Тотожні перетворення виразів, що містять квадратний корінь

Урок № 43

Тема. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратний корінь

Мета: поглибити знання учнів відомостями про способи перетво­рення дробових виразів, що містять квадратні корені; сформувати вміння застосовувати вивчені способи дій для перетворення дробових виразів, що містять квадратні корені, у завданнях, передбачених про­грамою з математики.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Перетворення ірра­ціональних виразів».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Рівень засвоєння учнями знань та вмінь попереднього уроку мож­на визначити під час перевірки домашнього завдання за зразком або проведенням тестової роботи.

Тестова робота 8

Перетворення ірраціональних виразів

1. Спростіть вираз .

2. Обчисліть: .

3. Чому дорівнює значення виразу ?

4. Порівняйте числа 2 і .

5. Розкладіть на множники вираз .

III. Формулювання мсти і завдань уроку

З метою створення мотивації учнів до навчальної діяльності на уроці пропонуємо їм виконати завдання, зміст яких відповідає якому-небудь виду тотожних перетворень дробових ірраціональних ви­разів (наприклад, скоротити дріб тощо). Спроби виконати пе­ретворення, спираючись тільки на вивчені тотожності та означення арифметичного квадратного кореня, мають переконати учнів у тому, що, крім вивченої теорії з теми «Арифметичний квадратний корінь», необхідно опанувати способи дій з перетворення не тільки цілих, але й дробових виразів, що містять арифметичний квадратний корінь.

Сформульована проблема — необхідність вивчення спеціальних способів перетворень дробових виразів, що містять квадратний ко­рінь — виражає основну дидактичну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття навчального матеріалу слід ак­тивізувати такі знання і вміння учнів: виконання арифметич­них дій з раціональними числами; виконання тотожних пере­творень дробових та цілих раціональних виразів; тотожні перетворення найпростіших цілих виразів, що містять квадрат­ні корені.

Виконання усних вправ

1. Обчисліть: ; ; 5; ; ; .
2. Порівняйте значення виразів: і ; і 6; 0 і ; 1 і ; і - 2; х і .
3. Винесіть множник з-під знака кореня:

; ; ; ; при у ≤ 0;

; ; при а ≥ 0; ; ; ; .

4. Внесіть множник під знак кореня:

; ; при с > 0; при а < 0.

5. Розкладіть на множники: а) ах + х; б) 3х² – х; в) ; г) ;

д) а²х² – 1; е) (а + х)² – 1; ж) 49 + х² – 14х; з) 3а³ – 27а.

V. Застосування знань

 Так само як і на попередньому, на цьому уроці не вивчаються нові теоретичні положення: весь зміст нового матеріалу пред­ставлений опорними прикладами виконання завдань на пере­творення дробових виразів, що містять арифметичний квадрат­ний корінь. Тому план вивчення матеріалу уроку являє собою фактично опис змісту виразів, способи перетворення яких мають опанувати учні.

1. Скорочення дробів, що містять квадратні корені.
   Скоротіть дріб: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) .

2. Спрощення виразів, що мають вигляд суми або різниці дробів і містять квадратні корені.

Спростіть вираз: а) ; б) ; в) ;

г) (х > 0, у > 0).

3. (додатково). Спрощення виразів, що мають вигляд складного коре­ня або суми, різниці, добутку складних коренів.

1) Доведіть, що: а) ; б) .

2) Спростіть вираз: а) ; б) ;

в) ;

г) ; д) (х > 0, у > 0).

4. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.

1) Звільніться від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробу:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Звільніться від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробу:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) .

Слід зауважити, що під час коментування розв'язання типових прикладів (які складають основний зміст навчального матеріалу уро­ку), вчитель має акцентувати увагу учнів на тому факті, що в перетво­ренні дробових ірраціональних виразів використовують міркування, аналогічні до тих, що використовувались під час перетворення дро­бових раціональних виразів.

Принципово новими для учнів є перетворення, що мають назву позбавлення (звільнення) від ірраціональності в чисельнику або зна­меннику дробу (традиційно вивчається позбавлення від ірраціональ­ності в знаменнику дробу). Перед вивченням схеми перетворень ко­рисно було б вивчити питання про те. як перетворити добуток кореня на раціональне число в раціональний вираз, а також про перетворення суми або різниці коренів із чисел у раціональне число (для підготовки до сприйняття матеріалу, пов'язаного з позбавленням від ірраціональ­ності в знаменнику дробу, корисно було б виконати відповідні завдан­ня на попередньому уроці під час опрацювання питання про способи перетворень цілих ірраціональних виразів — див. попередній урок). Після опрацювання нього питання звертаємо увагу учнів на те, що основна властивість дробу виконується і у випадку ірраціональних дробів, тому в результаті множення чисельника і знаменника ірраціо­нального дробу на одне й те саме число, відмінне від нуля, числове значення дробу не зміниться – зміниться лише його вигляд: знамен­ник дробу перетвориться на раціональний вираз.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Розкладіть на множники: а) ; б) ; в) а – b, де а > 0; b > 0.
2. Прокоментуйте виконані дії:

а) ;

б) ;

в) .

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мсти уроку на цьому уроці слід розв'я­зати завдання змісту аналогічного до змісту опорних вправ (див. ви­ще), а також за наявності часу розв'язати вправи:

1. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
   які мають достатній та високий рівні знань.

Вставте пропущений вираз:

2. На повторення: завдання па перетворення цілих ірраціональних
   виразів; розв'язування рівнянь.

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

1) ; 2) ;

3) .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити схеми виконання розглянутих на уроці дій із дробовими виразами, що містять квадратні корені.
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених схем дій.
3. На повторення: завдання на перетворення цілих ірраціональних виразів.