Урок "Арифметична прогресія" (9 клас)

Тема: Арифметична прогресія. (9 клас)

Мета: запровадити поняття арифметичної прогресії та різниці арифметичної прогресії; розглянути знаходження різниці та кілька перших членів прогресії; сприяти розвитку спостережливості, уміння аналізувати, розвивати грамотну математичну мову; виховувати пізнавальну активність, самостійність, прагнення розширювати свій світогляд

Тип уроку: урок засвоєння нових знань, навичок і вмінь.  

Форма: індивідуальна, фронтально-колективна та групова.

Обладнання і наочність: підручник, дошка, зошити.

Підручник: Мерзляк, Полонський, Якір, Алгебра 9 клас

Хід уроку

1. Організаційний момент. (2 хв.)
2. Актуалізація опорних знань. (10 хв.)

• Що називається числовою послідовністю? Числовою послідовністю називається функція, визначена на множині натуральних чисел.
• Які способи задання послідовностей ви знаєте? Аналітичним способом, рекурентним способом та описом/словесно.

Завдання. Визначити закономірність числових послідовностей:

Розв’язання.

Молодці! Отже, тема сьогоднішнього заняття «Арифметична прогресія».

3. Формування нових знань. (20 хв.)

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, у якої різниця між кожним членом, починаючи з другого, і попереднім є сталою величиною.

Отже, арифметичну прогресію можна задати формулою

Число називається різницею арифметичної прогресії. Із формули (1) послідовно дістаємо:

Додамо почлено всі ці рівності:

Формула (2) називається формулою -го члена арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія буває трьох видів:

Зростаюча – арифметична прогресія, яка має додатну різницю, тобто

Приклад: послідовність чисел – це зростаюча арифметична прогресія, оскільки її різницю

Спадна – арифметична прогресія, яка має від’ємну різницю, тобто d < 0.

Приклад: послідовність чисел – це спадна арифметична прогресія, оскільки її різницю

Стаціонарна – арифметична прогресія, у якої різниця дорівнює нулю, тобто

Приклад: послідовність чисел – це стаціонарна арифметична прогресія, оскільки її різниця

Візьмемо три послідовних члени арифметичної прогресії:

Оскільки , звідки

Рівність (3) називається характеристичною властивістю арифметичної прогресії. Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, крім першого (і останнього, якщо прогресія є скінченною), дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів.

Нехай деяка послідовність має властивість (3), тоді

, звідки при дістаємо

Отже, дана послідовність за визначенням є арифметичною прогресією.

Приклад 1. Дано арифметичну прогресію 2, 5, 8, … . Знайти сотий член цієї прогресії.

Розв’язання. Отже, За формулою знайдемо -й член прогресії.

Тоді маємо

Відповідь: 299.

Приклад 2. Відомо два члени арифметичної прогресії: Знайти .

Розв’язання. Використовуючи формулу -го члена, маємо . І Отже, , звідки . Далі знаходимо

Відповідь: 4002.

Нехай – сума перших членів арифметичної прогресії:

Відомо, що .

Тепер маємо

Якщо врахувати формулу (2) -го члена арифметичної прогресії, то

За формулами (4), (5) підраховують суму перших n членів арифметичної прогресії.

4. Застосування знань, вмінь і навичок. (45 хв.)

Завдання. Мерзляк 9 клас №16.1, №16.3, №16.8, №16.10, №16.12, №16.13, №16.17, №16.23, №16.25, №16.38.

5. Підсумки урока. (2 хв.)

Ми з вами гарно попрацювали. Молодці!!!

• Мені стало зрозуміло.
• Я зрозумів, що зможу...
• У мене вийшло …

6. Домашнє завдання. (1 хв.)

Завдання. Підручник Мерзляк, Алгебра 9 клас №16.2, №16.4, №16.6, №16.11, №16.26, №16.39.