Урок алгебри у 8 класі з теми "Квадратні рівняння".

Вчитель: Нестеренко Наталія Олександрівна

Мета: формувати в учнів уміння і навички розв’язувати квадратні  рівняння, використовувати вивчені формули для розв'язування рівнянь Розвивати логічне мислення, виховувати доброзичливість  та відповідальність. Формувати інформаційну, комунікативну компетентності та компетенції саморозвитку, самоосвіти і продуктивної творчої діяльності. Виховувати інтерес до історії математики.

Обладнання: підручник, портрети  вчених (Мухаммеда  аль Хорезмі, Евкліда, Франсуа Вієта, Омара Хайяма, Рене Декарда), реферати учнів про цих вчених, картки з записаними на  них  різними  видами  рівнянь, вислови про математику.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань.

Девіз уроку:     Щоб з рівняннями дружити, потрібно формули,

                           теореми і властивості вчити.

Епіграф:  Недостатньо лише мати добрий розум.

                   Головне – раціонально застосовувати його.

                                                                             Рене Декарт

Хід уроку

І. Оргмомент.

 Повідомлення  теми, мети, та девізу  уроку.

Клас вже поділений на дві команди. Кожна команда готувала повідомлення до уроку. Всі  завдання подані в варіантах, окремо для кожної команди.

ІІ. Активізація опорних знань учнів.

1 тур. Кожне завдання оцінюється в 1 бал (команди відповідають по черзі та набирають відповідні бали).

Фронтальне опитування.

1. Що  називається  рівнянням?
2. Що  називається  коренями  або  розв’язками  рівняння?
3. Що  значить  розв’язати  рівняння?
4. Яке рівняння називають квадратним?
5. Як називають коефіцієнти квадратного рівняння ах²+bх+с=0?
6. Яке квадратне рівняння  називається зведеним?
7. Яке квадратне рівняння називається неповним?
8.  Які існують види неповних рівнянь?
9. Скільки коренів може мати рівняння кожного виду?
10. Який вираз називається  дискримінантом квадратного рівняння?
11.  Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від знака

дискримінанта?

12. Сформулюйте теорему Вієта.

13. Сформулюйте наслідок з теореми Вієта.

14. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта.

В цей час біля дошки два  учні  з різних команд самостійно виконують завдання.

2х²-3x=0                                                 3х² +5x=0

х²-10=0                                                   х²-7=0  

ІІІ. Історична  сторінка.

Першим  описав  способи  розв’язування лінійних  рівнянь, схожі на  ті, якими  ми  користуємося  зараз, Мухаммед аль-Хорезмі у  трактаті „Кітаб ал- джебр ал-Мукабала” в ІХ столітті.

(Повідомлення  учнів на  цю  тему).

Способи  розв’язування  квадратних  рівнянь  зустрічаються  ще  в ІІІ ст.. до  н.е. в праці  старогрецького математика  Евкліда „Начала”. (Повідомлення  учнів на  цю  тему).

Але  праці  давньогрецьких  математиків  були  дуже  громіздкими  і  незручними, тому  що  всі  математичні  перетворення  подавалися  не за  допомогою  символів, а за допомогою  слів.

Велика  заслуга  в  створенні  алгебраїчної  символіки і  вдосконалення  теорії  розв’язування  квадратних рівнянь французького математика Франсуа Вієта.

(Повідомлення  учнів на  цю  тему).

Але  для  математиків  важливо  було  навчитися  розв’язувати  кубічні  рівняння – адже  куби  -  це  об’єми, а  їх  потрібно  вміти обчислювати.

Першим, хто  поставив  це  запитання  і  дав  відповідь  на  нього, був  видатний  перський  поет Омар  Хайям. Рядками  своїх  віршів  Омар  Хайям  дає  мудрі  поради  на  різні  життєві  ситуації.

(Повідомлення  учнів на  цю  тему).                                                                                                      

2 тур. Команди виконують завдання на картках контролю теоретичних знань

Варіант 1.

1. Квадратним рівнянням називають рівняння виду ___________________

2. Якщо перший коефіцієнт квадратного рівняння дорівнює 1,   то _________________________________

3. Дискримінант квадратного рівняння ах²+bх+с=0  – це вираз  _________________________

4. Якщо D=0, то квадратне рівняння ах²+bх+с=0

має______________________

 х=__________________________________________________

5. Формула коренів квадратного рівняння ах²+bх+с=0 має вигляд

х_1,2 =______________________ 

D=________________________

6. Якщо х₁  і х₂  - корені  квадратного рівняння ах²+bх+с=0, то (теорема

Вієта):______________________________________________________

7. У рівнянні х²+6х+5=0: 

х₁ ∙х₂  =______________________________

 х₁  + х₂ =____________________________

х₁  =________________________________

х₂ =  ________________________________

Варіант 2.

1. Коефіцієнтами  квадратного рівняння ах²+bх+с=0

називають___________________________________________________

2. Неповними квадратними  рівняннями називаються

____________________________________________________________

3. Якщо D>0, то квадратне рівняння ах²+bх+с=0 має ________________ ,

х₁ =__________________________ , 

х₂  =__________________________ 

4. Якщо D<0,то квадратне рівняння ах²+bх+с=0, ____________________ 

5. Запишіть алгоритм розв’язання квадратного рівняння ах²+bх+с=0: 

____________________________________________________________

____________________________________________________________

6. Якщо  х₁  і х₂   – корені зведеного квадратного рівняння х²+pх+q=0, то  (теорема Вієта):  _____________________________________________

7. У рівнянні  х²+8х+7=0:

 х₁ ∙х₂  =_____________________________

 х₁  + х₂ =____________________________

х₁  =________________________________

х₂ =  ________________________________

Взаємоперевірка. Виставлення  балів.

Фізхвинка

Намалюй рукой трикутник,

А другою – ще квадрат,

Обведи очима коло,

Повтори увесь цей ряд.

Руки став ти паралельно,

Присідаєм раз, два, три

І думки свої  в порядок

Як потрібно приведи.

3 тур.  Заповніть таблицю

Варіант 1

Варіант 2

 3 тур. Розв'язати рівняння (одночасно працюють по 2 учні з команди).

х² -4x+4=0                                               х² +6x+9=0                                              

2х²+4x-1=0                                              3х²- 6x+2=0 

 4 тур. Розв'язування старовинних задач.

Давньоіндійська задача

На дві партії розбившись,

В лісі веселились мавпи.

Частка восьма їх в квадраті

На галявині скакала.

Ґвалтом радісним дванадцять

Навкруги все звеселяла.

Разом скільки – хочу знати –

Усього там мавп стрибало?

Задача з підручника «Вступ до алгебри» Ейлера

 Дві селянки принесли на ринок  разом 100 яєць; одна принесла більше, ніж друга. Обидві виручили однакові суми. Перша сказала тоді другій: «Були б у мене твої яйця, я виручила б 15 крейцерів». Друга відповіла: «А будь твої яйця у мене, я виручила б за них 6 ²/₃ крейцерів». Скільки яєць було у кожної жінки?                                                                    
 

Учні обмінюються  виконаними старовиними задачами, пояснюють їх.

VI. Підсумок  уроку.

Ми  узагальнили  знання  про  квадратні  рівняння  і  ще  раз  переконалися, що  математика, як  і  будь-яка  інша  наука,  не  розвивається  сама, всі  відкриття  в  ній  роблять  люди.  Так, свій  внесок  в  розвиток  вчення  про  рівняння  зробили  вчені:

•                  Мухаммед аль-Хорезмі – про способи  розв’язування  лінійних  рівнянь;
•                  Евклід  і  Франсуа  Вієт  -  про  розв’язування  квадратних  рівнянь.

•                    Омар  Хайям – першим поставив питання розв'язування кубічних рівнянь.

Ці  вчені,  про  яких  ми  сьогодні  говорили, не  обмежувалися  лише  математикою, вони  були  високо  освіченими  і  всебічно  розвинутими  в  різних  галузях  науки. До  цього ж  повинні  прагнути  і  ви.

Підсумок за отриманими балами.

VIІ. Домашнє  завдання.     § 3, п. 20,  № 708.

Додатковий матеріал:

ІІІ СТ. ДО Н. Е.

Евклід — один з найвидатніших старогрецьких математиків. Ніяких біог­рафічних відомостей про його життя не збереглося. Відомо тільки, що на за­прошення царя Птоломея Евклід приїхав у III ст. до н. е. в м. Александрію — ре­зиденцію грецьких царів у Єгипті — і почав там працювати наглядачем славнозвісної бібліотеки. У бібліотеці зберігалися й математичні праці учених — попередників Евкліда. Проте вони були розрізненими і несистематизованими. Учений довгі роки працював над упорядкуванням математичної спадщини минулих поколінь і створив велику працю, що складалася з 13 книг і названа «Начала». Така на­зва обумовлювалася метою: викласти в стропи науковій послідовності голо­вне, основне в математичних знаннях, що є грунтом для їх практичного засто­сування.

Спочатку Евклід сформулював п'ять аксіом про ознаки рівності і нерівності величин і п'ять постулатів, тобто вимог, додержання яких дає можливість вико­нувати всі геометричні побудови. На основі цих первинних незаперечних суд­жень, які приймаються без доведення, учений будує систему теорем, які вже доводить дедуктивне.

Створивши такий дедуктивний курс геометрії, Евклід переміг величезні труд­нощі в узагальненні і доведенні багатьох складних співвідношень між елемен­тами площинних і просторових фігур, що виражаються числами. Ці труднощі посилювалися тим, що на той час ще не було створено буквеної символіки для позначення величин. У своїх працях Евклід позначав буквами точки, користу­вався рисунком, а математичні перетворення і доведення подавав писаною мовою, хоч йому доводилось часом оперувати в своїх викладках складними ірраціональними виразами, перетворювати і спрощувати їх.

Величезною заслугою Евкліда було те, що він засобами геометрії дослідив багато важливих питань арифметики і алгебри, а також створив дедуктивний курс геометрії, визначивши систему аксіом і постулатів для побудови такого курсу. «Начала» Евкліда збереглися на віки як величний пам'ятник людині, обдаро­ваність і могутній талант, дивовижна сила уяви і мислення якої залишилися не­вмирущими у скарбниці загальнолюдської світової науки і культури.

 Мухаммедаль-Хорезмі

(783 — бл. 850)

Властивості рівнянь першим сформулював узбецький математик IX ст. Мухаммед аль-Хорезмі (Мухаммед з Хорезму). В ті далекі часи від'ємні числа не вважались справжніми. Тому коли в результаті перенесення від’ємного члена рівняння з однієї його частини в іншу цей член ста­вав додатним, вважалось, що він відновлювався, переходив з не­справжнього в справжній. Таке перетворення рівнянь Мухаммед аль-Хорезмі назвав відновленням (аль-джебр). Властивість про зни­щення однакових членів рівняння в обох частинах він назвав проти­ставленням (аль-мукабала). Книга про ці перетворення мала назву «Кітаб аль-джебр аль-мукабала»

(Книга про відновлення і протиставлення). Згодом цю книгу переклали латинською мовою, взявши для назви тільки її друге слово, яке стали писати АІ£еЬг, Звідси і пішла назва науки — алгебра. Перетворення аль-джебр стало важливим кроком у розвитку алгебри, бо наба­гато спростило розв'язування рівнянь.

ФРАНСУА  ВІЄТ

1540 - 1603

ФРАНСУА  ВІЄТ – французький  вчений, зробив великий внесок для розвитку математики, вва­жається «батьком сучасної ал­гебри»: він написав першу в світі роботу з символічної ал­гебри. Вієт ввів буквене позна­чення невідомих, саме від ньо­го бере початок сучасна алгеб­раїчна символіка. Захопив­шись якоюсь математичною задачею, він міг працювати над нею іноді три доби без їжі і сну.

Перша його наукова робота має назву «Математичний канон». Вієт був дуже відомим математиком. Якось у жовтні 1594 р. підчас бесіди з Генріхом четвертим голландський посол зауважив, що у Франції немає геометра, який у змозі розв’язати запропонова­ну фламандським математиком Адріаном ван Рооменом задачу: розв’язати рівняння 45-го степеня .

Тоді Генріх Четвертий звернувся до Вієта. Глянувши на рівнян­ня, вчений швидко встановив, що невідоме — довжина хорди кола одиничного радіуса, якій відповідає центральний кут 20/45 . Всього за декілька хвилин Вієт, якому вже доводилось мати справу з подібними задачами, показав, що дане рівняння має 23 корені. Насправді коренів 45, але інші ко­рені відповідають від’ємним значенням синуса, які на той час не брались до уваги. У свою чергу Вієт запропонував Адріану ван Роомену побудувати коло, дотичне до трьох даних кіл. Ця задача, якою свого часу займався Аполлоній Пергський (бл. 262—190 до н.е.), була перевідкрита Вієтом. Ван Роомен знайшов розв’язок за допомогою перетину двох гіпербол, але не зміг розв’язати задачу елементарними методами. Вієт такий розв’язок навів. Воно спра­вило надзвичайно велике враження на Ван Роомена, який спеціально поїхав у Фонтене-ле Конт, де знаходився у той час двір французького короля, щоб особисто познайомитись з Вієтом. Це знайомство перейшло у багаторічну дружбу.

В останні роки свого життя Вієт був радником французьких ко­ролів Генріха III і Генріха IV. Під час війни між Францією та Іспанією іспанці застосовували для таємного листування дуже складний шифр. Завдяки цьому Іспанія мала можливість вільно підтримувати зв’язки з су­противниками французького короля навіть у межах Франції. Після безрезультатних пошуків ключа до цього шифру король Генріх Четвертий звернувся за допомогою до Ф. Вієта. Вієт відразу відгук­нувся на це прохання. Він працював днями і ночами протягом двох тижнів, доки поставлена задача не була розв’язана. Він не тільки розгадав цей складний шифр, але і вказав спосіб, як слідкувати за всіма його змінами. Після цього Генріх IV зробив Вієта своїм осо­бистим радником.

Іспанці довгий час не могли зрозуміти причини їх невдач у військових справах. Нарешті з таємних джерел їм стало відомо, що їх шифр для французів вже не секрет і винний у його розшифровці Франсуа Вієт. За це іспанська інквізиція заочно засудила вченого до страти.

                             О.Хайям

                           (1048-1131)

Народився  Омар Хайям  в 1048 р. в місті Нішапурі, що на півдні від Ашхабада. Жив і працював у Самарканді, Бухарі, Ісфагані та інших містах Серед­ньої Азії та Ірану . Повне ім'я цієї людини складається з багатьох слів: Хайям Омар Гіяседдін Абу-аль Фахт ібн Ібрагім.

 У молодості він захоплювався астрономією і математикою, пізніше географією, філософією, поезією. Перший його твір до нас не дійшов.              Та ми знайомі з його працею-трактатом  «Про доведення за­дач алгебри і ал-мукабали». Тут подано класифікацію рівнянь 1-го, 2-го і 3-го порядків, стверджується, що алгебра — наука про знаходження невідомих за допомогою рівнянь (це перше означен­ня алгебри як науки, що дійшло до нас).

Одним з методів розв'язування рівнянь Хайям пропонує геометричний. У цьому ідеї вченого про зв'язок алгеб­ри з геометрією нагадують світогляд за­сновника аналітичної геометрії Рене Декарта. Але Декарт жив у XVII ст.! Поду­майте, як випередив Хайям свій час!

У сучасному світі Омар Хайям відомий як поет, автор філософсько-лірич­них чотирирядкових віршів, об'єднаних у збірку «Рубайат» (рубаї — один з най важчих жанрів таджицько-перської літе­ратури. Обсяг рубаї — 4 рядки, 3 з яких римуються між собою). Хайям — неперевершепий майстер цього жанру. Маленька книжечка його віршів живе на його батьківщині, в сусідніх країнах, в усьому світі, переходить з рук у руки, з країни в країну, примушує людей замислюватися про світ, життя, щастя. Його вірші ми читаємо і зараз, хоча сучасники вважали його заняття рубаї несерйозним.

Ваш вік — вік запитань, на які ви не завжди можете знайти відповіді. Муд­рий поет допоможе вам відшукати їх. Право давати мудрі поради він вистраж­дав життям, важким, повним випробу­вань.

• Щоб мудро життя прожити, знати потрібно немало.

Два важливих правила запам’ятати для початку:

Ти краще голодним будь, ніж їсти що попало,

І краще будь один, ніж поруч з ким попало,

• Живи праведно, будь задоволеним тим, що маєш,

Живи вільно, бережи і свободу,  і честь.

Не горюй, не завидуй тому, хто бога тче,

Хто бідніше тебе, тих на світі не зрахувати.