Урок "Формули зведення"

Тема заняття: Формули зведення.

Мета заняття: Вивчення формул зведення, формування умінь студентів

застосовувати вивчені формули для спрощення ви­разів та обчислень.

Обладнання: підручники, опорні схеми і таблиці.

Тип заняття:  комплексного характеру

Література:

     1. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів, М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002, - 272 с.

 2. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Освіта, 2006. – 255с.

План заняття

I. Організація початку заняття.

II. Актуалізація опорних знань.

• Усне опитування студентів;
• Виконання усних вправ;
• Перевірка домашнього завдання.

III. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми, мети заняття.

IV. Вивчення нового матеріалу:

• Сприймання і усвідомлення формул зведення.
• Виконання вправ

V. Підведення підсумків заняття.

VI. Домашнє завдання.

Хід заняття

I. Організація початку заняття.

II. Актуалізація опорних знань.

Питання до усного опитування:

1. Назвати основну тригонометричну тотожність.

2. Як можна з основної тригонометричної тотожності виразити
і навпаки.

3. Які ще співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу існують?

Виконання усних вправ.

Чому дорівнює вираз . ;   ;  ;

Обчисліть: ;  ;  ; ; 

Відповіді на питання студентів, що виникли в процесі виконан­ня домашнього

завдання.

III. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми, мети заняття.

IV. Вивчення нового матеріалу.

Сприймання і усвідомлення формул зведення.

Кожну тригонометричну функцію кутів ± α, π ± α, ± α, 2π ± α можна виразити через тригонометричну функцію кута α. На цьому заняття ми розглянемо деякі такі формули.

 Нехай α – довільний кут, виражений у радіанах. На одиничному колі йому відповідає певна точка А, а куту - α – точка В.

                                                   Опустивши перпендикуляри АК на вісь х і ВL

                у                                 на вісь у, дістанемо два рівних трикутника АОК

                         В                        і ВОL (АОК = ВОL, ОА = ОВ). Тому

               L    _α         А                  ОL = ОК і ВL = АК, тобто

                                   _α

                О        К                     

                                                            sin ( - α) = ОL = ОК = cos α

  мал 1            cos ( - α) = ВL = АК = sin α

 Кутам + α і - α на одиничному колі відповідають точки, симетричні відносно осі у (мал. 2). Їх ординати рівні, абсциси протилежні. Тому           у

 С           В                  sin ( + α) = sin ( - α) = cos α

      cos ( + α) = - cos ( - α) = - sin α

            Р      ^О       К

                        мал. 2

 Кутам π – α і α також відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно осі у. Тому

     sin (π – α) = sin α

     cos (π – α) = cos α

 Кутам π + α і α (а також - α і - α, + α і + α) відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно початку координат (мал. 3).

                у                                     Їх ординати протилежні і абсциси

                                                       протилежні. Тому

                             А                      

          Р             α                                       

            α      О    К           х          sin (π + α) = -sin α             cos (π + α) = -cos α

       Д                                                   sin( - α) =  -sin( - α) = -cos α

                                                            cos( - α) = -cos ( - α) = -sin α

                              sin( + α) =  -sin( + α) = -cos α

                                cos( + α) = -cos ( + α) = sin α

 Кутам 2π + α і α відповідає одна й та сама точка одиничного кута, тому

    sin(2π + α) = sin α 

    cos(2π + α) = cos α

 Кутам 2π - α і α відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно осі х. Їх абсциси рівні, а ординати протилежні. Тому

    sin(2π - α) = -sin α 

    cos(2π - α) = cos α

 З попередніх міркувань маємо 16 формул. Ще 16 подібних формул можна довести для тангенса і котангенса:

  tg( - α) = = = ctg α

  сtg( - α) = = = tg α.

 Отже, tg( - α) = ctg α

  сtg( - α) = tg α і т. п.

 Усі ці 32 формули називають формулами зведення, бо вони дають можливість кожну тригонометричну функцію довільного кута звести до тригонометричної функції гострого кута. Запам’ятовувати кожну з цих формул немає потреби, краще користуватись загальним правилом.

 Щоб зрозуміліше сформулювати правило, домовимось синус вважати кофункцією косинуса і навпаки, а тангенс – кофункцією котангенса і навпаки. Говоритимемо також, що кут зводжуваної функції відкладається від горизонтального діаметра, якщо він має вигляд π ± α або 2π ± α, чи від вертикального діаметра, якщо він має вигляд ± α або ± α.

 Правило зведення можна сформулювати так:

 Якщо кут зводжуваної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж – від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють. Знак ставимо такий, який має значення зводжуваної функції за умови, що кут α гострий.

 Приклад. Нехай треба спростити вираз cos( - α). Перед результатом треба поставити знак мінус, бо коли кут α гострий, то кут - α належить третій чверті і його косинус від’ємний. Кут - α відкладається від вертикального діаметра, тому назву функції cos треба змінити на sin. Отже,

 cos( - α) = -sin α

 До формул зведення можна віднести також тотожності:

cos(-α) = cos α

   sin(-α) = -sin α

   tg(-α) = - tg α

   сtg(-α) = -сtg α

Виконання вправ  

1. Знайдемо значення sіn .

Маємо: .

2. Приведіть до тригонометричних функцій числа а:

а); б);  в) сtg (π – α); г) tg (π + α); д) sіn (π + α); є).

Відповідь: а) соs α; б) - sіn α; в) - ctgα; г) tg α; д) - sіn α; є) сtg α.

3. Знайдіть:

а) sіn ;     б) соs ;     в) tg ;      г) sіn .

Відповідь: а) ;  б) - ;  в) - ;   г) .

4. Спростіть:

а) ; б) .

Відповідь: а) 1. б) –1.

5. Доведіть, що

а) ,   б) .

V. Підведення підсумків заняття.

1. Що таке формули зведення?

2. Які знаки мають тригонометричні функції в кожній із четвертей?

VI. Домашнє завдання.

1. Спростіть вираз:

   а) cos (180° - α)                б) tg(270° - α)               в) cos α +  cos(-α)

2. Доведіть тотожність:

   sin(α - π) = sin(α + π)

3) Знайдіть значення виразу:

   а) sin 300°                       б) cos 240°                      в) tg 225°