABCD: A(-4; 1), В(-1; 3), D(-2; 1). Знайдіть координати вершини С.
  3. Дано вектори (2; 5) і (-6; у). При якому значенні у ці век­тори перпендикулярні?
  4. Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(1; 3), В(2; 4),       С(3; 3). Знайдіть зовнішній кут при вершині А.

Варіант 4

  1. Знайдіть координати вектора = 3, якщо (-1; 2), (1; -2).
  2. Дано три вершини паралелограма ABCD: В(1; 3), С(-1;4), D(-2;2). Знайдіть координати вершини А.
  3. Дано вектори (2; 5) і (-6; у). При якому значенні у ці век­тори колінеарні?
  4. Трикутник ABC задано координатами його вершин: А(0; 2), В(1; 3),      С(2; 2). Знайдіть зовнішній кут при вершині А.

Відповіді та розв'язання до завдань тематичної контрольної роботи

Варіант 1

1. (1 23; 1 2 ∙ 1) = (-5; -1). Відповідь. (-5; -1).

2. Нехай D(x; y), тоді (1; 0), (1 x; 1 – у) (рис. 213). Оскільки = , то Отже, D(0; 1). Відповідь. D(0; 1).

3. Вектори колінеарні, якщо , тоді х = -16, х = -8. Відповідь. х = -8.

4. (-2; 0), (1; 1) (рис. 214). = =     = = = , звідси α = 135°. Відповідь. 135°.

  

Варіант 2

1. (2 ∙ 1 – 3; 2 ∙ 1 – 1) = (-1; 1). Відповідь. (-1; 1).

2. Нехай С(х; у), тоді (1; 2), (х – 3; у + 3) (рис. 215). Оскільки =, то Отже, С(4; -1). Відповідь. С(4; -1).

3. Дані вектори перпендикулярні, якщо 4 ∙ х + 2 ∙ (-4) = 0, тоді 4х – 8 = 0; 4х = 8; х = 2. Відповідь. 2.

4. (-2; 0), (1; 1), тоді (рис. 216) = =     = = = , звідси α = 135°. Відповідь. 135°.

  

Варіант 3

1. (-1 – 3 ∙ 1; 2 – 3 ∙ (-2)) = (-4; 8). Відповідь. (-4; 8).

2. Нехай С(х; у), тоді (3;2), (x + 2; y 1) (рис. 217). Оскільки = , то Отже, С(1; 3). Відпо­відь. С(1; 3).

3. Дані вектори перпендикулярні, якщо 2 ∙ (-6) + 5 ∙ у = 0, звід­си -12 + 5у = 0;    5у = 12; у = 2,4. Відповідь. 2,4.

4. (-1; -1), (2; 0) (рис. 218), тоді

== = = , звід­си α = 135°. Відповідь. 135°.

  

Варіант 4

1. (3 ∙ (-1) – 1; 3 ∙ 2 – (-2)) = (-4; 8). Відповідь. (-4; 8).

2. Нехай А(х; у), тоді (1 – х; 3 – у), (1; 2) (рис. 219). Оскільки = , то Отже, А(0; 1). Відпо­відь. А(0; 1).

3. Вектори колінеарні, якщо , звідси 2у = -30; у = -15. Відповідь. -15.

4. (-1; -1), (2; 0) (рис. 220), тоді

= = = = , звідси α = 135°. Відповідь. 135°.

  

 

IV. Підсумок уроку

Звертається увага на завдання, які викликали забруднення.

Збираються зошити на перевірку.

V. Домашнє завдання

§16-19 (повторити основні означення,теореми і формули)

Тестова робота

Варіант 1

Користуючисьмалюнком,

виконайте завдання 1—6.

I рівень

  1. Знайдіть координати вектора .
    А (1; 1) Б (-2; 2) В (2; 2) Г (2; -2)
  2. Укажіть координати вектора -.

А (-2; 2) Б (2; -2);   В (2; 2) Г (-2; -2)

  1. Укажіть вектор, який дорівнює век­тору .

A  Б  В  Г

II рівень

  1. Укажіть координати вектора + .

А (2; 5) Б (1; 2) В (5; 2) Г (1; -2)

  1. Укажіть координати вектора .

А (1; 2) Б (-1; 2) В (1; -2)  Г(-1; -2)

  1. Знайдіть .

А   Б 2  В 0   Г 1

ІІІ рівень

  1. При якому значенні вектори (1; -1) і (п; 1) колінеарні?

А Ні при яких п   Б п = -1 

В п = 1   Г п = ±1

  1. При якому значенні п вектори (1; 1) і (п; 1) перпендику­лярні?

А п = 1   Б п = -1 

В п = ±1    Г ні при яких п

  1. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо А(0; 2),    В(1; 0), С(2; 0).

А D(1; 2) Б D(2; 2) В D(1; -2)  Г D(2; 1)

IV рівень

  1.                     Дано точки A(2; 1), B(3; 2), C(3; 1). Знайдіть внутрішній кут С трикутника ABC.

А 30°  Б 45°  В 60°  Г 90°

  1.                     Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(0; 1), В(1; 3), С(2; 1),     D(1; -1).

А 2  Б 4  В 6  Г 8

  1.                     Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо А(0; 1), В(; 2), С(; 1).

А 30°  Б 45°  В 60°  Г 90°

 

 

Варіант 2

Користуючисьмалюнком, виконайте завдання 1—6.

I рівень

  1. Знайдіть координати вектора .
    А(1; 1) Б (-2; 2) В (2; 2) Г(2; -2)
  2. 2. Укажіть координати вектора -.
    А (-2; 2) Б (2; -2); В (2; 2)  Г (-2; -2)
  3. Укажіть вектор, який дорівнює век­тору .

А  Б  В  Г

II рівень

  1. Укажіть координати вектора + .

А (2; 5) Б (1; 2) В (5; 2) Г (1; -2)

  1. Укажіть координати вектора .

А (1; 2)  Б(-1; 2) В (1; -2)  Г(-1; -2)

  1. Знайдіть .
    А  Б 2  В 0  Г 1

III рівень

  1. При якому значенні п вектори (-1; 1) і (п; -1) коліне­арні?

А n = 1 Б п = -1 В n = ±1  Г ні при яких п

  1. При якому значенні п вектори (1; -1) і (п; 1) перпендику­лярні?

А Ні при яких n   Б n = -1 В n = 1 Г n = ±1

  1. Знайдіть координати вершини А паралелограма ABCD, якщо В(1; 0),      C(1; 1), D(-1; 0).

А А(2; 1) Б А(-1; -1) В А(0; 1)  Г А(0; -1)

IV рівень

  1.                     Дано точки A(1; 1), В(2; 1), С(2; 2). Знайдіть внутрішній кут А трикутника ABC.

А 30°  Б 45°  В 60°  Г 90°

  1.                     Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо A(1; 1), В(2; 3), С(3; 1),     D(2; -1).

А 2  Б 4  В 6  Г 8

  1.                     Знайдіть кут В трикутника ABC, якщо А(0; -1), В(; 0), С(; -1).

А 30°  Б 45°  В 60°  Г 90°

 

Відповіді до тестових завдань

 

Рівень

Номер завдання

Варіант 1

Варіант 2

І

1

В

В

2

А

А

3

Б

Г

II

4

В

В

5

Б

Б

6

В

В

III

7

Б

А

8

Б

В

9

А

Б

IV

10

Г

Б

11

Б

Б

12

А

В

 

 

 

Перегляд файлу

Урок №13

Тема уроку: Застосування лінійних операцій над векторами.
Рішення геометричних задач векторними методами.

Мета уроку: Закріпити навички знаходження скалярного добутку векторів і кута між векторами;
               Розвиток графічної культури і обчислювальних навичок школярів;
               Виховання навичок навчальної праці.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Перевірка виконання домашнього завдання виконується на перерві (до уроку). На початку уроку робиться аналіз допущених помилок, та вказуються недоліки при розв’язанні задач. Паралельно проводиться фронтальне опитування учнів (перевіряється знання теоретичного матеріалу.)

ІІ.  Актуалізація опорних знань
1) Математичний диктант

Варіант  1.

    №1.  Дано  ромб  АВСD, діагоналі якого перетинаються в точці О;  АВ=ВD.   Знайдіть кут між векторами:  а)     і  ;  б)    і ;  в)     і 

    №2. Чому дорівнює кут між векторами     і ,  якщо:  а)  = || •| |;  б)  = 0,5 • || • ||?

     №3.  Скалярний  квадрат  вектора    дорівнює  4.  Знайдіть  абсолютну  величину  вектора    .

     №4.  Чи перпендикулярні вектори (2;3)  і  (3;-2)?

     №5. Знайдіть координати і довжину вектора ,  якщо  А(4;0),  В(12;-2).

Варіант  2.

      №1.  Дано  ромб  АВСD, діагоналі якого перетинаються в точці О,  АВ=ВD.  Знайдіть кут між векторами:  а)    і  ;  б)     і  ;  в)     і  .

      №2. Чому дорівнює кут між векторами     і ,  якщо  : 

а)  = = - ;  б)  = ?

      №3.  Скалярний  квадрат  вектора    дорівнює  9.  Найдите  абсолютну  величину  вектора    .

      №4. Чи перпендикулярні вектори (-3;2)  і  (2;-3)?

      №5.  Знайдіть координати і довжину вектора   , якщо С(-5;1),  D(-5;-7).

Відповіді.

 Варіант 1.

№1. а) 60˚; б) 60˚; в) 180˚  №2. а) 360˚; б) 60˚.  №3. 4  №4. так

 №5. (8;-2), =.

Варіант 2.

№1. а) 120˚; б) 90˚; в) 120˚.  №2. а) 180˚; б) 45˚.  №3. 9  №4. Ні 

№5. (0;-8), =8.

 

ІІІ .Тема уроку.

Мало мати хороший розум,

 головне – добре його застосовувати.

Рене Декарт

Застосування інтерактивної технології «Синтез думок»

Завдання даного етапу уроку – розвинути пізнавальну активність учнів, логічне мислення.

А) робота в малих групах (3 чоловіка)

Завдання для груп однакові, кожна група висловлює свою думку щодо розв’язання задачі. Чия гіпотеза є найкращою , представник тієї групи розв’язує задачу біля дошки.

№1 Дано: А (1; –2); В (–1; 3); С (–3; 2).

а) Докведіть, що АВС – трикутник;

 б) розкладіть по векторам і , якщо Р[AC] і |AP|:|PC| = 3:1;

в) найдіть P (p1; p2); г) найдіть М (m1; m2), де М – точка перетину медіан АВС;

 д) найдіть D (d1; d2), якщо точки A, B, C і D – вершини паралелограма.

Розв’язання:а) и – не колінеарні;

б) = ;

 в) P (–2; 1); г) М (–1; 1);

д) K – середина [BC]; K (–2; 2,5); K – середина [AD1];

г) D1 (–5; 7); ; ; D2 (–1; –3); В – середина [D1D3]; D3 (3; –1)]

№2. За допомогою векторів доведемо властивість середньої лінії трапеції.

 Розв’язання №1

I етап. Як у векторній формі записати, що АВСD - трапеція?

 

II етап. Необхідно виразити через и .

О і , звідси слідує, що

III етап. Так як , то і , тобто, (MK) || (AD) и (MK) || (BC). В даному випадку, , щ. т. д.

Розв’язання №2

Доведемо векторну рівність =(+).

      А С

     М        Н

      В D

=,  =.

=++,

=++.

Складемо почленно ліві і праві частини:

     2=(+)+(+)+(+ ).  +=0,  +=0.  2=+=(+).

№3. У  рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС медіани, проведені до бічних сторін перпендикулярні. Знайдіть косинус кута АВС.

Нехай ABC = ; ; ; ;

; ;

Так як (AD)(CE), то , тобто, ; .

№4.Теорема. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Дано: АВСD – паралелограм.

Довести: |AC|2 + |BD|2 = |AB|2 + |BC|2 + |CD|2 + |DA|2.

Доведення:     ; ;

|AC|2 + |BD|2 = |AB|2 + |BC|2 + |CD|2 + |DA|2, щ. т. д.

Б)Самостійна робота

     Варіант 1.

№1 (1 бал) Дано точки А(2;4), В(5;8), С(-7;-1), D(-12;-13). Знайдіть скалярний добуток векторів іі косинус кута між ними.

№2. (1 бал).Визначте, які із даних векторів, перпендикулярні:

(-1;3), (2;- ), (-;-3).

№3 (1 бал) відомо,що А(3;2), В(-1;5), С(2;0), D(-3;-4). Знайдіть косинус кута φ між векторами ВА і DС.

№4. (3 бала) В  рівнобедреному трикутнику АВС кут В дорівнює 90°, АС=, ВD – медіана. Знайдіть скалярний добуток векторів

№5 (4 бала) Доведіть, що чотирикутник АВСD  з вершинами в точках  А(8;-3), В(2;5), С(10;11), D(16;3) паралелограм.

Варіант 2.

№1. (1 бал) Дано точки М(2;3), Р(-2;0), О(0;0), К(-5;12). Знайдіть скалярний добуток векторів  МР і ОК і косинус кута між ними.

№2. (1 бал): Визначте, які із даних векторів, перпендикулярні:

№3 (1 бал) Відомо,що А(3;2), В(-1;5), С(2;0), D(-3;-4). Знайдіть косинус кута між векторами

№4 (3 бала). В рівносторонньому трикутнику МНР бісектриса МН=2. Знайдіть скалярний добуток векторів  

№5 (4 бала) Доведіть,що чотирикутник АВСD с вершинами в точках А(4;2), В(5;7), С(-3;4), D(-4;-1) – паралелограм.

Варіант 3.

 №1 (2 бала) Знайдіть кут А  в трикутнику з вершинами А(1;2), В(-1;0), С(1;0).

№2 (2 бала) Накресліть квадрат АВСD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Вкажіть градусні міри кутів між векторами  

№3 (6 балів) Доведіть за допомогою векторів, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

Варіант 4.

№1 (2 бала) Знайдіть кут між векторами

№2 (2 бала) Зобразіть квадрат АВСD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Назвіть кути між векторами і знайдіть їх градусну міру.

№3 ( 6 балів) Відомо, що , кут між векторами дорівнює 60°.  Знайдіть   .(Вказівка: Піднесіть до квадрату рівність . )

ІV. Підсумок уроку

     Учні повторюють поняття і теореми, які були використані в ході уроку.
V. Домашнє завдання

№1.  Доведіть, якщо в трикутнику АВС  •(-)=0,  то  трикутник АВС  прямокутний.

№2.  Дано  два  неколінеарних  вектора    и  .  Побудуйте  вектор  3+.

 

 

Урок №14

Тема. Узагальнення і систематизація знань.
Мета: проаналізувати помилки, допущені учнями в самостійній роботі; формування практичних навичок рішення задач обов'язкового рівня, а також більш складних по темі «Вектори на площині»; сприяти розвитку пам'яті, мислення, мовлення; виховання взаємовиручки, дисциплінованості.

Обладнання: абсолютна величина вектора (табл.); скалярний добуток векторів (табл.)

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань.


Хід уроку.

І. Організація дітей до роботи на уроці
ІІ. Повідомлення теми і цілей уроку
      На уроці будуть проаналізовані помилки, допущені учнями в самостійній роботі; проведена корекційна робота, спрямована на вироблення навичок учнів при вирішенні завдань різного рівня складності.

ІІІ. Актуалізація опорних знань
 

  • Що називається вектором?
  • Як знайти модуль вектора?
  •  Що таке скалярний квадрат?
  • Як знайти скалярний добуток векторів (за визначенням)?
  • Чи можна визначити кут між векторами, заданими своїми координатами? Поясніть.

 

ІV. Розв’язування  вправ на закріплення вивченого матеріалу

  • Інтерактивна вправа «Мозковий штурм»

Після презентації умови задачі, яку необхідно розв’язати, учням пропонується виловити свої ідеї, коментарі, шляхи розв’язання. Усі пропозиції записуються на дошці в порядку їх оголошення без зауважень, коментарів чи запитань. Після цього обирається найраціональніше і правильне розв’язання вправи.

 

№1. Для векторів із №1 обчислити 2, 2, 2.

.

2. Дано вектори (-1;2), (2;-7), (0;3), (0;0), (6;3). Знайдіть скалярний добуток векторів , , , , , .

Розв’язання .

№3. Чому дорівнює кут між колінеарними векторами?

Розв’язання : Якщо колінеарні вектори однаково спрямовані, то кут між ними дорівнює 0. Якщо ці вектори протилежно спрямовані, то кут між ними дорівнює куту між рівними їм векторами зі спільним початком.

№4. На малюнку зображено рівносторонній трикутник зі стороною 6.

                                          В

 

 

 

 

 

                       А                    Д                    С 

Знайдіть скалярний добуток векторів : а) і ; б) і ; в) і .

Розв’язання .

а) б)

в)

№5. Знайдіть кут між векторами :

Відповідь : соs

Додаткове завдання :

№6. Чи будуть колінеарні вектори  

№7. Дано вектори Знайдіть координати вектора .

  • Колективне розв’язування (випереджаюче навчання)

Дано: АВС; С1[AB]; |AC1|:|C1B| = 3:1;

A1[BC]; |BA1|:|A1C| = 2:1; [AA1][CC1] = O.

Знайти: |AО|:|ОА1| и |CО|:|ОC1|.

Розвязання:Яким методом ми вже вміємо вирішувати подібні завдання? [За допомогою теореми про пропорційні відрізки] Розглянемо векторний метод рішення, який дуже нагадує рішення текстових завдань у алгебрі.

Нехай  ; , тоді ; .

Так як , то x | ;

аналогічно, y | .

Так як , то складаємо рівняння: .

По теоремі про розкладання векторів за не колінеарними векторами ( и – не колінеарні)рівняння рівносильне системі:

.

Звідси слідує, що |AО|:|ОА1| = 9:1; |CО|:|ОC1| = 2:3]

V. Підсумок уроку

Які з наступних тверджень неправильні:
а) два вектора рівні, якщо їх довжини рівні;
б) два вектори однаково спрямовані, якщо вони однаково спрямовані з третім вектором;

в) для трьох довільних точок А, В, С виконується векторна рівність

г) абсолютная величина вектора .

  • Заповнення листа самоконтролю
  • Чи досяг я мети уроку?

Так_____    Ні______

  • Я працював на уроці на _________%
  • Я заслуговую оцінку______________
  • Чи потрібна мені допомога під час виконання домашнього завдання?

Так_____    Ні______

VІ.  Домашнє завдання

Повторити §14-17

Розв’язати вправи:

1 В трикутнику АВС вершина А(0;2), а точки М(3;5) і  Р(7;4) являються серединами сторін АВ і ВС відповідно . Знайдіть координати вершини С(х;у).

2  Знайдіть координати вектора якщо .

Перегляд файлу

Урок №15.
Тема. Контрольна робота за темою "Вектори на площині».

 Мета: оцінити знання, вміння і навички учнів за темою " Вектори на площині "; сприяти розвитку пам'яті, уваги, мислення;

виховання акуратності, дисциплінованості.
Обладнання: варіанти контрольної роботи
Тип уроку: урок контролю.

 

Хід уроку.
 

І. Організація дітей до роботи на уроці
ІІ. Повідомлення теми і цілей уроку
На уроці буде проведена контрольна робота за темою " Вектори на площині ".

ІІІ.  Контрольна робота

Початковий рівень

 


1. Дано паралелограм MNFC  (рис.1), точка О- точка перетину його діагоналей. Записати:

 а) всі вектори з початком у точці С; б) три пари рівних векторів;

в) три пари однаково напрямлених векторів;

г) три пари протилежно напрямлених векторів;

д) три пари рівних векторів;

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение.jpgе) знайти суму векторів MN, MC, NF, FC.

 

 

  1. Дано ромб СДNF (рис.2), G-точка перетину його діагоналей. Записати:

а) всі вектори з початком у точці F;

б) три пари рівних векторів;

в) три пари однаково напрямлених векторів;

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение.jpgг) три пари протилежно напрямлених векторів;

д) три пари рівних векторів;

е) знайти суму векторів MN, MC, NF, FC.

 


Середній рівень

 

2. На рис 3 дано вектори.                                          2. На рис 4 дано вектори.


а) записати всі зображені вектори;

б) знайти координати всіх записаних векторів;

в) обчислити довжини всіх записаних векторів;

г) обчислити суму найменшого і найбільшого векторів;

д) три пари рівних векторів;

е) обчислити скалярний добуток найбільшого і найменшого векторів.


C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

Достатній рівень


  1. На рис.5 дано вектор n(7; -1).

Обчислити координати точки С та І n І

  1. На рис. 7 дано точки M, N, F, C. Обчислити координати і модулі векторів 2MN, -3MC, 1/2FN.
  2. На рис. 8 ∆АВС- рівносторонній. Обчислити :
  1. На рис.6 дано вектор

n(-7; -1). Обчислити координати точки С та І n І

  1. На рис. 7 дано точки M, N, F, C. Обчислити координати і модулі векторів 3NF, -2NC, 1/5MF.
  2. На рис. 9 MNKL- прямокутник. Обчислити :

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение 002.jpgа) АМ·ВС, б)АМ·АВ, в)ВС·СМ                       

 

а)МL·MN, б)OK·OL, в)KN·LМ


C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение 002.jpgC:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение 002.jpg

 

 

 

 

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение 002.jpg

 

 

 

 

Високий рівень

  1. На рис. 7 дано точки M, N, F, C. Обчислити координати і модулі векторів:

а) 2MN+3CF,   б)1/3(CM-NF)                                      а) 4CN+2FM,    б) 1/6(NM-FC)


7. На рис.10 дано трикутник XYZ. Обчислити зовнішній кут при вершині даного трикутника.

8. Користуючись рис.11,        знайти |m-2n|.

7. На рис.10 дано трикутник MNF. Довести, що даний трикутник гострокутний.

8.Користуючись рис.12, знайти         |n-2m|


III. Підбиття підсумків уроку

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\Мои рисунки\Изображение\Изображение 002.jpgЗ'ясувати, які завдання викликали труднощі в учнів, та від­повісти на запитання учнів.

VІ.  Домашнє завдання: підготувати презентацію на тему «Вектори».

 

 

Перегляд файлу

Урок    3

Тема.  Координати  вектора.  Додавання векторів, його властивості.
Мета: формування поняття координат вектора, додавання і віднімання векторів, формування навичок застосування правил «трикутника» і «паралелограма» для вирішення завдань, сприяти розвитку уяви, уваги, виховання колективізму, дисциплінованості.

 

Обладнання: властивості додавання векторів (презентація.), формула знаходження відстані між точками (презентація.).
Тип уроку: урок ознайомлення з новим матеріалом.

 

                                                        Хід уроку.
І. Організаційний етап.
     1. Оголошення теми і цілей уроку
   Сьогодні ми познайомимося з координатами вектора, дізнаємося, як можна знайти абсолютну величину вектора, використовуючи його координати. Перед нами стоїть завдання: з'ясувати, які операції визначені для векторів і в чому особливість виконання цих операцій для векторів

 

 ІІ. Актуалізація опорних знань
     Перевірка домашнього завдання
Самостійна робота , один учень працює біля дошки

Задача: Дано вектори АВ і точка С. Відкладіть від точки С вектор, рівний вектору АВ, якщо: 1) точка С лежить на прямій АВ, 2) точка С не лежить на прямій АВ.

 

Самоперевірка (Презентація №1, слайди 14-15 ) (розв’язання Д/З проектується на екран)

Фронтальна бесіда

  • Що таке вектор?
  • Які вектори називаються однаково напрямленими (протилежно напрямленими)?
  •  Чим характеризується вектор?
  •  Що таке модуль вектора?
  • Який вектор має такі властивості: його початок збігається з його кінцем, напрямок визначити не можна
  • Сформулюйте твердження, зворотне даному: рівні вектори
    однаково напрямлені і рівні по абсолютній величині.
  •  Закінчите речення: від будь-якої точки можна відкласти вектор,
       рівний даному .... (вектору, і тільки один).

 

ІІІ. Тема уроку. Знайомство з новим матеріалом

Лекція  
      Кожна точка на площині задається двома координатами (х, у). Нехай вектор а починається в крапці А1 (х1, у1) і закінчується в точці А2 (х2, у2).

Координатами вектора а називається число х = х2-х1, у = у2-у1: а (х, у).
Питання. Що можна сказати про координати нульового вектора? (Вони дорівнюють нулю)

Знаючи формулу відстані між двома точками А111)  і  А222)  можна  знайти  довжину вектора А1А2=√(х12)2+(у12)2 = √х22.   Отриманий вираз є абсолютною величиною вектора (х;у).

Теорема(властивість і ознака координат рівних векторів): Рівні вектори мають рівні відповідні координати.
Доведення:

Нехай А111)  і  А222) -  початок і кінець вектора  а.

  Вектор  ΄=отримується паралельним  переносом  а,  то його початком і кінцем будуть відповідно точки  А1΄(х1+с;у1+d),  А22+с;у2+d).

 Знайдемо   координати:  ´(х2121);  а´(х2+с-х1-с;у2+d-у1-d)=(х2121).  Отже,  і  ´  мають  однакові  координати.

Обернена : якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні .

Доведення .

Нехай А1А211)  і  А1´А2´(х1´;у1´)  мають рівні координати, 

де  А1´(х1´;у1´),  А2´(х2´;у2´). 

Із умови теореми х212´-х1´,  у212´-у1´.

 Звідси,  х2´=х21´-х1,  у2´=у21´-у1.

     Паралельний перенос задається формулами:  х´=х+х1´-х1,  у´=у+у1´-у1  і переводить  точку  А1  в  точку  А1´,  а  точку  А2  -  в  точку  А2´,

 тобто вектори   і   рівні.

     Для  векторів  визначені  операції  додавання і віднімання.

Сумою векторів      з  координатами  а1, а2  і  b1,  b2  називаеться  вектор  з  координатами  1+b122):  12)+(b1;b2)= 1+b12+b2).

Властивості :  1)  +=+;  2)  +(+)=(+)+.

   Суму векторів можна побудувати: за правилом «паралелограма» і за правилом "трикутника".  (Презентація №1, слайди 16-18 )

  1. Правило трикутника             А                                                   В

Дано два вектора:

Знайдемо суму цих векторів, відкладаючи перший вектор від точки А.

Другий вектор відкладемо від кінця першого вектора.

Накреслимо вектор від початку першого вектора до кінця другого.

Отриманий вектор АВ і є сума двох даних векторів.

Теорема (про суму векторів)
       Які б не були точки А, В, С виконується векторна рівність:  +=.

Доведення .

Нехай А(х11),  В(х22),  С(х33)  -  дані  точки .

 В

 

      А С

     Координати 2121), 3232), +2132213-

2)=(х3131),  3131).  =+,  так як ці  вектори мають  однакові  координати.

     З теореми про суму векторів отримуємо спосіб побудови суми векторів за правилом "трикутника". Для застосування цього правила потрібно розташовувати вектори так, щоб кінець першого був початком другого. Тоді сумою цих векторів буде третій вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого.

Для векторів із загальним початком їх сума

зображується діагоналлю паралелограма,

побудованого на цих векторах. Це правило «паралелограма».

+=,  =,  тоді  +=

Різницею векторів  12)  і  (b1;b2) називаеться такий вектор ,  який  в  сумі з  вектором    дає  вектор  :  +=;  координати вектора  : с11-b1,  с22-b2.

 

V. Формування навичок знаходження координат вектора, абсолютної величини вектора, суми і різниці векторів

Фронтально-колективна робота

Учні, які зрозуміли поданий матеріал, можуть розв’язувати завдання самостійно,  консультуючись у вчителя

  №1. Вектори  (2;4),  (-1;2)  і  12)  відкладені від початку координат.  Чому дорівнюють координати їх кінців?

Розвязання .

    1) Дано  вектор  (2;4).  Початок   вектора -  точка  О(0;0), 

кінець  вектора - А(а;b).  Тоді  2=а-0,  а=2;  4=b-0.  b=4. 

 Отримали   А(2;4).

2) В(х;у):  -1=х-0,  х=-1;  2=у-0,  у=2.  В(-1;2).

 3) С(х11):  с11-0,  х11;  с21-0,  с21.  С(с12).

№2. )  Абсолютна  величина  вектора  (5;m)  рівна  13, 

а  вектора (n;24)  рівна  25.  Знайти   m,  n.

Розв’язання .

Дано вектор  (5;m).  Тоді  √25+m² =13,  25+m²=169,  m²=144,  m1=12,  m2= -12.

Дано  вектор  (n;24).  Тоді  √n²+242 = 25,  n²+576= 625,  n²=49,  n1=7,  n2= -7.

№3. Дано  точки  А(0;1),  В(1;0),  С(1;2),  D(2;1).  Доведіть  рівність  векторів      і  .

Доведення .

     Знайдемо довжини векторів   і  :  = √(0-1)2+(1-0)2 = . 

Для  того  щоб  вектори    і    були  рівні  між  собою,  вони  повинні  суміщатися  паралельним  переносом, 

тобто  С(1;2)=А(0+m;1+n)  і  D(2;1) =В(1+m;0+n).

        Перевіримо,  чи рівні m  і  n  для  точок  С  і  D.

 Для  точки  С:  1=0+m,  m=1;  2=1+n,  n=1. 

Для  точки  D:  2=1+m,  m=1;  1=0+n, n=1. 

Значення  m і n  рівні,  отже,  вектори    і    суміщаються  паралельним  переносом.  Отже,  =.

  №4.Знайдіть   вектор  ,  рівний сумі векторів   і    і  абсолютну     величину  вектора  ,  якщо  (1;-4),  (-4;8).

Розв’язання .

(1:4),  (-4;8),  =+;  (1-4;-4+8),  (-3;4).  =√(-3)2+42 = = 5.

№5.   Дано  ∆АВС.  Знайдіть суму векторів :  1)   і  ;  2)    і .

Розв’язання . 

 В     

 А С

        +=.

                                                  В′

                    В(А)

     А

 

 С

           +=´,  ´=; (А→В; В→В′)

№6.  Знайдіть вектор  =-  і його абсолютну  величину,

 якщо  (1;-4),  (-4;8).

VІ. Підсумок уроку

  • З якими поняттями познайомилися на уроці?
  • В чому особливість операції стеження для векторів?
  • Для яких векторів можна виконати додавання по правилу "трикутника", за правилом «паралелограма”?

 

VІІ. Домашнє завдання

§ 14 пункт 14.3, §15

А- №458, №494(а,б)           В- № 459,  №496              С- №462, №503(а,б)

Перегляд файлу

Урок №5

Тема : Віднімання векторів.

Мета уроку: ввести поняття різниці двох векторів, навчити будувати різницю двох даних векторів двома способами; вчити вирішення завдань. Розвивати інтелект учнів, уміння аналізувати, порівнювати. Виховувати позитивне ставлення учнів до навчально-пізнавальної діяльності.

Обладнання: : таблиця «Декартові координати та вектори на площині», креслярські інструменти,ноутбук, проектор.

Тип уроку: комбінований

Хід уроку

І. Організаційний етап.

  • Аналіз результатів самостійної роботи.
  1. Проаналізувати характерні помилки, допущені в самостійній роботі.
    2. Розв’язати на дошці завдання, що викликали труднощі в учнів.

 ІІ.  Перевірка домашнього завдання

  1. Перевірка правильності виконання домашнього завдання здій­снити за записами, зробленими на дошці до початку уроку.
  2. Математичний диктант

Дано точки:

Варіант 1     Варіант 2

А(4; 5), В(1; 1)    А(2; 3), В(-1; -1)

Запишіть:

а) координати вектора ;

б) координати вектора + ;

в) довжину вектора ;

г) довжину вектора ;

д) довжину вектора ;

є) довжину вектора + .

ІII.  Сприймання та усвідомлення нового матеріалу

План вивчення теоретичного матеріалу

  1. Різниця векторів, які задані своїми координатами.
  2. Побудова вектора — різниці двох векторів.
  3. Означення протилежних векторів.
  4. Деякі властивості різниці векторів:

а)  = 0;

б)  = .

Вивчення нового матеріалу можна провести відповідно до п. 15.2 підручника

1. Нагадати учням означення різниці двох чисел:

 а - в = с, то а = с + в,

наприклад, 20 - 14 = 6, то 20 = 6 + 14.

2.Запропонувати учням самим «придумати» означення різниці двох векторів.
Різницею векторів img096 і img097 називають такий вектор img098, сума якого з вектором img099 дорівнює вектору img100.

Пишуть: img101= img102 img103.

Якщо координати векторів img131 і img132 відповідно дорівнюють (a1; a2) і (b1; b2), то координати вектора img133img134 дорівнюють (a1  b1; a2  b2).

.
Теорема. Для векторів http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4337_fmt.jpegі http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4338_fmt.jpegіз спільним

                     початком     http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4339_fmt.jpeg.
Щоб знайти різницю векторів http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4360_fmt1.jpegі http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4334_fmt1.jpeg, треба від однієї точки відкласти вектори в http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4342_fmt.jpegі http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4343_fmt.jpeg, що дорівнюють їм (див. рисунок). Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4343_fmt1.jpeg, а кінець — з кінцем http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4342_fmt1.jpeg, буде різницею http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4360_fmt2.jpegі http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4334_fmt2.jpeg.
http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/image8756image_45_fmt.jpeghttp://subject.com.ua/dovidnik/geometr/image8756image_205_fmt.jpeg
Тобто, якщо вектори http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4353_fmt.jpegі http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4354_fmt.jpegмають спільний початок, вектор http://subject.com.ua/dovidnik/geometr/sprav-ukr4355_fmt.jpegіде з кінця від’ємника в кінець зменшуваного. (Презентація №1, слайди 22,23)

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач :фронтально-колективна робота (учні,  за бажанням можуть працювати самостійно, консультуючись у вчителя)

  1. На малюнку зображено квадрат ABCD, CE || BD.
  2. Доведіть, що:

a) + = + ;              б) ( + ) + = ;      

 в) ( + ) + ( + ) = ;   г) ( + ) + = + ;

                                                     д) + = .

  1. Побудуйте вектор:                    а) + ;                        б) + ;                                                                                                        в) - + + ;                     г) .

 4. У рівнобедреному трикутнику ABC точка М — середина основи АС.

а) Спростіть: + ;

б) знайдіть , якщо АВ = 5 см, ВМ = 4 см.

  1. ABCD ромб, AD = 20 см, BD = 24 см, О — точка перетину діагоналей. Знайдіть .
  2. У трапеції ABCD кут А прямий, АС — діагональ, BCA = 45°, ACD =   = 90°, AC = a. Знайдіть .

 

«Аукціон ідей»:Учні працюють в парах, обираючи завдання по силі. Дерез декілька хвилин учні виставляють на аукціон ідеї щодо розв’язання тієї чи іншої задачі. Кожна ідея оцінюється класом.(Презентація №2 слайди 1-10)

IV. Перевірочна самостійна робота.
 


Варіант I
Дано прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою ВС. Побудуйте вектор

і знайдіть , якщо

 AB = 8 см.

Варіант II

Дано прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою  АВ. Побудуйте

і знайдіть  ,

якщо  BС = 9 см.

Варіант III
(Для більш підготовлених учнів)

Дана трапеція ABCD з основами АD і BC. Побудуйте вектор і знайдіть  , якщо      АD = 12 см, BC = 5 см.

 


V. Підсумок уроку :

 

Заповніть пропуски в тексті.

  • Щоб побудувати вектор , який дорівнює , досить додати вектори і ...
  • Щоб побудувати вектор , який дорівнює , треба від­класти ці вектори від однієї точки, тоді початок вектора збіга­ється з кінцем вектора ..., а кінець вектора збігається з кінцем вектора ...
  • Для будь-яких трьох точок А, В, С справджується рівність = ... .

 

VІ. Домашнє завдання

Розв'язати задачі.

  1. Трикутник ABC рівнобедрений, СМ — медіана, проведена з вершини його прямого кута.

а) Спростіть: + ;

б) знайдіть , якщо АВ = 10 см.

  1. У прямокутнику ABCD AD = 12 см, CD = 5 см, О — точка перетину діагоналей. Знайдіть .
  2. Від пристані до протилежного берега річки вийшов катер зі швидкістю 40 км/год. Швидкість течії річки 5 км/год. По­значте на рисунку напрям, у якому має рухатися катер, щоб прийти до найближчої точки протилежного берега річки.
  3. Вантаж спускається на парашуті зі швидкістю 3 м/с. Ві­тром його відносить убік зі швидкістю 2 м/с. Під яким кутом до вертикалі буде спускатися вантаж за цих умов?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перегляд файлу

Урок №9

Тема уроку: Скалярний добуток векторів у координатах і його властивості
Мета уроку:  сформулювати і довести теорему про скалярний добуток  двох векторів у координатах і її наслідки;  ознайомити учнів з властивостями скалярного добутку векторів;  показати застосування скалярного добутку  векторів при вирішенні задач. Розвивати вміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку. Виховувати працьовитість, спостережливість, кмітливість.

Матеріали та обладнання уроку: мультимедіа проектор, слайд-фільм (презентація в PowerPoint), комп'ютерний клас (бажано).

План проведення уроку:
I. Організація учнів.
II. Повідомлення нової теми і постановка мети уроку.
III. Математична розминка:
а) теоретична розминка;
б) математичний тест.
IV. Пояснення нового матеріалу.
V. Закріплення вивченого матеріалу.
VI. Д / з та інструкція до нього.
VII. Підведення підсумків уроку (повідомлення оцінок учням).

                                      Хід уроку
I. Організаційний етап  (Презентація№3, Слайд № 1)
На дошці висловлювання про математику:

"Виміряй свої бажання,

зважуй свої думки,

перелічиш свої слова".

                                                                                                                           Піфагор
Взаємне привітання, з'ясування відсутніх (причини); організація уваги, оголошення теми та мети уроку.

Нагадати, що б зошити з виконаним д / з учні здали в кінці уроку.

 

II. Постановка мети уроку.
Ми продовжуємо вивчення теми співвідношення між сторонами і кутами трикутника і сьогодні з'ясуємо:
• як обчислюється скалярний добуток двох векторів, знаючи координати цих векторів;
• сформулюємо основні властивості скалярного твори векторів.
А почнемо ми наш урок з теоретичної розминки.

ІІІ. Математична розминка. (Слайд № 2 ,Презентація №3)
1 частина.
Двоє учнів проводили дослідницьку роботу на доведення теореми Піфагора із застосуванням

1) теореми косинусів ,

 2) знаходження довжини вектора.

Поки учні оформляють доведення  біля дошки, ми перевіримо ваші знання, проведемо теоретичну розминку (усно).

Теоретична розминка (усно).:
• Сформулюйте теорему синусів (написати формулу на дошці).
• Сформулюйте теорему косинусів (написати формулу на дошці).
• Що значить "розв’язати  трикутник"?
• Яке найменше число елементів треба знати, щоб "розв’язати трикутник"?
• Сформулюйте означення скалярного добутку векторів (написати формулу на дошці).
2 частина.
Називаючи правильні відповіді, ми розгадаємо по буквах зашифроване слово.

http://festival.1september.ru/articles/520855/img1.gif

Завдання (Презентація№3, Слайд № 3)
Тут зашифровано ім'я автора цієї красивої теореми:

"Якщо на сторонах трикутника в зовнішню сторону побудувати рівносторонній трикутники, то їх центри будуть вершинами рівностороннього трикутника".

 Цей трикутник носить ім'я автора. Це ім'я кожному відомо, але не в математики. Математикою ця людина займався задоволення ради. Він - автор кількох теорем і відомих цікавих геометричних задач. А своє ім'я він прославив на весь світ зовсім з іншого приводу. Отже, давайте спробуємо розгадати ім'я автора цієї теореми (Наполеон Бонапарт).(Презентація№3, Слайд № 4)
Визначте, до якого типу задач "рішення трикутника" можна віднести дану модель малюнка:
(З'являються моделі задач по черзі, варіанти відповідей внизу під певною буквою)

http://festival.1september.ru/articles/520855/img2.gif

Модель 1

http://festival.1september.ru/articles/520855/img3.gif

Модель 2

http://festival.1september.ru/articles/520855/img4.gif

Модель 3

http://festival.1september.ru/articles/520855/img5.gif

Модель 4

http://festival.1september.ru/articles/520855/img6.gif

Модель 5

http://festival.1september.ru/articles/520855/img7.gif

Модель 6

п) розв’язування трикутника за трьома сторонами.
л) розв’язування трикутника за двома сторонами і куту, протилежного однієї з них.
о) розв’язування трикутника по стороні і кутах, один з яких лежить проти даної сторони.
н) розв’язування трикутника за двома сторонами і куту між ними.
о) розв’язування трикутника за трьома кутах.
е) розв’язування я трикутника не здійснюється.
а) розв’язування трикутника по стороні і прилеглих кутах.

(Презентація №3, Слайд № 5)

  • Результатом скалярного добутку векторів є ...
     

а) вектор.    о) число.                л) градус.

  • Скалярний квадрат координатного вектора http://festival.1september.ru/articles/520855/img8.gifрівний:

              а) -1.                 б) 0.                в) 1.

(Презентація №3, Слайд № 6)
Після відгадування слова, можна запропонувати учневі (або декільком) за бажанням дома провести дослідницьку роботу з доведення Теореми Наполеона.
Далі учні приводять доведення  теорем Піфагора.

Паралельно на екрані Презентація. Слайд № 7 висвічується доведення  теореми, яке було застосоване в 8-му класі.
Тест з подальшою взаємоперевіркою
Час відведений на виконання тесту - 5 хвилин

В-1

1. Відомо, що , де  і   і    ј -  одиничні вектори. Координати вектора рівні:

    а) .             б) .            в) .

2. Дано вектори   а(-1;2) і   в(2;4). Координати суми векторів а  і   в  дорівнює:

    а) .            б) .               в) .

3. Знайдіть координати вектора , Якщо .

   а) .        б) .            в) .

4. Дві сторони трикутника рівні 7 см і 3 см, кут між ними дорівнює 1200. Третя сторона трикутника  рівна:

   а) .             б) .               в) .

5. Скалярний добуток координатних векторів  і   і  ј дорівнює:

   а) 1;                   б) -1;                    в) 0.

В-2

1. Відомо, що, де  і   і    ј - одиничні вектори. Координати вектора дорівнюють:

   а) .             б) .            в) .

2. Дано вектори   а(-1;2) і  в(2;1). Координати різниці векторів  дорівнює:

  а) .             б) .            в) .

3. Знайдіть координати вектора , якщо .

  а) .            б) .            в) .

4. дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 9 см, кут між ними дорівнює 600. Третя сторона трикутника рівна:

   а) .                б) .               в) .

5. Скалярний добуток двох ненульових векторів а і в дорівнює нулю. Чому дорівнює кут між векторами?

   а) 1800;              б) 900;             в) 00.

(зникнення фігур Презентація№3,  Слайд № 8).

Учні спочатку виставляють собі оцінку, потім обмінюються картками і перевіряють відповіді один в одного за відповідями, заздалегідь підготовленим на екрані у вигляді такої таблиці:(Слайд № 9)

Правильні відповіді

Варіант 1

Варіант 2

1

б

в

2

а

а

3

в

в

4

б

б

5

в

б

Виставляють оцінку за такими критеріями:

  •  0 помилок - оцінка «10»
  • 1 помилка - оцінка "9"
  • 2 помилки - оцінка «7»
  • 3 помилки - оцінка "5"
  • 4 помилки - оцінка "3"
  • 5 помилок - оцінка "1"

Картка для відповідей математичного тесту:

В-____                                          Роботу виконав П.І.___________________

питання

Відповіді

 Роботу перевіривП.і.______________

Підсумкова оцінка (учителя)

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

Оцінка

 

 

 

 IV. Пояснення нового матеріалу.
Скалярний добуток двох векторів можна обчислити, знаючи координати цих векторів.(Презентація. Слайд № 10)
Теорема: Скалярний добуток векторів   а(х12) і в(у12)

http://festival.1september.ru/articles/520855/img10.gifвыражаєтся формулою

http://festival.1september.ru/articles/520855/img10.gifhttp://festival.1september.ru/articles/520855/img11.gifПорівняємо формули  :

Один учень доводить теорему.

Для введення 2 наслідків з теореми можна запропонувати всім учням вирішити два завдання (1 завдання слабким учням, 2 - більш сильним).

Задача 1.

http://festival.1september.ru/articles/520855/img13.gifВідомо, що ненульові вектори а(х12) і в(у12  )перпендикулярні. Знайдіть http://festival.1september.ru/articles/520855/img12.gif.

Дано:

Знайти: http://festival.1september.ru/articles/520855/img12.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img14.gifРозв’язання:http://festival.1september.ru/articles/520855/img11.gifі

Якщо рівні ліві частини, то і рівні праві. Отже : http://festival.1september.ru/articles/520855/img15.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img16.gif

Тоді http://festival.1september.ru/articles/520855/img17.gif

 

Наслідок 1:Два ненульові вектори тоді і тільки тоді взаємно

перпен­дикулярні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю,

тобто · = 0 ( , ).

Задача 2. Відомо, що ненульові вектори а(х12) і в(у12  ) і

http://festival.1september.ru/articles/520855/img18.gifЗнайти http://festival.1september.ru/articles/520855/img19.gif.

Дано:, а(х12) і в(у12  ),    

Знайти: http://festival.1september.ru/articles/520855/img19.gif

Розв’язання :

http://festival.1september.ru/articles/520855/img11.gifіhttp://festival.1september.ru/articles/520855/img14.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img15.gifЯкщо рівні ліві частини, то і рівні праві.

 Отже:

Із формули слідує:

 http://festival.1september.ru/articles/520855/img20.gifабо http://festival.1september.ru/articles/520855/img21.gif

Так як  http://festival.1september.ru/articles/520855/img22.gifі http://festival.1september.ru/articles/520855/img23.gif, то

http://festival.1september.ru/articles/520855/img24.gif

Наслідок 2: Косинус кута між ненульовим векторами та виражається формулою

 

Закон

дії з числами (властивості)

a , b і с – довільні числа

Дії  над векторами (властивості)

http://festival.1september.ru/articles/520855/img25.gif- довільні вектори
k – довільне число

1

переставний

http://festival.1september.ru/articles/520855/img26.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img27.gif

2

розподільний

http://festival.1september.ru/articles/520855/img28.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img29.gif

3

сполучний

http://festival.1september.ru/articles/520855/img30.gif

http://festival.1september.ru/articles/520855/img31.gif

4

 

 

http://festival.1september.ru/articles/520855/img32.gif                 причому http://festival.1september.ru/articles/520855/img33.gif

при http://festival.1september.ru/articles/520855/img34.gif

Вирішивши завдання, ми разом сформулювали наслідки 1 і 2

(Презентація №3, Слайд №11 )

Читати самостійно наслідки на сторінці 166.
Далі вводимо властивості скалярного добутку векторів через порівняння дій над числами: (Презентація №3, Слайд №12 )

Учні перевіряють свої записи, зроблені на попередньому уроці.

http://festival.1september.ru/articles/520855/img35.gifЗауваження: Розподільний закон має місце для будь-якого числа доданків. Наприклад,.


V. Закріплення вивченого матеріалу.( Презентація №3, Слайд 13)

Колективне розв’язання з коментуванням

Один з учнів, вирішуючи задачу біля дошки, коментує рішення вголос, інші уважно його слухають, роблячи при цьому записи в зошиті, і вносять виправлення, якщо учень припустився помилки.

  1. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 13. Зна­йдіть скалярний добуток ·

Розв'язання

Оскільки || = || = 13, A = 60°,

то · = ||·||cosA =  13 · 13 cos60°=

= 169 · = 84,5.                  Відповідь. 84,5.

  1. Задано вектори = – 4, = 3 + 2, які взаємно перпендику­лярні. Вектори і — одиничні вектори. Знайдіть кут між векторами і (в градусах).

Розв'язання

Оскільки || = 1 і · = 0, то маємо · = ( 4)(3 + 2) =

= 32 + 2– 12 – 8b2 =  3 · ||2 – 10|||| со – 8||2 =

= 3 - 10cosφ – 8  = - 5 – 10cosφ,  тоді – 5 – 10cosφ = 0, со = -, φ = 120°.

Відповідь. 120°.

«Геометрія є наймогутнішим засобом для розвитку

наших розумових здібностей і дає нам

можливість правильно мислити і міркувати »

 Галілео Галілей

 

Самостійне розв’язування вправ: (№535, №547,№ 536, №537)

  1. Знайдіть кут між векторами (1; 2) і .
  2. Дано вершини трикутника ABC: А, В, С. Знайдіть його кути.
  3. Доведіть, що вектори (т; п) і (-n; m) перпендикулярні або дорівнюють нулю.
  4. Дано вектори (3; 4) і (m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні?

V І. Підсумок уроку

  •  З якою дією над векторами ми познайомилися на уроці?
  •  Що спільного між скалярним добутком векторів і натуральними числами? (Властивості)
  • Як знайти скалярний добуток векторів, якщо задані їх координати?
  • За якої умови можна говорити про перпендикулярність векторів?

VІІ. Домашнє завдання

Завдання для 1 групи (сильнішої-  С).

№ 1.  Дано: = + + √З ,  = - √З ;   , - одиничні вектори.

 Знайти .

№ 2. Довести,   що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі    квадратів його сторін.

3.  Довести, що діагоналі ромба перпендикулярні.

Завдання для 2 групи (слабшої-В).

№ 1.  Задача №534

Знайти: І варіант: а), II варіант: в).

№2.  Дано: (0; 1), (2;-2).

Знайти: І варіант:  | 2 + З |, II варіант:  | -2 - З |.

№ 3.  І варіант.

Дано: (2п; 3), (6; n) - колінеарні. Знайти: n.

II варіант.

Дано: (т; 1), (2; 16) - перпендикулярні. Знайти: т.

 

Урок №8

Тема уроку: Скалярний добуток векторів

Мета уроку:  вивчити новий матеріал; реалізувати сформовану в учнів навчально-пізнавальну компетенцію;розвивати вміння працювати самостійно а також самостійно здобувати знання.

Тип уроку: урок самостійного вивчення нового матеріалу

Хід уроку

І. Організаційний етап

Пам'ять – це мідна дошка,

 вкрита буквами, які час

 непомітно згладжує, якщо

 іноді їх не поновлювати різцем.

Д. Локк

1. Перевірка домашнього завдання

Запитання до класу (опитування)

  1. Які вектори називаються колінеарними?
  2. Сформулюйте ознаку колінеарності векторів.
  3. Сформулюйте властивість координат колінеарних векторів
  4. Дайте означення рівних векторів.
  5. Як визначити координати вектора.
  6. Дайте означення суми двох веторів.
  7. Дайте означення добутку вектора на число.
  8. Як побудувати вектор ка ?

Два учні розв’язують Д/З біля дошки

ІІ. Актуалізація опорних знань

Самостійна робота(2 учня працюють біля дошки )

№1.  Знайти  координати  вектора  12),  якщо задані координати  його початку 11)  і кінця22).

Розв’язання .

а112,  а221.

№2.  Знайти  абсолютну  величину  вектора    із  №1.

Розв’язання .

         а21222.

ІІІ. Тема уроку

Складання конспекту матеріалу - метод «Відповіді на питання»

Обгрунтування доцільності вибору форми уроку.
      На даному уроці учні застосовують один з методів складання конспекту матеріалу - метод «Відповіді на питання». Текст, наведений в підручнику по темі «Скалярний добуток векторів», містить, в основному, головний і важливий матеріал і практично не містить другорядний і вступний матеріал. В учнів може виникнути «спокуса» переписати весь текст повністю. А це вже не конспект! Тому учні, як правило, не можуть  бути впевнені у правильності складання конспекту такого тексту - адже нелегко з головного вибрати головне. Заздалегідь складений учителем план показує учням, що навіть в такому непростому, з точки зору конспектуванні, тексту можна (і потрібно) вибрати основне.

 

Зауваження. 1) Наведений нижче план самостійного вивчення нового матеріалу складено в точній відповідності з § 16, пункт 2 навчального посібника А.П.Єршова та ін. «Геометрія 9».
2) Частина роботи, яку не встигнуть виконати на уроці, учні виконують вдома.
3) На наступному уроці проводиться повторне пояснення матеріалу вчителем, учні самостійно та під керівництвом вчителя доводять теореми і властивості.

Самостійне опрацювання матеріалу

 Людина перестає читати –

 перестає мислити

Дібро

Роздатковий матеріал

Скалярний добуток векторів
План самостійного вивчення матеріалу

  1. Прочитайте текст підручника (§ 16, пункт 2 навчального посібника А.П.Єршова та ін. «Геометрія 9»).
    2.  Письмово дайте відповідь на наступні питання.
    1. Як позначається кут між двома векторами?
    2. Як його побудувати (покажіть на прикладах)?

.

3)Які вектори називаються перпендикулярними?
4) Що називається скалярним добутком двох векторів? Як він позначається? (Дайте словесне визначення поняття та визначення у вигляді формули).
5) В чому полягає необхідна і достатня умова перпендикулярності двох ненульових векторів? (Дайте словесну формулювання теореми і формулювання у вигляді формули).
6) Як залежить знак скалярного добутку двох ненульових векторів від виду кута між ними?
7) Що називається скалярним квадратом вектора, як він позначається? (Дайте словесне визначення поняття та визначення у вигляді формули).
8) Запишіть властивості скалярного множення векторів.

       3.  Розв’язати завдання: № 532  (а, б),   № 536 , №534(в)
       4.  Завдання на додаткову оцінку.
Завдання 1. Довести необхідну і достатню умову перпендикулярності двох ненульових векторів.
Завдання 2. Довести сполучну властивість скалярного множення векторів.
Завдання 3. Довести розподільну властивість скалярного множення векторів.

ІV. Підсумок уроку

  • Чи зрозуміли ви новий матеріал?
  • Відповіді на які запитання ви знайшли найшвидше?
  • На які питання ви не змогли дати відповіді?
  • Які нові терміни вам не зрозумілі?
  • Чи важко було самостійно опрацьовувати новий матеріал?
  • Дайте означення скалярного добутку векторів та сформулюй­те властивості скалярного добутку векторів.
  • Сформулюйте властивість і ознаку перпендикулярних векторів.

V. Домашнє завдання

1. Закінчити роботу над конспектом (§ 16, пункт 2 навчального посібника А.П.Єршова та ін. «Геометрія 9»).

2. Розв’язати задачі (на окремих аркушах і здати на перевірку)

Група А

  • Дано вершини трикутника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Знайдіть косинуси кутів цього трикутника.
  • Дано вектори (3; 4) і (m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні?

Група В 

  • Дано вектори (1; 0) і (1; 1). Знайдіть таке число х, щоб вектор + x був перпендикулярний до вектора .
  • Дано вектори (3; 4) і (m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні?

Група С

  • Доведіть, що коли і — одиничні неколінеарні вектори, то вектори   + і відмінні від нуля й перпендикулярні.
  • Дано вектори і . Знайдіть абсолютну величину вектора + , якщо  || = || = 1, а кут між векторами і дорівнює 60°.

 

  1. Дослідницька робота

Доведення теореми Піфагора за курс 8 класу(за бажанням)

Побудуємо квадрат CDMN з стороною a+b

Тоді ΔАСВ = ΔBDK = ΔKLM = ΔLNA ( за двома катетами ) , звідки

AB = BK = KL = LA = c.

Отже, чотирикутник ABKL – ромб.

Оскільки http://www.bestreferat.ru/images/paper/00/48/4324800.pngАВК = 90°, то ABKL – квадрат. Маємо:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/37/48/4324837.png

Порівнюючи останні рівності, дістанемо:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/38/48/4324838.png

Перегляд файлу
Вектори на площині
«Вчитися можна тільки весело… Щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх з апетитом» Анатоль Франс
Історична довідка. Термін вектор (від лат Vector -.
Що таке вектор? Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, які характеризуються величиною і напрямком: наприклад, швидкість, сила, прискорення. Такі величини називаються векторними величинами або векторами.
Вільям Гамільтон Герман Грассман Джозайл Віллард Гіббс
Поняття вектора В (кінець) А ( початок) Абсолютна величина вектора | |=АВ. Вектор характеризується величиною і напрямком. Рівні вектори ( однаково напрямлені й рівні за абсолютною величиною) В А Д С
Заповни пропуски: 1. Вектор –це….., для якого …..початок, а … кінець .2. Назви вектри зображені на малюнку: ВАПочаток вектора. Кінець вектора. CDabc
a. CDb. FKOm. NPЗаповни пропуски: 3. Два ненульових вектора називаються колінеарними, якщо….. на паралельних … або …..