Урок 4. Теореми про подільність суми, різниці і добутку.

Теореми про подільність суми, різниці і добутку:

Теорема 1:  Якщо кожен із доданків ділиться на задане число, то й сума

ділиться на це число.

Теорема 2:  Якщо зменшуване і від’ємник діляться на дане число, то й

різниця ділиться на це число.

Теорема 3: Якщо у добутку кількох чисел хоч один із множників

ділиться на задане число, то й добуток ділиться на це

чТеорема 1:  Якщо кожен із доданків ділиться на задане число, то й сума

ділиться на це число.

Наприклад: Розгляньмо суму чисел 12 і 21, тобто (12+21).

У цій сумі кожен із доданків ділиться на 3. Перевіряючи подільність суми на 3, отримаємо, що сума 33 теж ділиться на 3.

Приклад 1: Перевірити чи сума чисел ділиться на 3:

1) (15+18);

2) (12+22).

Розв'язання:

1) 15 ділиться націло на 3, та 18 ділиться на 3, тоді (15+18) ділиться на 3.

2)12 ділиться націло на 3, а 22 не ділиться на 3, тоді (12+22) не ділиться на 3.

Приклад 2: Зазначте натуральне число х, таке, щоб сума (26+х) ділилась на 2 :

1) 53;      2) 45;      3) 42;      4) 67.

Розв'язання:

1) (26+53) не ділиться на 2, тому, що 53 не ділиться на 2.

2) (26+45) не ділиться на 2, тому, що 45 не ділиться на 2.

3) (26+42) ділиться на 2, тому, що і 26 і 42 ділиться на 2.

4) (26+ 67) не ділиться на 2, тому що 67 не ділиться на 2.

Приклад 3: У Андрія було 4 груші, мама дала йому ще 16 груш. Чи зможе Андрій роздати порівну груші своїм чотирьом друзям?

Розв'язання:

(4+16)- всього груш у Андрія

4 ділиться на 4 та 16 ділиться на 4. Отже, Андрій зможе роздати груші порівну своїм друзям.

Теорема 2:  Якщо зменшуване і від’ємник діляться на дане число, то й

різниця ділиться на це число.

Наприклад: Розглянемо різницю чисел 45 та 27, тобто (45-27).

У цій різниці і зменшуване і від'ємник діляться на 9, значить і різниця ділиться на 9.

Приклад 1: Перевірити чи різниця чисел ділиться на 5:

1) (46-45);

2) (90-105).

Розв'язання:

1) 46 не ділиться націло на 5, отже різниця не ділиться на 5;

2) 90 ділиться націло на 5, та 105 ділиться націло на 5, отже різниця ділиться на 5.

Приклад 2: Зазначте натуральне число х, таке, щоб різниця (х-36) ділилась на 6:

1) 126;      2) 45;      3) 112;      4) 64. 

Розв'язання:

1) (126-36) ділиться націло на 6, бо 126 ділиться націло на 6, та 36 також ділиться націло на 6.

2) (45-36) не ділиться націло на 6, бо 45 не ділиться націло на 6.

3) (112-36) не ділиться націло на 6, бо 112 не ділиться націло на 6.

4) ( 64-36) не ділиться націло на 6, бо 64 не ділиться націло на 6.

Приклад 3: Вчитель задав учням 44 вправи, на уроці встигли зробити 12 вправ з цього списку. Чи встигнуть учні зробити вправи, що залишилися за 4 дні, якщо робитимуть однакову кількість завдань кожного дня.

Розв'язання:

(44-12)ділиться на 4, тому що і 44 і 12 ділиться націло на 4. Отже, учні встигнуть зробити завдання.

Теорема 3: Якщо у добутку кількох чисел хоч один із множників

ділиться на задане число, то й добуток ділиться на це

число.

Наприклад: Розгляньмо добуток чисел 24⋅73=1752.

Один із множників у цьому добутку ділиться на 3, тобто 24:3=8.

Можна переконатися, що й весь добуток ділиться на 3, тобто 1752:3=584.

Приклад 1: Вказати який з добутків чисел ділиться націло на 5:

1) 45⋅224;      2)22⋅68;      3) 226⋅668;      4) 779⋅669.  

 Розв'язання:

1) Ділиться націло на 5, тому, що 45 ділиться націло на 5.

2) Не ділиться націло на 5, тому, що ні 22, ні 68 не ділиться націло на 5.

3) Не ділиться націло на 5, тому, що ні 226, ні 668 не ділиться націло на 5.

4) Не ділиться націло на 5, тому, що ні 779, ні 669 не ділиться націло на 5.

Приклад 2: З’єднати добутки та числа, яким вони кратні:

1) 22⋅13;                             а) кратне числам 2 та 3;

2) 12⋅33⋅7;                          б) кратне числам 2 та 5;

3) 55⋅5⋅45;                          в) кратне тільки числу 2;

4) 50⋅5;                               г) кратне тільки числу 5.

Розв'язання:

1) Кратне тільки числу 2, тому, що 22 ділиться націло на 2, а 13 не ділиться націло ні на 3, ні на 5.

2) Кратне числам 2 та 3, тому, що 12 ділиться націло на 2, 33 ділиться націло на 3, а 7 не ділиться націло на 5.

3) Кратне тільки числу 5, тому, що і 55 і 5 і 45 ділиться націло на 5.

4) Кратне числу 2 та 5, тому, що 50 ділиться націло і на 2 і на 5, а 5 ділиться націло на 5.