Тема: Функціональні рівняння

 

Заняття №1

Тема: Функціональні рівняння

Мета:

• повторити властивості функцій;
• сформувати поняття функціональних рівнянь та методів їх розв’язання;
• розвивати вміння і навички розв’язування функціональних рівнянь різними методами;
• розвивати вміння систематизувати і узагальнювати, робити умовиводи;
• виховувати прагнення до реалізації своїх навчальних можливостей.

Тип уроку: урок-лекція.

Рівняння – це золотий ключ, що відкриває усі математичні сезами. С.Коваль

Хід заняття.

І. Організаційний момент.

Давайте познайомимось!  Утворимо коло та по черзі назвемо своє ім’я та декілька рис свого характеру.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Взагалі наукове визначення функціонального рівняння є дуже складним і є одним із основних понять розділу математики, який зараз інтенсивно розвивається і називається функціональним аналізом. Звичайно, глибоко вивчати функціональні рівняння мені, вчителю школи, немає смислу, але зрозуміти дещо і навчитися розв’язувати деякі з них можна і, навіть, цікаво.

ІV. Теоретична  частина.
1. Функціональні рівняння.

Рівняння,  в яких разом із незалежною змінною міститься деяка невідома функція цієї змінної називаються функціональними.

Двісті років тому значний вклад в теорію розв’язування функціональних рівнянь вніс французький математик Огюстен Коші (1789-1857). На честь нього названо одне з найвідоміших функціональних рівнянь

                            f(x+y)=f(x)+f(y),                                   

яке  має розв’язком будь-яку адитивну функцію.

Найпростіші функціональні рівняння, для яких знайдено способи розв’язку: 

f ( )   =    f(2х)                            (6)

f (  )  =    f(x) + f(y))                       (7)

f(x+y) - f(x-y) = 2 f(x) f(y)                      (8)

f(x+y)  - f(x-y) = 2 f(x) cosy                   (9)

f(x+1) + f(x) = x                                   (10)

2f(1-x) + 1 = x f(x)                               (11)

Метод підстановки

Суть методу підстановок полягає у тому, що:

 1) рівняння має розв’язок;

2) для змінних, які входять до даного рівняння, використовують деякі підстановки, що не виходять за область визначення шуканої функції;  так отримують систему рівнянь, де одним із невідомих є шукана функція;

3) за допомогою перевірки впевнюються, що знайдена функція задовольняє умови задачі.

 

Задача 1. Знайти всі функцію f(х) , яка задовольняє співвідношенню

f(x)+2=x,               при всіх х0

Розв’язання

Введемо заміну , тоді +2 f(t)=

Отримаємо систему рівнянь: ,   з якої .

Замінимо змінну t на x, отримаємо шукану функцію . Виконаємо перевірку.                                          Відповідь.

Задача 2

Знайти на множині дійсних чисел функцію f(х) , яка задовольняє співвідношенню   

Розв’язання

Зафіксуємо змінну x, тоді функціональне рівняння  стане лінійним рівнянням з двома невідомими.

Введемо заміну , тоді

Отримаємо систему рівнянь:

Знаходимо функцію:

Отже, виконавши перевірку, робимо висновок, що функція є розв’язком даного функціонально рівняння.   Відповідь

Фізкультхвилинка для поліпшення мозкового кровообігу

Вправа 1. Вихідне положення - основна стійка. На рахунок «раз» - руки за голову, лікті широко розвести, голова нахилена назад. На рахунок «два» - лікті подаються вперед. На рахунок «три» - руки розслаблено опускаються вниз. На рахунок «чотири» - прийняти вихідне положення. Вправу в повільному темпі повторюється 4-6 разів.

Вправа 2. Вихідне положення-стійка ноги нарізно, кисті в кулаках. На рахунок «раз» - мах лівою рукою назад, правою-вгору. На рахунок «два» - зустрічними махами перемінити положення рук. Махи закінчуються ривками рук назад. Вправа повторюється 6-8 разів у середньому темпі.

Вправа 3. Виконується сидячи на стільці. На рахунок «раз» - віднести голову назад. На рахунок «два» - голову нахилити вперед, плечі не піднімати. Вправа повторюється 4-6 разів у повільному темпі.

Практична частина.

Розв’язання вправ (колективно)

Завдання 1. Знайти всі функції, визначені на R, для R, і задовольняють рівності: 

                                           (1)

де f визначена на R функція, що задовольняє рівняння (1) при довільних  R, причому f(0)=0.

Розв’язання. Покладемо спочатку в рівнянні (1) x=0 і y=x. Тоді воно набере вигляду:           (2)

Якщо y=2x, то                (3)

При y=-2x                (4)

Додаючи і віднімаючи рівняння (3) і (4), матимемо:

   звідки     (5)

Комбінуючи, нарешті, рівняння (2) і (5), дістанемо:   .

Ця єдина функція справді задовольняє рівняння (1) і буде його розв’язком при всіх xR.

Завдання 2.    Розв’язати рівняння  f (x)+f ()= x  для  R / {2}.                           (1)

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Зробимо таку заміну  = u, звідси   x =. Підставимо в (1):

f ()+f (u)= .                                               (2)

Тепер в (2) покладемо  x= u :  f ()+f (x)=.                  (3)

Від (1) віднімемо (3):     f () - f ()=.     (4)

 Тепер зробимо заміну в отриманому рівнянні:  =, звідси  4x=4x-8-2xu+4u.  Виражаємо  x:        x==.

 Тоді, підставивши в (4), отримаємо

f () - f()==

==.

 І , нарешті, поклавши    x=u , отримаємо:

f (x)-f ()=.                                              (5)

Додамо рівності (1) і (5):

2 f (x)==.

Звідки отримуємо шукану функцію

f (x)= .

 

Робота в парах:

• обрати метод;
• скласти алгоритм розв’язання;
• розв’язати рівняння.

Розв'язання. Вирази, що стоять під знаком функції, складають групу (1). Виконаємо операцію композиції і отримаємо друге рівняння, яке з першим пов’яжемо у систему:

Визначимо з першого рівнянняі підставимо в друге, маємо,  звідки знаходимо, що буде розв’язком даного рівняння. Аналогічно розв’язується і рівняння. Я пропоную зробити це читачу самостійно. Єдине що хочу повідомити, що розв’язком даного рівняння є

Завдання для самостійної роботи:

1. Знайдіть усі функції , які при , задовольняють рівність .
2. Знайдіть усі функції , які для всіх задовольняють
   рівність .
3. Знайдіть усі неперервні функції , які для всіх задовольняють рівність .

5. Підсумок заняття.
   1. Назвіть основні методи розв’язування рівнянь.
   2. Які методи ми вивчили сьогодні?
   3. Які властивості функцій використовують для розв’язування рівнянь?
6. Рефлексія

Моя діяльність на уроці ( три дієслова )                                                                        Передати зміст своєї діяльності на уроці за допомогою трьох дієслів

Що здивувало?                                                                                                                    Аристотель: Пізнання починається з подиву.                                           Що викликало здивування на уроці?

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980. (Библиотека «Квант»; 7 )

2.Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа, 1983.

3.Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – Москва: Наука, 1998.

4.Вишенський В. А. Карташов Н. В. Збірник задач Київських математичних олімпіад. – К.: Вища школа, 1984.

7.Лейфура В.М., Мітельман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України 1991-2000. – К.: Техніка, 2003.

8.Мантурив О. В., Соркін Ю. І., Федін М. Г. Математика в поняттях, означеннях і термінах. – Київ: Радянська школа, 1986. – 456с.

9.Мерзляк А. Г., Полянський В. Б., Якір М. С. Алгебра – 9 підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – Харків: Гімназія, 2009.

10. Мерзляк А. Г., Полянський В. Б., Якір М. С. Алгебра - 8 підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – Харків: Гімназія, 2008.