Олімпіада з математики 11 клас

1. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть усі двозначні числа, які задовольняють умовами задачі.

2. На розпродажі жуків одного жука продавали за 1 грн. При цьому до кожних десяти куплених жуків один давався безкоштовно, а за кожну сотню оплачених жуків іще дарували 5. Заплативши всі свої гроші, Олена отримала 200 жуків. Скільки в неї було грошей?

3. 1000 доларів розклали по гаманцях, а гаманці розклали по кишенях. Відомо, що всього гаманців більше, ніж доларів в будь-якій кишені. Чи вірно, що кишень більше, ніж доларів в будь-якому гаманці? ( Класти гаманці один в другий не дозволяється).

4. Робочий день скоротився з 8 год. до 7 год. На скільки відсотків потрібно

підняти продуктивність праці, щоб при тих самих розцінках заробітна плата

зросла на 5%?

5. У класі 28 учнів. Середній зріст всіх учнів цього класу дорівнює 150 см.

Середній зріст всіх хлопчиків дорівнює 155 см, а середній зріст всіх дівчаток

дорівнює 148 см. Скільки дівчаток в цьому класі?

6. У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 4 рази більша за висоту, проведену з вершини прямого кута. Знайти гострі кути трикутника.

Точка А належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними?

І. Через точку А можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.

ІІ. Через точку А можна провести площину, перпендикулярну до площини α.

ІІІ. Через точку А можна провести площину, паралельну площині α.