Скалярний добуток практичне заняття

Практичне заняття
Тема: Скалярний добуток векторів

Розглянемо на площині або в просторі два довільні вектори та . Нехай = = . Кутом α між векторами та називається кут між променями KA та KB. При цьому з двох кутів, які утворюються, вибирається той, який не перевищує π, тобто α∈[0,π]. (рис.1).

Скалярним добутком векторів та називають число . Позначатимемо скалярний добуток символом або . Таким чином,

= .

Використовуються наступні властивості цієї операції.

1. =    (комутативність скалярного множення).
2. = 0.
3. , звідки (вираз називають скалярним квадратом вектора ).
4.  Два ненульові вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю. (Два вектори називають ортогональними та записують , якщо вони утворюють кут ).
5. Якщо > 0, то кут між векторами та гострий. Якщо < 0, то кут між векторами тупий. Вірне також обернене твердження.  

Число називають проекцією вектора на вектор та позначають ïð (рис. 2). Тобто пр =

Рис.2

6. Пр =
7. Нехай задані вектори (). Тоді

+.

8. (дистрибутивність скалярного множення).
9. для довільного числового множника .
10.  Вектори та ортогональні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність + = 0
11.  Проекція вектора на вектор обчислюється за формулою

пр

Кут між векторами та можна обчислити, користуючись співвідношенням

Розглянуті властивості та одержані співвідношення мають місце також у випадку, коли кожний із векторів задається двома координатами. Зокрема, якщо задані вектор (, ), то

пр.

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. У прямокутному трикутнику з катетами a та b обчислити кут між медіаною, проведеною до гіпотенузи, та бісектрисою прямого кута.

Розв’язання. Нехай у прямокутному трикутнику САВ СА=а, СВ=b, CM- - медіана, проведена до гіпотенузи. Зафіксуємо ортонормований базис , вибравши вектор на промені та вектор на промені СВ . Тоді, оскільки , 2 . Виберемо один із векторів, які задають напрям бісектриси прямого кута, наприклад, вектор = (1,1). Скориставшись формулою (1), дістаємо

Відповідь.

Задача 2. Знайти ортогональну проекцію відрізка з кінцями у точках А(2,1,4), В(4,-3,2) на пряму, яка проходить через точки М(5,0,2),            N3, 1, 0

Розв’язання. Введемо в розгляд вектори і позначимо довжину шуканої проекції через l Тоді, скориставшись рівністю (3), дістаємо

Відповідь. .

Задача 3. Обчислити кут між мимобіжними діагоналлю куба та діагоналлю його бічної грані.

Розв’язання. Нехай ABCD- заданий куб. Знайдемо кут між його діагоналлю A та діагоналлю бічної грані BD. Для цього введемо в розгляд прямокутну декартову систему координат, вибравши точку A початком координат, а промені AB, AD, Aвибравши за додатні напрямки осей відповідно x, y та z. Нехай ребро куба рівне 1. Тоді дістаємо A0, 0, 0,  C1, 1, 1, B1, 0, 0, D0, 1, 0, звідки . Якщо шуканий кут позначити через α то

Відповідь. α = .

Задача 4. (Теорема Стюарта). Сторони трикутника рівні a, b та c. Обчислити довжину відрізка, який сполучає вершину трикутника із точкою, вибраною на стороні , знаючи, що ця точка ділить сторону на відрізки з довжинами .

Розв’язання. Нехай у трикутнику САВ, СА = а, CB  b, AB  c,

AL  , LB , с = +, CL  l - шуканий відрізок (рис. 3).

Очевидно, що . Тоді , звідки , і .

Помноживши першу з одержаних рівностей на, а другу – на та додавши одержані співвідношення, дістаємо

оскільки вираз + рівний  як сума двох векторів із однаковими довжинами та протилежними напрямками. Рівність         , виражає зміст теореми Стюарта та дає відповідь на поставлену задачу.

Задача 5. Знайти ортогональну проекцію точки M6,  4 на пряму, яка проходить через точки A3, 1, B0,  2.

Розв’язання. Нехай шукана точка Hx, y . Векторну рівність

помножимо скалярно на вектор Оскільки , . Тому . Маємо отже,   і  Із рівності остаточно знаходимо x  2, y  0 .

Відповідь. H2, 0.

Задача 6. Знайти координати основи висоти AH тетраедра ABCD, вершини якого знаходяться в точках A(2,  4,  5), B(1,  3, 4), C(5, 5, 1) та D(1,  2, 2) .

Розв’язання. У векторній рівності замінимо вектор та , де коефіцієнти ,  підлягають визначенню.

Помножимо одержану рівність скалярно на вектори та .  Оскільки і то =0. Крім цього маємо   3, 1, 9, 6, 8,  5,  2, 1,  2, , , ,

Отримуємо систему рівнянь

Звідки знаходимо . Таким чином,

 -в координатній формі

Нехай шукана точка Hx, y, z . Тоді

Задачі для самостійного розв’язання

1. Відомі кут між векторами ,  і довжини векторів Обчислити:,
2. Знайти модуль вектора  , де - одиничні вектори, кут між якими дорівнює  / 4 .
3. Обчислити скалярний добуток , якщо .
4. Обчислити скалярний добуток , якщо .
5. Дано  , і =(х; -3; -5). При яких х =-10?
6. Дано вектори  , і =(3; 0; -1). Обчислити

 ( -).

7. Дано вектори  , і =(3; -6; 6). Обчислити

 ( ).

8. Знайти косинус кута між векторами і , де А (0;2;-4), В (8;2;2), С (6;2;4).
9. .Знайти другу координату вектора , колінеарного до вектора ,  і такого що =14.
10. Знайти проекцію вектора (1;8;6) , на вектор (5;4;1).
11. У квадраті з однієї вершини проведено дві прямі, які ділять протилежні сторони пополам. Знайти кут між цими прямими.
12. Обчислити кут між діагоналями двох граней куба, які виходять з однієї вершини.
13. Задано координати вершин A(0;0;5), B(1;1;1), C(1;2;3) трикутника ABC . Обчислити його кути
14. Доведіть теорему Піфагора, використовуючи властивості скалярного добутку векторів.