Текст "Показникові рівняння"

ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

Рівняння називають показниковим, якщо його змінні входять лише до показників степенів при сталих основах.

Існує багато видів показникових рівнянь і різних підходів до їх розв’язування. Основні з них:

I.          Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими основами.

II.       Метод уведення нової змінної.

III.    Функціонально-графічний метод.

І. Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими основами стосується двочленних рівнянь, які можна звести до виду 𝑎^𝑓(𝑥) =

𝑎𝜑(𝑥).

Такі рівняння розв’язують на основі монотонності показникової функції.

Якщо 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, то рівняння 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎^𝜑(𝑥) і 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) — рівносильні.

Приклад 1.

Розв’яжіть рівняння: 4^𝑥−5 = 8^2𝑥 Розв’язання.

Запишемо праву та ліву частини рівняння як степені числа 2:

(22)x-5 = (23)2x 22x-10 = 26x

2x-10 = 6x

2x-6x = 10

-4x = 10

𝑥 = 10: (−4) x = -2,5 Відповідь: x = -2,5.

II.                     Метод уведення нової змінної.

Показникове      рівняння     можна         розв'язати, запровадивши      нове позначення. Після підстановки у початкове рівняння нового позначення, отримаємо нове, більш просте рівняння, розв'язавши яке, повертаємося до підстановки і знаходимо корені початкового рівняння.

Приклад 2.

Розв’яжіть рівняння: 4^x + 4 ∙ 2^x-32 = 0 Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді

(2²)^x + 4 ∙ 2^x-32 = 0

2^2x + 4 ∙ 2^x-32 = 0

Замінемо 2^x = y, маємо:

y² + 4 ∙ y-32 = 0

Отримали квадратне рівняння, яке розв’яжемо за допомогою дискримінанту:

D = b²-4ac

𝐷 = 4² − 4 ∙ 1 ∙ (−32) = 16 + 128 = 144

y y

Враховуючи заміну, маємо: корінь y₁ - сторонній, бо 2^x ≠ -8.

Розв’яжемо рівняння 2^x = 4

2^x = 2² x = 2

Відповідь: x = 2.

III.                  Функціонально-графічний метод полягає в тому, що, знайшовши один або кілька коренів рівняння за допомогою побудови графіків (або добором), доводять, що інших коренів рівняння не має.

Приклад 3.

Розв’яжіть рівняння: (^{3 x x}. ) = 1 + 0,5

2 Розв’язання:

Графічно або методом спроб переконуємося, що x = 1 – корінь

рівняння. Оскільки y = (³)^x – зростаюча функція (бо > 1), а y = 1 + 0,5^x – 2

спадна (0,5 < 1), то інших коренів рівняння не має.

Домашнє завдання (з підручника МАТЕМАТИКА за 11 клас (автор

Г.БЕВЗ, В.БЕВЗ))

Прочитати, вивчити §2 стр. 15 – 17

Розібрати розділ ВИКОНАЄМО РАЗОМ №1 стр.18

№51 (стр 19)

№ 53 (стр.19)