Исторические сведения. Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод Разыскания площадей , объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся ещё Архимедом . Систе-Матическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери ,Торриче-лли, Фермам,Паскаля. В 1659 г. И. Барроу установил связь мемжду задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейб-Ниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геомет-Рических задач. Тем мсамым была установлена связь между интегральным и. Дифференциальным исчислением. Эта связь была использована Ньютоном , Лейбницем и их учениками для. Развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интег-Рирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградско-Го и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.
Понятие об интеграле. Пусть линия MN дана уравнением И надо найти площадь. F «криволинейной трапеции a. ABb. Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на черт.1 Её площадь , её площадь равна (1)Если ввести обозначения. То формула (1) примет вид (3)Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большом n. Лейбниц ввёл для этого предела обозначение (4)В котором (курсивное s) – начальная буква слова summa (сумма),Е выражение указывает типичную форму отдельных слагае-Мых . Выражение Лейбниц стал называть интегралом – от латинско-Го слова integralis – целостный . Ж. Б. Фурье усовершенствовал обоз-Начение Лейбница , придав ему вид Здесь явно указаны начальное и конечное значе- ния x .
Неопределённый интеграл. Неопределённым интегралом данного выражения Называется наиболее общий вид его первообразной функции. Неопределённый интеграл выраженияобозначается Выражение называется подинтегральным выражением,Функция -подинтегральной функцией , переменная x –перемен-Ной интегрирования. Разыскание неопределённого интеграла данной. Функции называется интегрированием.