Тригонометричні рівняння,які розв'язуються методом пониження степеня

2.1.11 Рівняння, для розв'язування яких потрібно застосувати формули пониження степення.

Якщо тригонометричні рівняння містять sin x, cos x в парному степені, то застосовують формули пониження степеня 

x = ,x =.

Приклад 1.Розв'язати рівняння 3x + 4x = 5x +6x.

Розв’язання

+ = +

Домножуємо ліву і праву частину на 2.Отримаємо

2 – cos 6x – cos 8x = 2 – cos 10x – cos 12x

Переносимо все у ліву частину,зводимо подібні доданки та групуємо.

(cos 10x + cos 12x) – (cos 6x + cos 8x) = 0

Застосовуємо тригонометричну формулу для суми косинусів(див.Додаток)

2 cos 11x cos x - 2 cos 7x cos x = 0;

2 cos x(cos 11x - cos 7x) = 0:

Застосовуємо різницю косинусів(див.Додатки).

-2 cos x sin 9x sin 2x = 0.

Кожний множник отриманого рівняння прирівнюємо до нуля і знаходимо його корені.

cos x = 0; x = + n, , n ∈ ℤ.

sin 9x = 0; 9x = k, k ∈ ℤ; x = , k ∈ ℤ.

sin 2x = 0; 2x = p, p ∈ ℤ; x = , p ∈ ℤ.

Відповідь: