«Утверждено»       «Утверждено»

методическим советом                                                                         методическим советом

Володарского района                                        общеобразовательной  школы

методического кабинета                                                       I-III ступеней с.Кальчик                                                   Заведующий                             С.М. Антикало                          Директор школы                 С.Г. Фесак

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проценты в нашей жизни

 

Задачи и методические рекомендации к их решению

(для школьников 5-11 классов)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013 г

Пояснительная записка

   Задачи на проценты играют огромную роль в жизни человека. Проценты -это «международный язык»: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту….

   Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

   Современный человек должен свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких знаний (простые и сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессия).

   Как организовать обучение, чтобы проценты были понятны и доступны в обращении? Первое знакомство с процентами начинается с 5-го класса. В 6-м классе знакомство с обыкновенными дробями и пропорцией  расширяет горизонты использования проценов. До 9-го класса к процентам возвращаются эпизодически (в ходе решения задач), что приводит к ослаблению знаний, а порой непониманию вопроса.

   В программу старших классов по математике тема «Проценты» не входит, навыки работы с процентами забываются, а  тема становится востребованной при подготовке к ГИА и ВНО. Отсюда возникает необходимость в создании системы работы по данной теме с 5-го по11класс.

   В пособии разработаны   методические рекомендации к решению задач на  «Проценты в  нашей жизни». Задачи направлены на то, чтобы показать учащимся практическую направленность математических знаний. Содержание задач приближены к современной жизни  и  служит сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

   Применение данного пособия возможно как при объяснении нового материала, так и для организации самостоятельной работы по данной теме. Материал в пособии  ,структурирован, содержит задания с приведенными вариантами решений, а также приведены  задачи для самостоятельного решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1.Введение…………………………………………………………………...4

2.Проценты в  нашей  жизни…………………………………………….....6

3.Из истории возникновения процентов…………………………………..8

4.Понятие процента. Основные типы задач на проценты……………......9

           а) нахождение процента от числа………………………………....10

           б) нахождение числа по его процентам…………………………...11

           в) нахождение процентного отношения чисел…………………...12

           г).Задачи на проценты с применением пропорции…………........13

5.Тесты  по теме «Проценты»…………………………………………….14

6.Задачи для самостоятельной  работы…………………………………..15

7.Задачи с использованием понятия коэффициента увеличения………18

8.простые и сложные проценты. Банковские расчеты………………….23

9.Задачи на смеси, сплавы, концентрацию  растворов………………….32

10.Задачи  ГИА…………………………………………………………….39

 

11.Проценты и здоровье………………………………………………......42

12.Творческие задачи……………………………………………………...44

13.Заключение……………………………………………………………..45

14.Информационные ресурсы…………………………………………….46

 

Введение

Как  история доказывала необходимость появления процента?

Что должен знать ученик 21-го века о процентах?

В каких областях жизни и науки применяются проценты?

Как решать задачи на проценты? Вопросы, вопросы, вопросы…

   Тема «Проценты в нашей жизни» выбрана не случайно: развитие  рыночных отношений создало объективную потребность создания образовательной среды для формирования экономической культуры подрастающего поколения. Финансовая математика становится неотъемлемой частью общего образования.

   Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике,  в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов.

   В мире науки и техники, где человечество стремительно несётся вперёд, просто необходимо уметь считать и высчитывать. Строительство, обучение, кредиты, скидки в магазинах, да и просто стоя у плиты дома – всюду приходится сталкиваться с процентами.

   Процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку. Это способствует «вхождению»  в современную информационно-экономическую среду.

   Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие из них ориентированы на поступление в высшие учебные заведения.

   Но как построить процесс изучения данной темы, чтобы наиболее эффективно реализовать основную образовательную задачу всего курса математики: научить учащихся оперировать понятиями «процент», «процентное отношение двух чисел», переносить полученные знания, умения и навыки в новую ситуацию, выработать умения выполнять действия и преобразования, используя данные понятия?

   Этот вопрос определил цели данной разработки:

   •сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту процентных расчетов в реальной жизни;

   •способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем;

   • составить практическое пособие по решению задач на проценты .

   • сформировать навыки самостоятельной   работы.

Актуальность   темы заключается в необходимости решения практических задач на   проценты.

 

   Денег наживешь – без нужды проживешь.

        Зарытый клад ржавеет и гниет, лишь в обороте    золото растет!

                                                                                                    У. Шекспир

 

Проценты в  нашей жизни

 

   Везде  в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения.   Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

   Мы читаем «молоко имеет  2,5% жирности», «в магазине распродажа со скидкой в 15%», «товар можно приобрести в кредит под 10%», и многое-многое другое.

   «Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи?»  «Вы умеете рационально тратить деньги? Вы можете купить товар, на приобретение которого у вас недостаточно средств? Вы знаете, какие для этого существуют возможности?». А может быть вы будущий бизнесмен, экономист, банковский работник или химик, то вам просто необходимо «дружить» с процентами. Чтобы ответить на эти вопросы, требуется умение решать задачи  на  «Проценты».

   Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

    Современный человек должен свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. 

   Сюжеты задач близки к реальным ситуациям - экономическим, финансовым, деловым. 

   Понимание процентов и умение производить процентные расчеты, в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни.

   Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

История возникновения  процентов  

   Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении  определенных задач, в основном,  это экономические потребности. Надо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике.   И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. 

   Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что  означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. 

   От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.

   В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. 

   Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.          Ныне процент – это частный вид десятичных дробей

   Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента.

   Есть  еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %,где   говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Примеры   задач исторического содержания  для работы  по теме «Проценты».

Задача. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?             Ответ: 60 сестерциев.

Задача. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?( Ответ: 140 руб.

 

Понятие процента. Основные типы задач на проценты

 

   Само понятие «проценты» привычно употребляются в обиходе: в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информацию о сравнении данных, характеризующих различные ситуации. Они традиционно используются как удобное средство для формального описания относительного изменения (например, с течением времени) изучаемых величин в технике, экономике, финансовом деле, статистике, социологии, психологии, химии, фармакологии и др.

   В повседневной жизни мы имеем дело с сотыми частями величин: сотую часть  гривны  называют копейкой, сотую часть доллара называют центом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром   (сотка), сотую часть  века-годом, т.е. 1 копейка —1%  гривны ; 1 см-1 % метра; 1 цент — 1 % доллара; 1 ар — 1  % гектара.   

Процент – это сотая часть  числа.  1% =1/100=0.01 . Существует три основных типа задач на проценты.

   Правило: чтобы, обратить десятичную дробь в проценты, ее надо умножить на 100. Чтобы пере­вести проценты в десятичную дробь, надо число процентов разделить на 100.

Примеры.

а) Записать десятичные дроби в процентах.

0.15=15%                  т. к  0.15*100=15

0.5=50%                              т. к  0.5*100=50

0.005=0.5%                         т. к  0.005*100=0.5

 

б) Записать проценты в виде десятичных дробей.

30%=0.3                    т. к  30/100=0.3

37%=0,37                     т. к  37/100=0.37

2.5%=0.025                  т. к  2.5/100=0.025

300%= 3                    т. к   300/100= 3

а) Нахождение процентов от числа.

    Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

 b=  а *     или    b=  а * 0,01P%         или

Чтобы найти процент от числа, надо число умножить на  число процентов, выраженных дробью.

Задание 1. Найти 35% от  600.   2 способ

Решение: =210   1) 35% = 0,35;

.      2) 600*0,35 = 210.     Ответ: 210

 Задача 1. В книге 240 страниц. Оля прочитала 20% общего количества страниц книги. Сколько страниц прочла Оля?

Решение    20%=0,2

240*0,2=48 (стр.)    Ответ: 240 страниц

Задача: Определить, сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%. 

1) В 255 кг хлеба с влажностью 45% сухого вещества 55%.

2) В сухарях с влажностью 15% сухого вещества 85%.

Решение:

1) 255 х 0,55 = 140,25(кг) - масса сухого вещества в хлебе.

2) 140,25 : 0,85 = 165(кг) - масса сухарей.         Ответ: 165 кг сухарей.

б) Нахождение числа по его процентам

  Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов  разделить на эту дробь.            b= 

Задание. Найти число, 15%  которого  равны 30.

Решение: 1 способ    2 способ: 

=200             15 % = 0,15;

                30 : 0,15=200.      Ответ: 200.

 Задача. В саду 16 яблонь, что составляет 25 % всех деревьев в саду. Сколько всего деревьев в саду?

25%=0,25

16:0,25=64 (д)          Ответ: 64 дерева.

Задача

Зарплата в январе  была 1500 грн., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Решение : 1500 : 7.5 •100 = 20 000  (грн.)   или   1500 : 0,075=20 000 (грн.)

в) Процентное отношение  двух чисел

Чтобы найти процентное отношение  двух чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%

Р= *100%.

Задача. Из 24 учащихся  по контрольной работе по математике  16  школьников написали на высокий и достаточный уровень. Какой процент учащихся получили высокий и достаточный уровень?  

Решение    ∙100% =67%

1) 16 : 24∙100 = 67%       Ответ: 67%.

Задача.   В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни? 

1) ∙100%=40%     2)

Задача. Для приготовления компота купили 2 кг чернослива, 1кг изюма, 4 кг кураги, 5 кг сушёных яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов всего компота составляют груши?

1)2+1+4+5+3=15(кг)           2)∙100%=20%             (Ответ: 20%)   

Г) Задачи на проценты   с применением пропорции.

Задача. С цены товара была сделана  скидка 12 грн., что составляет 15% первоначальной  цены  товара. Чему равна первоначальная цена товара?  Сколько стоит товар после уценки?                                           

  1)  100% - х грн.

        15% - 12 грн.

 

          =80      х=80                                                                       

   2) 80-12 = 68 (грн.).

   Перевод дробей в проценты

   Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит вам решение многих задач.

Дробь                                 

Десятичная дробь  0,5 0,25  0,75  0,2 0,4  0,6  0,1   0,05   0,02

Проценты   50%  25%  75%  20%  40%   60%   10%    5%    2%

Тесты  по теме «Проценты»

 

1.Найдите 25% от 56.

А) 14       Б) 22,04       В) 20     Г) 25

2. Найдите число, если 1% его равен 57.

А) 0,57    Б) 5,7           В)  5700   Г) 570

 

3.Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 24 кг клубники?

А)  4кг    Б)  40кг     В) 1,4 4кг  Г) 14, 4кг

 

4. Книга стоила 25грн. После повышения цены она стоит 30,25грн. На сколько процентов возросла стоимость книги?

А) на 21%    Б) на 20%     В) на 24%     Г) на25%

 

5.Найдите число, 34% которого равны 170.

А) 57,8          Б) 500           В) 56,5            Г) 510

 

6. На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

А) 932            Б) 1300         В) 133.1           Г) 1340

 

7.Надо вспахать участок поля в 500 га.  В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

А) 330%          Б) 30%          В) 125%         Г) 45%

 

8. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

А) на 20%         Б) на 40%      В) НА 25%    Г) на 30

 

9.Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

А) 63                Б) 44,8           В) 126              Г) 56

Задачи для самостоятельной  работы

1 Заполните таблицу:

Дробь	1/2		1/10		1/50
Десятичная дробь		0,25					0,05
Проценты				20%		100%		1%

2.Девочке 7 лет, что составляет 10% от средней продолжительности жизни человека. Какова средняя продолжительность жизни человека?

3.Организм человека состоит из воды на 60% (в массовом отношении), из белка –   14%, жиров – на 10%, углеводов – на 1%, золы – на 5% и других веществ. Определите массу каждого элемента в организме человека массой 50 кг.

4.Масса крови в организме человека составляет около 8% его массы. Определите массу крови в организме человека массой 50 кг.

5.Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

6.За контрольную работу по математике   12 учеников получили высокий уровень , что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

7.Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?  8.    Ученик прочитал 120 страниц, что составляет 2 5% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

9.Сливочное мороженое содержит 14% сахара. На приготовление мороженого израсходовали 25 кг сахара. Сколько сделали порций мороженого, если в каждой порции 100 г?

11.Применяя интенсивную технологию, бригада изготовила сверх плана 150 деталей, перевыполнив тем самым план на 5%. Сколько деталей изготовила бригада?

12. Слесарь и его ученик изготовили 1200 деталей. Ученик сделал 30% всех деталей. Сколько деталей сделал ученик?

13 . На водопой пригнали 220 лошадей и жеребят. Жеребята составляли 15% всего табуна. Сколько жеребят было в табуне?

14. Геологи проделали путь длиной 2450 км. 10% пути они пролетели на самолете, 60% пути проплыли в лодках, а остальную часть прошли пешком. Сколько километров геологи прошли пешком?

15.Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%  остатка, а третий - 40%  нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

16. Зарплата поднялась на 5 %. Какова была зарплата до поднятия, если её подняли на 65грн.  
17. Ученик читал книгу. Он прочитал 240 страниц и осталось ещё 260 страниц. Сколько процентов книги ученику осталось прочитать и сколько процентов  он уже прочитал? 

18.За 2 дня убрали урожай с 15% поля. За сколько дней будет убрано 75% этого поля при тех же условиях работы?

19. Из 500 икринок погибло 380. Сколько про центов икринок вывелось? 
20. Во всём году каникулы длятся   4 месяца, а остальные учебные дни и выходные, праздники. Каково отношение каникул к учебным дням, выходным и праздникам? Сколько процентов составляют каникулы от всего учебного года? 

21.В 200г. йогурта содержание 5г. жира, 5,8 белка, 31,2г. углеводов, 14г. сахарозы. Найдите процентное содержание ингредиентов в 200г. йогурта. Сколько процентов в нём всего остального? 

22.В 100г. молока содержится 1,5г. жира, 2,8г. белка, 4,7г. углеводов. Сколько этих ингредиентов в  процентах? Во сколько раз углеводов и белков больше жира? 

23. В автобусе 30% всех пассажиров  - мужчины. Сколько мужчин в автобусе, если в нём было 60 пассажиров?
24.В гараже 15% всех машин – автобусы. Сколько автобусов было в гараже, если в нём 80 автомашин?

25.Надоили 150л. молока. Сколько молока осталось, если 20% молока отправили в детский сад.

26.В школьном саду 40 фруктовых деревьев. 30% всех деревьев – яблони, 40% - груши, а остальные – вишни. Сколько вишен в саду?
27.  На покупку ушло   12% всех денег. Сколько всего было денег, если осталось 1120 грн. ?

28.  При плановом задании 50 автомобилей в день завод выпустил  60 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

29.Трава  при  сушке теряет 85% своей массы. Сколько сена получится из 60кг травы.

30.Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?

31. Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

32. На субботник вышли 160 человек. В ремонте дороги участвовали 25% всех людей, а остальные сажали деревья. Сколько человек сажали деревья?

33. Надоили 150 л молока. После того как отправили молоко в детский сад, осталось 80% имевшегося молока. Сколько литров молока отправили в детский сад?

34. На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13%». Сколько весит вермишель, если она хранится при влажности 25%?

35.Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколько масла получается из 10 кг молока.

 

Элементы финансовой математики

 Задачи  с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения) 

1) Одна величина больше ( меньше) другой на р%.

а) Если a больше b на р %, то

a =b +0,01рb= b(1+0,01р%).    а)

б) Если а меньше в на р % , то

a = b– 0,01рв = b( 1-0,01р%).    б)

Объединив а) и б), запишем формулу  в общем виде: увеличили число а на р %, а затем полученное уменьшили на р %

    b= а(1+0,01р) (1-0,01р)   (*)

Задача. В   июле цена на  бензин увеличилась на 10% по сравнению с   июнем. В  августе  она  упала на   20%. На сколько процентов    цена в августе  изменилась  по сравнению с  ценой в июле?

Решение.  Пусть а – цена  на бензин в июне, тогда  в июле цена   равна

в= а (1 +0,01*10) (1-0,01* 20)= 0, 88а, т.е.  в августе  цена отличается от  июльской  на=88%

100%-88% = 12(%), т.е. цена упала на 12 %

Задача. На сколько процентов надо увеличить число 50, чтобы получилось 160?

Решение:

160=50+ 50*0,01р,    160=50 (1+ 0,01р)

1+ 0,01р= 160/50=16/5

0,01р =

Р=       
Задача. Цена товара  снизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов  понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная  цена  была 3000 грн.
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:
1)100%-40%=60%
Второе снижение происходит от новой цены:
2)60%∙0,25=15%
Таким образом, общее снижение цены товара равно:
3)40%+15% = 55%
Цена товара после второго снижения стала равной:
4)100% – 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.
5)3000∙0,45 = 1350 (грн.)   

Ответ: на 55% понизилась ,  стал стоить 1350 грн.

 

Задача   Производительность труда на заводе трижды увеличивалась на одно и то же число процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличилось с 64 до 125 штук. На сколько процентов каждый раз увеличивалась производительность труда?
Решение:  64 (1+)³     число  станков после 3-го увеличения, значит,
                   64(1+)³  =125;     (1+)³  = ;       1+= ;            = ;       Р=25%
Ответ: на 25 % увеличивалась производительность каждый раз.

Задача. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов).   Оклад составляет  2 200  грн.  Какова  сумма к выдаче  ?

A₂= 2200 * (1 -  0,01∙13%) = 2 200 * 0.87 = 1914( грн.)

Задача. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение.     Пусть первоначальная цена товара а, тогда:

а – 0,3а = 0,7а- цена товара после снижения,

 0,7а+0,7а*0,3= 0,91а- новая цена.

1,00-0,91= 0,09  или 9%.

Или, используя формулу (*), получим: в= а(1-0,3)(1+0,3)=0,09     Ответ: цена снизилась на 9%.

 

Задача. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в кон­це года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение.  Пусть х – процент прироста продукции. Тогда после первого

увеличения  выпуск возрастет в (1+х) раз, после второго – во столько же. То есть

600(1+х)(1+х) = 726

1+2х+х²=1,21

х=0,1 , значит, увеличивал на 10%

 

Задачи для самостоятельной  работы

1.Товар стоил  850грн. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

2.Цена входного билета на стадион была  15 грн. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после снижения? 

3.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%? 

4.Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо  уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?  

5. Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

6.Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 20%, а потом понизить на 20%?

7. Товар стоил 140 грн. Сначала его цена повысилась на 20%, а потом снизилась на 25%. Какой стала цена товара после этих изменений?  На сколько процентов изменилась начальная цена товара?

8.Начальный вклад клиента банка составил 25 000 грн. Годовая процентная ставка банка 8%. На сколько рублей будут отличаться вклады через 2 года, если банк начисляет простые проценты и банк начисляет сложные проценты.

9.Температура воздуха за первый день увеличилась на 25%, а за второй день уменьшилась на 40%. Как и на сколько процентов изменилась температура воздуха за эти два дня?

10.За последние три года товарооборот фирмы снижается ежегодно на 20% от товарооборота предыдущего года. На сколько всего процентов снизился её товарооборот за эти три года?

11.Цена товара за первый месяц увеличилась на 20%, а за второй уменьшилась на 10%. Как и на сколько процентов изменилась цена товара за два месяца?

12.Цена костюма была 160 грн. Сначала его цену повысили на 20% , а потом снизили на 10%.Сколько стал стоить костюм? На сколько процентов изменилась начальная цена?

13.В селе 224 дома: 84 двухэтажных, а  остальные — одноэтажные. Сколько процентов всех домов составляют  одноэтажные?

14.Зарплата рабочего была повышена 2 раза за 1 год. При таком повышении рабочий стал получать вместо 1000  грн. за один день 1254,4  грн. Определите, на сколько процентов повысилась зарплата.

15.Флакон шампуня стоит 17 грн. Какое наибольшее число флаконов можно купить на  80 грн.   во время распродажи, когда скидка составляет  15%? 

16. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

17.Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 5%?
 
   Простые и сложные проценты. Банковские расчеты

 

   Работа в банковской сфере, связанной с движением крупных денежных сумм, несет в себе опасность финансовых потерь. От банкира требуется математический склад ума, феноменальная память, быстрая реакция, глубокое знание экономики.

   Само понятие “банк” происходит от итальянского banco - так называлась скамья или столик, за которыми средневековые менялы обменивали деньги. Эта простейшая операция и положила начало банковской деятельности.

   Основной задачей кредитных учреждений является привлечение средств с целью их концентрации и перераспределения в виде кредитов или финансовых ресурсов.

   Процентная ставка банка чрезвычайно важна как с позиций привлечения ресурсов, так и с позиций их размещения, поэтому регулирование процентной ставки осуществляется государством посредством установки учетной ставки центрального банка.

   На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты. Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются наращенной суммой.

Простые проценты – это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности

   В практике финансовых расчетов проценты применяются для определения наращенной суммы. Если деньги «работают», то они должны приносить доход, пропорциональный некоторой ставке. Если доход начисляется только на вложенную сумму, то начисляются простые проценты, и расчет наращенной суммы ведется по формуле:        

  S_n=(1+ ) S₀     (1)                           

где  Sn  - наращенная сумма 

S₀- вложенная сумма

P% - ставка простого процента за год, выраженная в долях  от единицы (1/год);

 n- срок действия кредита (год).

Формула (1)  называется формулой простого процентного прироста. 

Задача Банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна  6 000  грн. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет при начислении банком простых процентов?

Решение: при простом процентном росте через 5 лет сумма составит

S₅=(1+ )∙ 6000=9600 грн

или S₅=(1 + 0,01×12%×5)× 6 000 = 9 600 грн.            Ответ:  9 600  грн;

Задача.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1210 грн. Каков был первоначальный вклад при 10% годовых?

            Решение.  1210= а (1+0,01*10)( 1+0,01*10)

   а=1210:1,21=1000 (грн.)                 Ответ:  1000 грн. 

S₀=             S_{0 =}=1500 грн

Задача. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если вклад 12 000  грн. через 3 года достиг величины 14 160  грн.?

 

Решение: Sn = So ∙ (1 + 0, 01 ∙ p% ∙ n)

S₃= 14160p, So = 12000р%, n = 3 года.

14160 = 12000 ∙ (1+0, 01 ∙ p% ∙3)

14160 = 12000 ∙ (1+0, 03p%)

1 + 0,03р%. = 14160 : 12000

1 + 0,03р. = 1,18 ; р% = 0, 18 : 0, 03 = 6%                                                      

Расчет сложных процентов:

    Сложный процент может использоваться, когда  вкладчик  открывает  срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться, например ежеквартально, либо ежемесячно.

   Сложные проценты – метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга) и на прирост вклада (долга), т.е. сумму процентов, начисленных после первого периода начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов   будет увеличиваться с каждым периодом начисления.

  Суть сложных процентов в том, что происходит начисление процента на процент.

Формула сложных процентов имеет следующий вид:

   Sn=S₀ (1+p%•0,01)ⁿ

Задача. Вы положили 5 000  грн. в банк под 10% годовых. а) Какая сумма будет у вас через 5 лет? 

Sn  = 5 000 * (1 + 10/100)⁵ =  8052,55 грн.

 б) Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили  5 000  грн.  на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Sn  =  5000 * (1+10% •0,01/12)¹² =  5569,59  грн

Прибыль составила:

Sp  =  5569,59 -  5000 =  569,59  грн.

Доходность составила (в процентах годовых):

P% =  569,59 / 5000 =  11,39% %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Задача. В какую сумму обратится через  3  года долг, равный 10 000 грн. при росте по сложной ставке  6%? Чему равны процентные деньги?

 Решение

 S₃= 10 000(1 + 0,01•6%)³ = 10000 • 1,30696 = 13 070 (грн.)

 S_p = 13 070 – 10 000 = 3070( грн.).

Если  вкладчик  не снимает  прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

 

   Формула сложного процента для банковских вкладов

 

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом   начисления процентов. На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:          % =0,01 p% * d / y,

где
p - процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
d - период (количество дней), по итогам которого  начисляются проценты ,
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y - количество дней в календарном году (365 или 366).

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

Sn =  S₀ * (1 +0,01 p%*d/y)ⁿ 

   При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комочек размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный  комок. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна.

   При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):

Sp = Sn -  S₀ = S₀  ∙ ( 1 + P%*d/D/100 ) ⁿ -  S₀  

Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — годовая процентная ставка,
n — число периодов начисления процентов.

d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Задача. Банком принят депозит в сумме 10 000 грн.  сроком на 30 дней по ставке 20%  .

S = 10 000 + 10 000*20*30/365/100 =10164,38 грн.

 Задача. Принят депозит в сумме 10 000 грн. сроком на 90 дней ( 3месяца)  по ставке 20%   годовых с начислением процентов каждые 30 дней. 

Sn = с* (1 +  ( )³  = 105 01,3(грн.)
Sp = 105 01,3 -10 000   = 5 01,3 (грн.)

   Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).

Процентная ставка:   P% = ( Sn /  S₀)^1/n - 1

Количество периодов (месяцев, лет):      n = log(1+%) (Sn / S₀  )

Задача. Сколько потребуется лет, чтобы 5 000  грн. нарастились до 10 000 грн. при процентной ставке  10% ?

              n = log_(1+0,1) (10 000 / 5000) =  7,1лет

Задача. Под какой процент была вложена 1000  грн, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600  грн..

Решение:

Определим доход:

I = S - S₀  = 5600 – 1000=4600  грн.

S - наращенный капитал

S₀  - первоначальный капитал

Теперь определим процентную ставку:

P%=100*4600/(1000*7)=15,71%

Ответ: процентная ставка равна 15,71% годовых.

 

Задача. На какой срок необходимо вложить  3 000 грн при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000  грн.?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой

I= S₀∙P% ∙ n;

где I – доход;

 P% - Процентная ставка;

n – срок в годах.

S₀-вклад

Из формулы получаем, что n    = ,        n    =

   Ответ:  вложить на 7, 41 лет.

Задача.  Вкладчик открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 грн., то через год получил бы 220  грн. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение:

Пусть х  грн. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) грн. было бы на вкладе, если бы он добавил 800 грн.;

0,11(х+800)  грн. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы. Так как доход равен 220 грн., то имеем равенство:

0,11(х+800) = 220.

 х+80= 2000

х=1920 ( грн.)

Задача. Покупатель приобрел в кредит набор мебели стоимостью 4000   грн. Уплатив в момент покупки 1500 грн., он обязуется уплатить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он будет выплачивать ежемесячно, если продавец требует за кредит 6% простых в год?

 S=4000• (1+0,06• )=  4120 грн

4120 грн - 1500грн =2620 грн

 g== 436,7грн

Задачи для самостоятельной  работы

1.Банк выплачивает вкладчикам каждый год 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад 250  грн. Какая сумма будет на его счете: а) через 3 года; б) через 8 лет? (При условии, что в течение указанного времени клиент не совершал никаких операций по вкладу.)

2.Какую сумму следует заплатить, если платеж 8000 рублей просрочен, и пеня (штраф, начисляющийся за неуплату в срок) составляет 2% от суммы платежа за каждый день просрочки. При этом оплата задерживается а) на 6 дней; б) на 30 дней; в) на год.

3.Вкладчик открыл в банке счёт и положил на него  3 000  грн. сроком на 5 лет под простые проценты по ставке 19% в год. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 5 лет?

4.Банк выплачивает вкладчикам каждый год 10% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 800 грн. Какая сумма будет на его счете через а) 4года; б) 9 лет; в) 12 лет; г) 25 лет?

5.Пусть вкладчик открыл счёт в банке и положил на него  70 000 грн. Под простые проценты по ставке  8% годовых. Какая сумма окажется на счёте через: а) 1 месяц; б) 9 месяцев

6.Какая сумма будет на срочном счете вкладчика, если банк начисляет сложные проценты (иначе говоря «проценты на проценты»), внесённая сумма равна 2 000  грн.  и положена она под 10% годовых сроком на  3 года? 

7. Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет  2 000  грн. превратились в  5000    грн?

8.Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.

9.Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

10 .Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S5=94500 . На сколько грн,  вырос вклад за 5 лет?

11.Найдите первоначальную сумму вклада (в грн), если через  3года она выросла на 765,1 грн . при 2% годовых

12.Рассчитать, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000  грн.  на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

13.Начальный вклад клиента банка составил 10 000 грн. Годовая процентная ставка банка 10%. На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года, если банк начисляет простые проценты и банк начисляет сложные проценты.

14.Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 2000  грн. Какая сумма будет на его счете через  4 года?

15.Какая сумма была вложена в банк, выплачивающий 8% простых в год, если через 2 года и 8 мес. на счете стало 1820  грн.

Проценты в химии

Процентное содержание. Процентный раствор

   Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

   Во-первых, все сплавы и смеси однородны, если объем смеси равен V₀, а объем веществ содержащихся в нем равен V₁ и V₂ то тогда V₀ = V₁ + V₂.

V₁ / V₀ – процентное содержания вещества в смеси,

V₂ /V ₀ – процентное содержания второго вещества в смеси.

 d₁ и d₂ удельный вес компонентов в смеси.

 Вес смеси обозначим q и будем находить его по формуле: q = V₁ * d₁ + V₂ * d₂ 

Задача. Рассчитать, сколько % каждого простого вещества находится в веществе - CaSO₄ - гипс.
По таблице Менделеева   находим общую относительную молекулярную массу CaSO₄: 

M (CaSO₄) = 40 + 32 +16x4 = 136 г/моль

Теперь рассчитываем долю каждого элемента в отдельности:
40:136 =0,29 (29%)
32:136 = 0,24 (24%)
Процентное содержание кислорода находим как оставшуюся часть задачи: (100%-29%-24% = 47%). 

Задача. В лаборатории имеются растворы с массовой долей хлорида натрия 10% и 20%. Какую массу каждого раствора надо взять для получения раствора с массовой долей соли 12% массой 300г.   ( Решим с помощью математической модели.)          

Пусть х г  масса первого раствора, тогда 0,1х масса соли  в первом растворе.

Т.к. общая масса 300г, то 300-х г масса второго раствора. Тогда 0,2(300-х)г масса соли второго раствора. 0,12∙300г масса соли получившегося раствора. Составим уравнение: 0,1х+0,2(300-х)= 0,12∙300.

0,1х+60-0,2х=36;

-0,1х=-24;

Х=240.

240г масса первого раствора, 300-240=60г масса второго раствора.

Задача.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение.        10 ^. 0,15 = 1,5 (кг) соли.                  Ответ: 1,5 кг.

Задача. Сплав содержит 8 кг олова и 12 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение 1)8+ 12 = 20 (кг) - сплав;

     2)  ^. 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

     3) ^. 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
     Ответ: 40%, 60%.

Задача: Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 тонн стали с содержанием никеля 25%?

   Пусть Х(т) – лом первого сорта, а У(т) – лом второго сорта. Тогда никеля содержится в первом сорте 0,1(т). Второй сорт содержит 30% никеля, значит его( 0,3 ∙У)т. Сталь содержит 25% никеля, значит его в ней 0,25  ∙200=50

Решим систему:

Х+У=200

0,1Х+0,3У=50

У=200-Х

Х+3(200-Х)=500

2Х=100

У=200-Х 

Х=50

У=150

У-Х=150-50=100(т)                  Ответ: на 100 тонн.

   Концентрация.
Концентрация раствора – это процент, который составляет масса вещества в растворе от массы раствора. 

Задача . В 200г. воды растворили 50г. соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение. 

1)50 + 200 = 250 (г.) – масса полученного раствора.

2)(50 / 250) * 100 = 50 * 100 / 250 = 20 (%).   Ответ: концентрация раствора равна 20%.

Задача. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%.  Сколько  чистого серебра в сплаве?

Решение. 300^•0,87 = 261 (г).

Задача.  К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

 Решение.

 Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 ^. (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 ^. 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли, т.е. уравнение:

1,5 + 0,05х = 0,08 ^. (15 + х);
х = 10     Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора.

 

 Задача. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10%-ный раствор этого же вещества и получил 75 мл 8%-ого раствора. Сколько миллилитров 4%-го раствора и сколько 10%-го раствора взято?

Решение:

Обозначив через x и y количества 4%-го и 10%-го растворов, запишем первое уравнение системы: x + y = 75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%-ом, 10%-ном и в получившемся растворах: 0,04x + 0,1y =0,08(x + y).

Решим  систему уравнений

x + y = 75

 0,04x + 0,1y =0,08(x + y) получаем х=25, y= 50.  Ответ: 25мл, 50мл.

3адача.Водный раствор серной кислоты массой 40 г содержит 40% кислоты. В него ежесекундно падает капля воды весом 1г. Через сколько секунд содержание кислоты уменьшится до 10%?
Решение.
1) 40% – серной кислоты, тогда 60% воды, содержит 40г раствора.
10% – серной кислоты, тогда Х% воды во втором растворе. Это обратно пропорциональная зависимость. Составим пропорцию:
40 : 10 = х : 60,
х = 240(%)    240 % составляет вода во втором растворе.
2) 40г – 100%,
      х г – 60%, тогда х = 24(г)          24 г воды в первом растворе.
3) В 40% растворе содержится 24 г воды,
     в 240% растворе содержится хг воды, составим пропорцию:
  40% – 24г,
  240% – х г   

 С уменьшением концентрации серной кислоты во втором растворе, увеличивается количество воды в этом растворе, следовательно, зависимость обратно пропорциональная.

=
Х = 240:40*24,
Х = 144,                         144 г воды во втором растворе.
4) 144 - 24 = 120 г воды добавилось во второй раствор, следовательно, потрачено 120 секунд.
Ответ: 120 секунд

Задача. Взяли 120 г раствора, содержащего 80% соли, смешали с 480 г раствора, содержащего 20% соли. Получили новый раствор. Найти процентное содержание соли полученного раствора.
Решение:

0,8  * 120 =   96(г)

0,2  * 480= 96 (г)

(96+96):( 480+120)= 192:600*100=32%,содержание соли в полученном растворе.
Ответ: 32%.

Задача. Сколько граммов 75%-го раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-го раствора этой же кислоты, чтобы получить 50%-й раствор?

х г – количество 75%-го раствора кислоты, которое надо добавить;

(30+х) г – масса получившегося 50%-го раствора кислоты;

0,75х г – количество кислоты в х г 75%-го раствора;

0,15·30 г – количество кислоты в 30 г 15%-го раствора;

0,5(30+х) г – количество кислоты в 50%-м растворе.

Имеем уравнение:

Кол-во кислоты Кол-во кислоты Кол-во кислоты

в 75%-м растворе в 15%-м растворе в 50%-м растворе

 0,75 х + 0,15·30 = 0,5(30+х)

0,25х=10,5

 х=42,                значит надо добавить 42 г 75% раствора

Задача. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л чистой кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?

Решение.

        Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х) л кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты  , то   в этом растворе было х(54-х)/54 чистой кислоты. То есть

                 х+х =54 - 24

              54х +54х-х² =54 _∙30

               х² – 108х + 1620 = 0

                   х₁=90-не удовлетворяет условию задачи

                   х₂= 18

Следовательно, в первый раз вылили 18л кислоты, во второй раз – 12л.

 

Задачи для самостоятельной  работы

 1..Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?

2.Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

3.В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15%-ный раствор?

4.В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

5.Смешали 3 кг молока жирностью 6% и 2 кг молока жирностью 3,5%. Определите жирность молока в полученной смеси. (Жирность молока – это отношение массы жира, содержащегося в молоке, к массе самого молока, выраженное в процентах.)

6.Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор?

7.Морская вода содержит 8% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы получился раствор, содержащий 5% соли.

8.При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

9.5л  сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

10.В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного раствора?   

11.Сколько соли надо растворить в воде, чтобы получить 400 г 5% раствора соли? 

12.Сколько граммов йода содержится в 400 г 3% раствора? (Ответ: 12 г)

Задачи  ГИА 2013г

 

Вариант 1 №2.3   Вкладчик положил в банк 20 000 грн.  под 15% годовых. Сколько процентных денег будет иметь вкладчик  через 2 года.

Решение. По формуле сложных процентов Sn=S₀(1+)ⁿ =20 000∙ 1,15²   =26450 грн.

26450-20 000=6450 грн.

 

Вариант 25 №3.1

Сколько граммов 3% и сколько граммов 8  % растворов соли надо взять , чтобы получить 260 г 5% раствора соли.

Решение

Пусть 3% р-ра нужно взять х г, тогда соли в нем – 0.03 Х г. 8% р-ра нужно взять (260-Х)г. А соли в нем будет 0,08(260-Х)г.

Уравнение0,03Х+0,08(260-Х)=0.05∙260

0,03Х+20,8-0,08Х=13

0,05Х=7,8;   Х=156 , значит,3%р-ра нужно взять 156 г, а 8% нужно  260-156=104 (г)

 

Вариант 48 № 3.1

Сплав меди и цинка, который содержит 2 кг меди ,сплавили с 6 кг меди. Получили сплав, в котором процент меди на 30 % больше, чем в начальном. Какой была масса начального сплава?   

   Пусть масса первоначального сплава была х кг. Тогда меди в нем . Поскольку к сплаву добавили 6 кг меди, то ее в сплаве стало 2+6=8 (кг), а общая масса нового сплава стала  (х+6) кг. Содержание меди в новом сплаве .  Значит,

- = ;              =0        =0

 х=4;. х=10                                    Ответ: 4 кг или 10 кг

 

Проценты в повседневной жизни.  Практические задания для самостоятельной  работы

1.Бабушке прибавили пенсию. В СМИ говорилось, что пенсия поднимется на 10%.Соответствует ли это действительности. Первоначально пенсия бабушки была 600  грн. Прибавка составила 60грн

2. Для засолки огурцов был нужен 9% раствор уксусной кислоты, в наличии был 70% р -р. Сколько надо добавить воды в 20г . 70% раствора, что бы получить 9% раствор?

3.На покупку зимней обуви родители выделили  дочери   1000  грн. В магазине мне понравились  сапоги  стоимостью   1100  грн. На них была скидка  15%., Хватит ли     денег купить их?

4.За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?

5. Проезд на автобусе стоит35грн. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку  5%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?  

6. Куртка стоит 2000 грн. Во время  весенних скидок цену куртки снизили на 20%. Осенью цену на куртку повысили на 20%. Какой стала цена после этих двух изменений?

7.Предприниматель взял ссуду на 4 недели под 40%. Эти деньги он вложил в свое предприятие, которое приносит еженедельную прибыль 34%. Сможет ли он, увеличивая каждую неделю вложение в свое предприятие за счет набежавших процентов, погасить ссуду в срок? 

 

8.Профсоюзный фонд – 15%;

Пенсионный фонд – 1%;

фонд социального страхования –1,9%;

фонд соц. страхования от несчастных случаев – 0,6%

фонд   медицинского страхования - 1,2%. Зарплата 3182грн.

Учитывая все отчисления, найдите сумму причитающейся  зарплаты.

9.Благотворительный фонд установил именную стипендию. Лучшие студенты в течение пяти лет будут получать ежемесячно по 100 долларов США. Определить затраты фонда, если годовая ставка 15 %, а стипендии планируется выдавать начиная со 2 курса.

10.Банк решил установить заслуженному сотруднику пенсию в размере 5000  грн. в месяц. Определить затраты банка, если годовая ставка 12%.

11.Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 грн. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 2% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две недели? 

Здоровье сберегающие задачи на проценты

   Человек – высшее творение природы. Но для того чтобы наслаждаться ее сокровищами, он должен отвечать, по крайней мере, одному требованию: быть здоровым.

   Многочисленные наблюдения и исследования доказывают, что здоровье человека на 20% зависит от наследственных факторов, еще на 20% – от экологической обстановки вокруг него, всего на 8% – от медицины и порядка 50% нашего самочувствия определяется образом жизни.  Примерно 75% болезней взрослых заработаны в детские годы, когда перестают дружить со спортом, приобретают вредные привычки. За здоровье надо активно бороться. 

1.Дым от одной сигареты содержит 5 мг никотина. Сколько яда примет человек за один день, выкурив 20 сигарет, если от каждой из них в его организм попадает никотина?

2.Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите количество больных, если в исследовании приняло участие 900 курящих человек.

3.Каждая выкуренная сигарета сокращает жизнь курильщика. В общем, курящие сокращают себе жизнь на 15%, что составляет 8,4 года. Какова средняя продолжительность жизни в России?

4.Норма суточной потребности учащихся в различных витаминах составляет в среднем 125 мг. Одна выкуренная сигарета уничтожает 20% витаминов. Сколько мг витаминов ворует у себя тот, кто курит?

5.Исследователи установили, что до 15 % рабочего времени уходит на курение. Рабочий день длится 8 ч. Сколько рабочего времени теряется из-за курения?

6.Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите количество больных в отдельном микрорайоне, если там курят 500 человек

7.В табачном дыме одной сигареты содержится много ядовитых веществ, разрушающих организм. Определите процент содержания самых ядовитых веществ – синильной кислоты, табачного дегтя – в одной сигарете, если никотина 2%, а синильная кислота составляет ? часть никотина; табачного дегтя в 7,5 раз больше, чем никотина.

8.До 15% рабочего времени уходит на курение. Рабочий день длится 8 часов. Сколько рабочего времени теряется из-за курения?

9.Салат из одуванчиков имеет массу 640г. Узнайте массу каждого компонента, если петрушки в 3 раза больше, чем масла, а масса зеленого лука составляет 60% массы одуванчика, который легче петрушки в 2 раза.

10. Суммарный выброс в атмосферу вредных веществ по  городу в 2001 году составил 235,2 тыс. тонн, причем, в том числе, твердых веществ – 14,7 тыс. тонн. Какая часть твердых веществ выбрасывается в атмосферу, выразите в процентах.

11.Для наблюдения за состоянием атмосферы метеорологи иногда поднимаются на воздушном шаре. Сколько квадратных метров материала пойдет на изготовление оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если на швы надо добавить 5 % поверхности шара?

Творческие задачи
1. Курсы доллара и евро в течении недели менялись следующим образом:
                    Доллар    Евро                  Доллар    Евро
Понедельник   40       25   Четверг      45         30
Вторник           45      28   Пятница     40         25
Среда                50      25   Суббота      45         30

На сколько процентов максимально можно было увеличить за эту неделю капитал, играя на изменении курса этих валют?  Начальный капитал был в  гривнах. Конечный – тоже должен быть в  гривнах. В течении недели можно имеющиеся деньги как угодно распределять в  гривны, доллары и евро. Курсы продажи и покупки считаются одинаковыми.
2.В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных  ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну партию  и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

 

 

 

Заключение.

   Целью данной работы являлась  разработка соответствующих методических рекомендаций к решению задач по изучению темы «Проценты». 

   Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач  по данной теме  у учащихся 5-11 классов, может быть   полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам и преподавателям  математики.

   Учащиеся узнают,   для чего нужны проценты в  нашей  жизни. Кроме того они   лучше будут  понимать    новостные программы, газетные статьи, рекламные издания,   и многое другое.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Учащиеся  должны  свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью,   просчитывать различные предложения магазинов, кредитных отделов ,  различных банков, и выбрать наиболее выгодные.

   .Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни.   Умение понимать и выполнять процентные расчёты, в настоящее время необходимы каждому человеку.

 

 

 

 

 

 

 

 

Информационные ресурсы

1.Г.В. Дорофеев. и др. Изучение процентов в основной школе .

2.А.Г. Мерзляк. Сборник. Математика 6 класс Харьков,2006г

3.А. Г. Мерзляк. Алгебра 9 класс. Харьков,» Гимназия»,2009г

4.А.Г. Мерзляк. Алгебраический тренажер. Харьков,» Гимназия»,2009г

5.ДПА. Сборник для ГИА по математике, 9 класс . Киев,2013г.

6.А.С.Симонов. Экономика на уроках математики.-М.: Школа-Пресс, 1999.

7.3000 конкурсных задач по математике.-М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

8.http://www.1september.ru/

9.http://www.edu.ru/

10.http://www.Wikipedia.org

11.http://www.egesdam.ru/page230.html

.