Сума n перших членів арифметичної прогресії

Про матеріал
Конспект містить план вивчення нового матеріалу й додаткові завдання для формування вміння застосовувати формулу n-го члена арифметичної прогресії до обчислення членів прогресії, завдання прогресії за даними її членами або співвідношення між ними.
Перегляд файлу

Сума n перших членів арифметичної прогресії

 

Розглянемо скінченну арифметичну прогресію a1, a2, a3, ..., an–2, an–1, an.

Суму членів цієї прогресії позначимо Sn.

Тобто,

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an.                                  (*)

Виведемо формулу для знаходження цієї суми.

Спочатку розглянемо задачу, розв’язання якої підкаже, як знайти ідею для виведення шуканої формули.

Розглянемо арифметичну прогресію

1, 2, 3, ..., 98, 99, 100

і знайдемо суму її членів.

Запишемо шукану суму двома способами і додамо отримані рівності:

 

+

S100 =

1

+ 2

+ 3

+ ...

+ 98

+ 99

+ 100

S100 =

100

+ 99

+ 98

+ ...

+ 3

+ 2

+ 1

 

2S100 =

 

Маємо: 2S100 = 101  100, S100 = 5050.

Розповідають, що видатний німецький математик Карл Гаусс (1777 – 1855 рр.) додумався до такого розв’язання у віці 5 років.

Скористаємося описаним прийомом для знаходження суми (*).

Запишемо суму Sn двома способами. Спочатку запишемо суму, перший доданок якої дорівнює a1, а кожний наступний доданок отримано з попереднього додаванням різниці d. Потім запишемо суму, перший доданок якої дорівнює an, а кожний наступний доданок отримано з попереднього відніманням різниці d. Маємо:

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n – 2)d) + (a1 + (n – 1)d),

Sn = an + (and) + (an – 2d) + ... + (an – (n – 2)d) + (an – (n – 1)d).

Додавши ці рівності, отримаємо:

.

Вираз, який стоїть у правій частині останньої рівності, є сумою n доданків, кожний з яких дорівнює a1 + an.

Тоді 2Sn = (a1 + an)n,

.

Отримана рівність є формулою суми n перших членів арифметичної прогресії.

Підставивши до цієї формули замість an вираз a1 + d(n – 1), отримаємо:

,

.

Останньою формулою зручно користуватися тоді, коли задано перший член і різницю прогресії.

 

Приклад 1.

Знайдіть суму всіх трицифрових чисел, які кратні 6.

Розв’язання.

Дані числа утворюють арифметичну прогресію, перший член якої a1 = 102, а різниця d = 6. Тоді an = 102 + 6(n – 1) = 6n + 96. Знайдемо кількість членів цієї прогресії. Оскільки an < 1000, то маємо:

6n + 96 < 1000;

6n < 904;

n < 150.

Отже, n = 150. Тоді шукана сума  = 82 350.

Відповідь: 82 350.

 

Приклад 2.

Сума сімдесяти п’яти перших членів арифметичної прогресії дорівнює 450. Знайдіть тридцять восьмий член прогресії.

Розв’язання. Нехай перший член прогресії та її різниця дорівнюють a1 і d відповідно. Тоді сума сімдесяти п’яти перших членів S75 =  = 75(a1 + 37d) = 450. Звідси маємо: a38 = a1 + 37d = 450 : 75 = 6.

Відповідь: 6.

 

 

doc
Додав(-ла)
Marchuk Marta
Додано
28 лютого
Переглядів
219
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку