Теорема Вієта та теорема, обернена до теореми Вієта

Теорема Вієта та теорема, обернена до теореми Вієта. Алгебра, 8 класstyle.text. Decoration. Underline

Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо  𝒙𝟏+𝒙𝟐=−𝒑,𝒙𝟏∙𝒙𝟐=𝒒, то 𝒙𝟏 та 𝒙𝟐 - корені квадратного рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙+𝒒=𝟎 

Приклад. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння 5𝑥2−7𝑥+2=0. Розв’язання:5𝑥2−7𝑥+2=0 𝑎=5,  𝑏=−7,  𝑐=2 55𝑥2−75𝑥+25=0 ЗАПАМ’ЯТАЙТЕ!Якщо  𝒙𝟏+𝒙𝟐=−𝒑,𝒙𝟏∙𝒙𝟐=𝒒, то 𝒙𝟏 та 𝒙𝟐 - корені квадратного рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙+𝒒=𝟎 𝑥2−75𝑥+25=0 𝒙𝟏+𝒙𝟐=𝟕𝟓,𝒙𝟏∙𝒙𝟐=𝟐𝟓,  𝑝=−75, −𝑝=75 𝑞=25 Відповідь: 𝒙𝟏+𝒙𝟐=𝟕𝟓, 𝒙𝟏∙𝒙𝟐=𝟐𝟓  

Приклад. Підберіть корені рівняння 𝑥2−6𝑥−16=0, використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта Розв’язання:𝑥2−6𝑥−16=0 p=−6,  𝑞=−16 ЗАПАМ’ЯТАЙТЕ!Визначення знаків коренів рівняння слід починати з аналізу знака добутку: Якщо 𝒙𝟏∙𝒙𝟐>𝟎 то 𝑥1>0,𝑥2>0 або 𝑥1<0,𝑥2<0 тобто корені мають один знак;Якщо 𝒙𝟏∙𝒙𝟐<𝟎 , то корені мають різні знаки Відповідь: 𝑥1=8, 𝑥2=−2 Оскільки𝑥1∙ 𝑥2=−16, тобто𝑥1∙ 𝑥2<0, отже, корені рівняння мають різні знаки. Підберемо усі можливі розклади на множники числа (-16): -16 = -16·1=1·(-16);-16=-8·2=8·(-2);-16=4·(-4). Серед отриманих пар чисел вибираємо ту пару, яка задовольняє умову 𝑥1+𝑥2=6, тобто 𝑥1=8, 𝑥2=−2 

Завдання. У завданнях 1-4 перевірте, чи є коренями рівняння:1) 𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟑𝟔=𝟎, числа 4 і 9;  2) 𝒙𝟐+𝟏𝟓𝒙−𝟑𝟒=𝟎, числа -2 і 17;  3) 𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟓=𝟎, числа -1 і 2,5;  4) 𝟑𝒙𝟐+𝒙−𝟒=𝟎, числа  −𝟏𝟑 і 1.  𝑝=−13,  𝑞=36. Якщо 𝑥1=4,  𝑥2=9,  то𝑥1+𝑥2=−𝑝𝑥1𝑥2=𝑞, 4+9=134∙9=36, 13=1336=36 Відповідь: числа 4 і 36 є коренями квадратного рівняння 𝑥2−13𝑥+36=0 𝑝=15,  𝑞=−34. Якщо 𝑥1=−2,  𝑥2=17,  то𝑥1+𝑥2=−𝑝𝑥1𝑥2=𝑞, −2+17≠−15−2∙17=−34, 15≠−15−34=−34 Відповідь: числа -2 і 17 не є коренями квадратного рівняння 𝑥2+15𝑥−34=0 𝑎=2,  𝑏=−3,  𝑐=−5. Якщо 𝑥1=−1,  𝑥2=2,5,  то𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎𝑥1𝑥2=𝑐𝑎, −1+2,5=−−32−1∙2,5=−52, 1,5=1,5−2,5=−2,5 Відповідь: числа -1 і 2,5 є коренями квадратного рівняння 2𝑥2−3𝑥−5=0 𝑎=3,  𝑏=1,  𝑐=−4. Якщо 𝑥1=− 13,  𝑥2=1,  то𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎𝑥1𝑥2=𝑐𝑎, −13+1≠−13−13∙1≠−43,  23≠−13−13≠−113 Відповідь: числа -13 і 1 не є коренями квадратного рівняння 3𝑥2+𝑥−4=0 

Приклад. Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, коренями якого є 𝑥1=−212 і 𝑥2=4 Розв’язання: За теоремою Вієта:𝒙𝟐+𝒑𝒙+𝒒=𝟎, 𝑥1=−212 і 𝑥2=4 −𝑝=𝑥1+𝑥2; −𝑝=−212+4=−212+322=112. Оскільки −𝑝=112=32, то𝑝=−32. 1)2)𝑞=𝑥1∙𝑥2; 𝑞=−212∙4=−52∙41=−10, Підставимо в рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙+𝒒=𝟎 отримані значення p і q. 𝑞=−10. 𝑥2+−32𝑥+(−10)=0; 𝑥2−32𝑥−10=0; ∙2 2𝑥2−3𝑥−20=0. Відповідь:2𝑥2−3𝑥−20=0. 

Завдання. У завданнях 5-6 складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:5) −𝟖 і 𝟗;  6) −𝟒 і 𝟐𝟏𝟒.  Нехай 𝑥1=−8, 𝑥2=9.𝑥1+𝑥2=−𝑝𝑥1𝑥2=𝑞, −8+9=−𝑝−8∙9=𝑞, 1=−𝑝−72=𝑞, 𝑝=−1𝑞=−72,складемо рівняння: 𝑥2−𝑥−72=0. Відповідь: 𝑥2−𝑥−72=0. Нехай 𝑥1=−4, 𝑥2=214.𝑥1+𝑥2=−𝑝𝑥1𝑥2=𝑞, −4+214=−𝑝−4∙214=𝑞, −134=−𝑝−9=𝑞, 𝑝=74𝑞=−9,складемо рівняння: 𝑥2−74𝑥−9=0. Помножимо усі члени рівняння на число 4 і отримаємо:4𝑥2−7𝑥−36=0. Відповідь: 4𝑥2−7𝑥−36=0. 

Завдання. У завданні 7 складіть квадратне рівняння корені якого :7) на 2 більші за відповідні корені рівняння  𝒙𝟐−𝟗𝒙+𝟐=𝟎;  Знайдемо корені рівняння 𝑥2−9𝑥+2=0:𝑥1+𝑥2=9,𝑥1∙𝑥2=2 𝑥1=4,𝑥2=12. Оскільки корені шуканого рівняння на 2 більше, то𝑥1=4+2,𝑥2=12+2,  𝑥1=6,𝑥2=212 . Застосуємо теорему, обернену до теореми Вієта: якщо 𝑥1=6, 𝑥2=212, то6+212=−𝑝,6∙212=𝑞 812=−𝑝,15=𝑞 𝑝=−812,𝑞=15 Складемо зведене квадратне рівняння: 𝑥2−812𝑥+15=0 𝑥2−172𝑥+15=0 ǀ · 2 Отримаємо повне квадратне рівняння: 2𝑥2−17𝑥+30=0. Відповідь: 2𝑥2−17𝑥+30=0. 

Приклад. Не обчислюючи значень коренів 𝑥1 і 𝑥2  квадратного рівняння 2𝑥2−4𝑥+1=0, знайдіть значення виразу 𝑥12+𝑥22. Розв’язання: За теоремою Вієта для повного квадратного рівняння маємо:𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎,𝑥1∙𝑥2=𝑐𝑎 Відповідь:3. 2𝑥2−4𝑥+1=0, 𝑎=2,   𝑏=−4,   𝑐=1. 𝑥1+𝑥2=−−42=2,𝑥1∙𝑥2=12 Виділимо квадрат двочлена у виразі 𝑥12+𝑥22: 𝑥12+𝑥22=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2. Підставимо значення суми та добутку коренів квадратного рівняння у попередній вираз:𝑥12+𝑥22=22−2∙12=4−1=3. 

Завдання. У завданнях 8-11 знайдіть значення виразу, якщо 𝑥1 і 𝑥2  квадратного рівняння : 8) 𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟏𝒙𝟐, якщо задано рівняння 𝒙𝟐−𝟗𝒙+𝟑=𝟎;  9) 𝟑𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝒙𝟏𝒙𝟐, якщо задано рівняння 𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟏𝟐=𝟎;  10) 𝟔𝒙𝟏𝒙𝟐+ 𝒙𝟏+𝒙𝟐, якщо задано рівняння 𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟐𝒙−𝟒=𝟎;  11) 𝟒𝒙𝟏𝟐+𝟒𝒙𝟐𝟐, якщо задано рівняння 𝟐𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟑=𝟎.  Розв’язання:𝑥2−9𝑥+3=0, за теоремою Вієта маємо:    𝑥1+𝑥2=9𝑥1𝑥2=3.𝑥1+𝑥2+𝑥1𝑥2=(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=9+3=11. Відповідь: 11. Розв’язання:𝑥2+5𝑥−12=0, за теоремою Вієта маємо:    𝑥1+𝑥2=−5𝑥1𝑥2=−12.3𝑥1+3𝑥2+𝑥1𝑥2=3(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=3∙−5+−12=−15+−12=−27. Відповідь: 27. Розв’язання:3𝑥2+12𝑥−4=0, за теоремою Вієта маємо:    𝑥1+𝑥2=−123=−4𝑥1𝑥2=−43.6𝑥1𝑥2+ 𝑥1+𝑥2=6𝑥1𝑥2+ (𝑥1+𝑥2)=6∙−43++−4=−8+−4=−12 Відповідь: -12. Розв’язання:2𝑥2−6𝑥+3=0, за теоремою Вієта маємо:    𝑥1+𝑥2=−−62=3𝑥1𝑥2=23.4𝑥12+4𝑥22=4𝑥12+𝑥22=4((𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2)==4∙32−2∙23=4∙9−43=4∙233=923=3023 Відповідь: 3023.