Урок - практикум для 10 класу. Найбільше та найменше значення функції.

Про матеріал
Урок - практикум для 10 класу. Найбільше та найменше значення функції. Мета уроку:сформувати в учнів уявлення про найбільше і найменше значення функції; вивести алгоритм знаходження їх на даному проміжку. Формувати вміння застосовувати виведений алгоритм до знаходження максимального та мінімального значення функції на проміжку.
Перегляд файлу

Тема:  Найбільше та найменша значення функції.

Мета заняття :

              сформувати в учнів уявлення про найбільше і найменше значення функції; вивести алгоритм знаходження їх на даному проміжку. Формувати вміння застосовувати виведений алгоритм до знаходження максимального та мінімального значення функції на проміжку. Розвивати комунікативні здібності, увагу, уміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку. Виховувати працелюбність, інтерес до предмету.

Методи: репродуктивні, пояснювально – ілюстративні, практичне виконання вправ, бесіда

Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби: таблиця, дидактичні матеріали

Література:

1) Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів/   М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук;.  – К.: Зодіак – ЕКО, 2003. -  272 с.

2) О.С.Істер«Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри і початків аналізу для 11 класу». –Харків, Гімназія», 2001

 

           Структура заняття                                                                Відведений час

1. Організаційна частина: контроль відвідування                                              3 хв

2.Повідомлення теми, формування мети та                                                   2 хв

основних завдань

3. Актуалізація питань  (питання контролю):                                              10 хв 

  • Опитування теоретичного блоку з використанням технології «Незакінчене речення».
    1. Похідною функції в точці називають…
    2. Геометричний зміст похідної полягає в тому, що…
    3. Механічний зміст похідної полягає в тому, що…
    4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд…
    5. Щоб знайти похідну складеної функції потрібно похідну…
    6. Критичні точки – це точки у яких…
    7. Точки екстремуму – це точки…
    8. Точка максимуму – це точка у якій похідна…
    9. Точка мінімуму – це точка, у якій похідна…
    10. Похідну добутку шукають за формулою…
    11. Похідну частки шукають за формулою…
  • Усне знаходження похідних деяких простих функцій:

4.Контроль вихідного рівня знань студентів:                                            10 хв

Повторення основних схем дослідження:

  • На монотонність;
  • На точки екстремуму;
  • На екстремум;
  • На найбільше та найменше значення функції.

5. Інструктаж вступний .

6.Формування умінь і навичок. Перелік практичних                               50 хв

 завдань.   

  • Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку:

        Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = x + e-x на відрізку [-1; 2].

Розв'язання

Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 2:

f(-1) = -1 + el  = e l,  f(2) = 2 е -2 = 2   .

Знайдемо f’(x): f'(x) = (x + е-x)1 = 1 - е-x. Знайдемо стаціонарні точки:

f'(x) = 0;  1 - е-x = 0; 1 - = 0; еx = 1; x = 0.

Знайдемо значення функції в точці x = 0: f(0) = 0 +е°= 1.

Із чисел е - 1 1,72, 2 - 1,86 та 1 найбільшим є 2 - , а   найменшим -1.

Відповідь: fнайб. = f(2) =2 - ; fнайм. = f(0) = 1

  • При розв'язуванні деяких задач потрібно знаходити найбіль­ше або найменше значення функції не на відрізку, а на інтервалі.

 

 

 

 

 

В практичних задачах функція f(x) має на заданому інтервалі тільки одну стаціонарну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція f(x) при­ймає найбільше значення (рис. 59), а в точці мінімуму — най­менше значення на даному інтервалі (рис. 60).

  • Знайдіть найменше значення функції у = х+, де х є (0; 10).

Розв'язання

Знайдемо похідну у =1 = . Стаціонарні точки x1= 6, х2 = -6. На інтервалі (0; 10) є тільки одна стаціонарна точка x = 6. При переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+» , і тому x = 6 — точка мінімуму. Отже, f найм. = f(6) =12.

 

Відповідь: f найм. = f(6) =12.

  • Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції часто використовують при розв'язуванні прикладних задач. При цьому керуються такою схемою:

1) задачу «переводять» на мову функцій. Для цього вибирають зручний параметр х, через який виражають як функцію у = f(x) величину, яка нас цікавить;

2) засобами аналізу знаходять найбільше чи найменше значен­ня цієї функції на деякому проміжку;

3) з'ясовують, який практичний зміст (у межах даної задачі) має отриманий (на мові функцій) результат.

Задача 1. Число 20 запишіть у вигляді суми двох невід'ємних доданків так, щоб добуток їхніх квадратів був найбільшим.

Розв'язання

Нехай перший доданок дорівнює х, тоді другий доданок дорівнює 20 – х, причому х є [0; 20].

Добуток квадратів цих доданків дорівнює (20 – х)2 · х2. Отже, задача зводиться до знаходження такого х, при якому функція f(x) = (20 - х)2 · х2 набуває найбільшого значення на відрізку [0; 20].

Знайдемо похідну f'(x) = 2(20 - х) · (20 - х)' х2 + (20 - х)2 · 2х = -2x2(20 - х) +   + (20 - х)2 · 2х = 2х(20 - х)(20 2х).

Стаціонарними точками функції є точки 0; 20; 10. Тоді

f(0) = (20 – 0)2 · 02 = 0;     f(l0) = (20 - 10)2 · 102 == 10 000; 

f(20) = (20 - 20)2 · 202 = 0.

Отже, fнайб. = f(10) = 10 000. Таким чином, число 20 слід подати у вигляді  20 = 10 + 10.

Відповідь: 20 = 10 + 10.

Задача 2. Серед прямокутників, що мають периметр 20 см, знайти той, діагональ якого найменша.

Розв'язання

Нехай довжина однієї із сторін шуканого прямокутника х см, тоді друга сторона дорівнює (10 - х) см, де 0 < х < 10. Тоді (рис. 61) діагональ у прямокутника виражаєть­ся формулою у ==. Знайдемо стаціонарні точки:

у' =   · (100 - 20х + 2)' = ; y’ = 0; 2x – 10 = 0;

 х= 5.

Якщо 0 < х < 5, то y' < 0, тобто функція спадає, якщо 5 < х < 10, то у' > 0, і функція зростає. Отже, найменше значення функції у = на інтервалі (0; 10) дорівнює yнайм = y(5) = = 5.

Таким чином, найменшу діагональ 5см матиме квадрат зі стороною 5 см. Відповідь: квадрат зі стороною 5 см.

Розв'язування вправ

1. Число 36 записати у вигляді добутку двох додатних чисел, сума яких найменша.

Відповідь: 36 = 6 · 6.

2. Парканом довжиною 80 м треба огородити прямокутну ділян­ку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

Відповідь: 20 х 20 м.

3. Із усіх прямокутників, площа яких дорівнює 9 см2, знайдіть прямокутник з найменшим периметром.

Відповідь: квадрат зі стороною 3 см.

7. Поточний контроль виконання роботи                                                       2 хв

Виставлення оцінок за роботу на занятті. Усно:

- алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення на проміжку

- Рефлексія «Я знаю.... Я вмію..... Мені важко...»

8.Інструктаж заключний

9. Видача завдань для самостійної роботи:                                                  3 хв

Розд. III. ,§.18, впр. 50(1_3),стр.106

 

 

 

 

1

 

doc
Додано
24 жовтня
Переглядів
49
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку