Скалярний добуток векторів

Тема: Скалярний добуток векторів

Мета уроку:

1.               Навчальна: сформувати поняття про скалярний добуток векторів, його властивості та застосування; навчити знаходити кут між векторами за допомогою скалярного добутку.
2.               Розвивальна: розвивати логічне мислення, навички аналізу та синтезу, вміння застосовувати математичні знання до розв’язання задач.
3.               Виховна: сприяти формуванню уважності та точності у виконанні обчислень, активізувати вміння працювати в групі.

Очікувані результати навчання:

•                   Учні пояснюють, що таке скалярний добуток векторів.
•                   Виконують обчислення скалярного добутку в координатному вигляді.
•                   Знаходять кут між двома векторами у просторі.
•                   Застосовують скалярний добуток для розв’язання задач на перпендикулярність векторів.

Компетентності, які формуються:

1.               Предметні компетентності:
   •                   Знання формули скалярного добутку та її властивостей.
   •                   Застосування скалярного добутку для обчислення кута між векторами.
2.               Ключові компетентності:
   •                   Математична грамотність: виконання обчислень із використанням формул скалярного добутку.
   •                   Уміння вчитися: здатність самостійно аналізувати теоретичний матеріал і застосовувати його до практичних задач.
   •                   Співпраця: робота в групах для виконання інтерактивних завдань.
3.               Життєві компетентності:
   •                   Розуміння ролі векторів у реальному житті (фізика, інформатика, геометрія).
   •                   Уміння визначати взаємну орієнтацію об’єктів у просторі.

Обладнання:

•                   Інтерактивна дошка.
•                   Комп’ютери або планшети із доступом до програм GeoGebra [1] або Desmos.
•                   Роздатковий матеріал (завдання, таблиці).

Хід уроку:

I. Організаційний момент (2 хвилини)

•                   Привітання учнів.
•                   Перевірка готовності до уроку.
•                   Ознайомлення з темою і метою уроку.

II. Актуалізація опорних знань (5 хвилин)

•                   Фронтальні запитання:
  1.               Що таке вектор? Як визначається його довжина?
  2.               Які операції з векторами ви знаєте?
  3.               Що таке одиничний вектор?
•                   Міні-завдання:
  Визначте, чи є вектори (2, 3) і (−4, −6) колінеарними.

III. Пояснення нового матеріалу (15 хвилин)

1.               Означення скалярного добутку:

Скалярний добуток векторів і — це число, що обчислюється за формулою:

⋅=∣∣⋅∣∣⋅cosφ,

де φ — кут між векторами.

2.               Скалярний добуток у координатній формі:

Якщо =(x₁, y₁, z₁), =(x₂, y₂, z₂), то:

⋅=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂​.

3.               Властивості скалярного добутку:
   •                   Комутативність: ⋅=⋅.
   •                   Лінійність: ⋅(k)=k(⋅).
   •                   Якщо ⋅ = 0, то вектори перпендикулярні.
4.               Знаходження кута між векторами:

.

IV. Закріплення знань (15 хвилин)

1. Розв’язання задач на закріплення (фронтальна робота):

•                   Задача 1: Обчисліть скалярний добуток векторів (2, −1, 3) і (4, 0, −2).
•                   Задача 2: Визначте, чи є вектори (1, 2, 0) і (−2,−4,0) перпендикулярними.
•                   Задача 3: Знайдіть кут між векторами (1, 0, 1) і (0, 1, 1).

Інтерактивна групова робота:

Кожна група отримує завдання:

•                   Побудувати вектори і у програмі GeoGebra.
•                   Визначити їхній скалярний добуток і знайти кут між ними.
•                   Представити результати класу.

V. Підсумки уроку (5 хвилин)

•                   Рефлексія:
  1.               Що нового ви дізналися сьогодні?
  2.               Як скалярний добуток допомагає знаходити кут між векторами?
  3.               Де можна застосувати ці знання?
•                   Оцінювання:
  •                   Усні відповіді: +1 бал.
  •                   Вирішені задачі: +2 бали.
  •                   Групова робота: +3 бали.

VI. Домашнє завдання:

1.               Повторити властивості скалярного добутку.
2.               Виконати задачі:
   •                   Знайдіть скалярний добуток векторів (3, −1, 4) і (−2, 0, 5).
   •                   Чи є вектори (1, 2, −1) і (2, 4, −2) перпендикулярними?
   •                   Обчисліть кут між векторами (1, −1) і (2, 3).