УРОК ДОСЛІДЖЕННЯТЕМА: ТЕОРЕМА ПІФАГОРА. РІЗНІ ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА

УРОК ДОСЛІДЖЕННЯТЕМА: ТЕОРЕМА ПІФАГОРА. РІЗНІ ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРААвтор: Плейзор Катерина Тимофіївна

МЕТА УРОКУЗасвоєння різних способів доведення теореми Піфагора. Формування вмінь використовувати теорему для розв’язування вправ. Розвивати вміння аналізувати, співставляти, порівнювати, робити висновки. Формувати вміння викладати думки математичною мовою. Формувати вміння виступати перед аудиторією.

ПЕРЕВІРИМО СЕБЕГеометричний диктант. Сформулюйте теорему Піфагора. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора. Продовжіть речення: «Щоб за сторонами прямокутного трикутника знайти його третю сторону, треба …»Похила це…Основа похилої – це…Проекція похилої – це…Єгипетський трикутник – це…

ПЕРЕВІРИМО СЕБЕВставте слово у речення: Будь-яка похила … за перпендикуляр. Рівні похилі мають … проекції. З двох похилих більша та, у якої проекція …

ЧИ ПРАВИЛЬНО?Квадрат гіпотенузи дорівнює різниці квадратів катетів. Гіпотенуза дорівнює сумі квадратів катетів. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Чи правильно правильно на рисунках вказано довжини сторін прямокутних трикутників?

ВИКОНАЙМО ЗАВДАННЯНакресліть пряму а. Поза прямою позначте точку А. З точки А до прямої а проведіть перпендикуляр АВ і похилу АС.

РОЗГЛЯНЬТЕ РИСУНОКАД і ДС – проекції похилих АВ і ВС. Відомо, що АД < ДС. Яке із співвідношень правильне?1). АВ = ВС; 2). АВ > ВС; 3). АВ < ВС.

ЯКІ Ж ЩЕ ІСНУЮТЬ СПОСОБИ ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА?

ЗАСВОЄННЯ РІЗНИХ ДОВЕДЕНЬ ТЕОРЕМИСеред досягнень піфагорійців найбільшим вважається теорема, названа Піфагоровою та її доведення. Сьогодні встановлено, що її застосовували у давньому Вавилоні за 1500 років до Піфагора. Існує понад 300 доведень теореми.

ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИУ прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.”Дано: ▲ АВС, < С = 90°. Довести: АВ2 = ВС2 + АС2. Доведення. Введемо позначення: АВ =С, ВС = а, АС = в.

ІНШИЙ СПОСІБ ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИПобудуємо два рівні квадрата MNPQ та M1 N1 P1 Q1, кожна сторона яких дорівнює сумі катетів ▲ АВС. Нехай MN = MT + TN = a + в.

ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИРозіб’ємо квадрат MNPQ на 4 трикутники, що дорівнюють ▲ АВС за двома катетами ( MT=RK=LK=PF=a і RM=KT=KF=LP=в), та два квадрати, у яких QR=a, TN=в, а квадрат M1 N1 P1 Q1 - на 4 трикутники, що дорівнюють ▲ АВС теж за двома катетами ( M1 T1 =N1 L1 =P1 К1 =Q1 R1 =a і T1 N1 =L1 P1 = K1 Q1 =R1 M1=в), та квадрат T1 L1 K1 R1 T1 L1 K1 R1 – квадрат, кожна сторона якого дорівнює гіпотенузі ▲АВС і кути прямі ( < R 1 K 1 L1 =180°–(< R1 K 1 Q1 + Р1 К1 L 1) =90° ). Отже, сума площ квадратів QRKL і TNFK, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата MNPQ без суми площ чотирьох рівних трикутників, а площа квадрата T1 L 1 K1 R 1, побудованого на гіпотенузі, дорівнює площі квадрата M1 N1 P1 Q1 , який дорівнює квадрату MNPQ, без суми площ чотирьох таких самих трикутників. Отже, с2 =а2 +в2

ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВУ прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Використаємо рисунок:

ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ1) Дано: ▲ АВС, < С=90° .2) Проведемо висоту СД з вершини С. Утворились прямокутні трикутники АДС і ДВС, які подібні ▲АВС і подібні між собою. З того, що ▲АДС ~ ▲ АВС=> АС/АВ=АД/АС, АС2 =АВ▪АД – катет АС прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою АВ і проекцією АД цього катета на гіпотенузу. З того, що ▲ ДВС~ ▲ АВС=>ВС/АВ=ВД/ВС, ВС2 =АВ▪ВД – катет ВС прямокутного ▲ АВС є середнім пропорційним між гіпотенузою АВ і проекцією ВД катета ВС на гіпотенузу АВ. Додамо рівності, врахувавши, що АД+ДВ=АВ. Маємо: АС2 +ВС2 =АВ▪(АД+ДВ)=АВ▪АВ=АВ2 З того, що ▲ АДС~ ▲ДВС=>АД/ДС=СД/ВД, СД2 =АД▪ВД.

ДОВЕДЕННЯ ТЕОРЕМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВУ цьому випадку теорема формулюється: «Висота, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, є середнім пропорційним між двома відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу», або «Квадрат висоти, опущеної на гіпотенузу, дорівнює площі прямокутника, побудованого на відрізках гіпотенузи.

ЦЕ ЦІКАВОБагато доведень теореми Піфагора ґрунтується на рівно великості і рівно складності геометричних фігур. Для цього на гіпотенузі й катетах даного прямокутного трикутника будуть фігури, розміщені певним чином, порівнюючи і зіставляючи їх, переконуємось у правильності теореми.

«ПІФАГОРОВІ ШТАНИ» ЩО ЦЕ?Теорему Піфагора для випадку рівнобедреного прямокутного трикутника жартома називають «Піфагоровими штанами».

ПІДСУМОКРозглянули різні доведення теореми Піфагора.

УВАГА!Теорема Піфагора має місце, якщо замість квадратів побудувати довільні подібні між собою фігури.

ДОВЕДЕМО, ЩО SA+SВ=SС. З властивості подібних фігур: Sa/Sc=a2 /c2 , Sa▪c2 =a2 ▪Sc;Sв/Sc=в2 /с 2, Sв▪с2 =в2 ▪Sс. Додамо рівності почленно:с 2 (Sа+Sв)=(а2 +в 2)▪Sс. Враховуючи, що с 2=а2 +в2 , маємо Sа+Sв=Sс.

ВИСНОВОКПлоща фігури, побудованої на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ подібних їй фігур, побудованих на катетах цього трикутника.