Урок "Логарифмічна функція та її властивості "

Логарифмічна функція, її графік і властивості

Мета: 

• ввести поняття логарифмічної функції;
• формувати вміння будувати графік логарифмічної функції, дослідити її властивості;
• розвивати пізнавальний інтерес, творче мислення учнів, математичне мовлення;
• виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого результату;
• ознайомити учнів з використанням логарифмічної функції при вивченні явищ навколишнього світу, показати міжпредметні зв'язки.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань, умінь.

Обладнання:  підручники «Алгебра 11клас» А. Г. Мерзляк та ін., «Математика 11 клас» Г. П. Бевз, В. Г. Бевз,  комп’ютерна презентація «Логарифмічна функція, її графік і властивості», бланки для заповнення «Властивості логарифмічної функції», картки з індивідуальними завданнями

Хід уроку

1. Організаційний момент

Учитель.

• Доброго дня! Сідайте. Розпочинаємо наш урок.

Налаштування учнів на позитивний лад.

2. Перевірка домашнього завдання

Учитель.

• На попередніх уроках ви ознайомилися з поняттям «Логарифми та їх властивості»  На сьогодні ви мали виконати № 136(а,в,г), 146(в,д), 158.
• У чому полягали труднощі під час виконання даних завдань?
• Правильність виконання завдання ми звіримо із розв’язанням на дошці.
• Якщо перший приклад правильно, то відкриваємо його і таким чином перевіряємо решту прикладів, відкриваючи картинки – вставки, поки не з’являться нові зображення.

3. Мотивація навчання

Учитель.

• Що на Вашу думку об’єднує ці малюнки?
• Чому вони присутні у нас на уроці?
• Як їх можна пов’язати з темами, що ми вивчаємо, і з математикою взагалі?
• Відповіді на ці запитання ми отримаємо під час уроку.
• Темою нашого уроку є «Логарифмічна функція, її графік і властивості ». (учні в зошитах записують дату, тему)
• Метою нашого уроку є…

(Учитель формулює мету уроку)

• Для досягнення мети пройдемо такі етапи уроку…

4. Гра «Незакінчене речення» (Актуалізація опорних знань учнів)

Учитель.

• Повторення теоретичного матеріалу проведемо у вигляді гри «Незакінчене речення».
• Отож закінчіть речення

• Залежність змінної y від змінної x, при якій кожному значенню x відповідає єдине значення y називають функцією
• Множина значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент) називають областю визначення функції
• Множину значень, яких набуває залежна змінна (функція) називають областю значень функції
• Значення аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю, називають нулями функції
• Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції
•  Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції
• Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої y = x

5. Вивчення нового матеріалу

Учитель.

• На попередніх уроках ми вивчали функцію , яка називається …? (показниковою)
• Оскільки ця функція є монотонною, тому вона має обернену функцію. Задамо обернену функцію формулою. Що для цього необхідно зробити?
• 1) З формули виразимо змінну через : ;
•  2) змінимо позначення змінних, одержимо формулу якою й задається обернена функція.
• Функція виду , називається логарифмічною функцією.
• Для побудови графіка логарифмічної функції та формулювання її властивостей, я пропоную вам виконати такі завдання в групах:

6. Практична робота

Учитель. У кожного із Вас на партах є картки із завданнями для практичної роботи із коротким описом виконання завдання.

Учитель. Графік функції , можна отримати з графіка функції симетричним відображенням відносно прямої  

I група.  Побудувати графік функції , оберненої до функції ,

                використовуючи симетрію відносно прямої .

II група. Побудувати графік функції , задану таблично.

III група. Побудувати графік функції , оберненої до функції , 

                   використовуючи симетрію відносно прямої .

IV група. Побудувати графік функції , задану таблично.

(Учні працюють в парах, будуючи графіки логарифмічної функції різними способами. Виконавши побудови графіків, вони мають можливість порівняти, чи однакові в них графіки.)

Учитель. Результати Вашої роботи звірте із дошкою.

7. Властивості логарифмічної функції

Учитель. У Вас на партах лежать бланки «Властивості логарифмічної функції». На основі раніше вивчених властивостей показникової функції і отриманих графіків логарифмічної функції встановимо її властивості. Відповіді записуйте у бланк.

Система запитань:

1. Областю визначення логарифмічної функції є проміжок …Чому? (для показникової функції – це область значень);
2. Областю значень є…
3. Нулі функції…()
4. Проміжки зростання і спадання…
5. Проміжки знакосталості…(проміжки визначаємо за графіком)

Бланк «Властивості логарифмічної функції»

8. Історична довідка

Учитель. Винахід логарифма пов’язаний із двома постатями: швей­царцем Йостом Бюргі (1552—1632), знаним годинни­карем і майстром астрономічних інструментів, і шот­ландцем Джоном Непером (1550—1617), який теж не був математиком за професією, астрономія була його «хобі». А Бюргі працював разом з астрономом Іоганном Кеплером.

Саме величезний обсяг необхідних в ас­трономії обчислень і спонукав Бюргі і Непера шукати шляхи для їх спрощення. 20 років присвятив Непер своїм логарифмічним таблицям, аби, за його словами, «позбутися нудних і складних обчислень, які відля­кують зазвичай багатьох від вивчення математики». Обидва автори прийшли до своїх таблиць незалежно один від одного. Вони склали таблиці так званих на­туральних логарифмів. Бюргі працював над таблицями 8 років і видав їх у 1620 році під назвою «Арифметична і геометрична таблиця прогресії». Проте його таблиці не набули широкого поширення, бо Непер видав свій «Опис дивовижної таблиці логарифмів» на 6 років ра­ніше. Тому і визнали число «е» неперовим числом.

Упродовж майже трьох із половиною сторіч від­тоді, як у 1614 році були опубліковані Непером перші логарифмічні таблиці, вони служили астрономам і ге­одезистам, інженерам і морякам, скорочуючи час на обчислення і, як сказав французький учений Лаплас, продовжуючи життя обчислювачам.

Учитель. Логарифмічна спіраль – особливий вид спіралі, що часто трапляється в природі.

Характерні особливості логарифмічної спіралі:

• Має нескінченну кількість витків як при розкру­чуванні так і при скручуванні, її називають рівнокут­ною спіраллю;
• у будь-якій точці спіралі кут між дотичною до неї та її радіус-вектором зберігає постійне значення;
• при різних перетвореннях (гомотетії, повороті) вона залишається незмінною.
• має широке застосування в технічних приладах;
• властивості цієї кривої так вразили Якоба Бернуллі, що він назвав її spira mirabilis (чудова спіраль) і запо­вів зобразити її на його могилі з написом (перетворювана, відроджуюся знову).

9. Усне розв’язування вправ

Учитель.  Усне розв’язування вправ проведемо у вигляді вікторини.

10. Розв’язування задач з повним поясненням  (з підручника)

Учитель. Виконаємо вправи з підручника №140, 142 (в, г), 152 (а, б, в, г), 153.

• Хто працює швидше, пропоную Вам наступні завдання.

№1

Знайдіть область визначення функції:

1.                          ()
2.                ()

№2

11. Розв’язування задач практичного змісту (міжпредметні зв’язки)

Учитель. Різноманітне застосування логарифмів і логарифмічної функції пропоную Вам на наступних слайдах.

12. Індивідуальні завдання

1. Побудуйте графік функції  .

2. Розв’яжіть графічно рівняння: 

13. Самостійна робота із взаємоперевіркою

Варіант 1

Варіант 2

Учитель. Ви перевірили результати своєї роботи. Які завдання викликали найбільші труднощі?

14. Домашнє завдання

Вивчити § 4 (п.2).

Розв’язати  № 154, 157(в, г, д).

   Підготувати проект, вибравши одну із тем

15.  Оцінювання учнів

Учитель оцінює учнів за роботу біля дошки, за самостійне розв’язування учнів і за самостійну роботу.

16. Підсумки уроку.

Учитель. Сьогодні на уроці ми з Вами ввели поняття логарифмічної функції, навчилися різними способами задавати її графік, встановили її властивості і застосували їх до розв’язування різноманітних вправ.

Отже,

1. Яка функція називається логарифмічною?
2. Коли логарифмічна функція буде зростаючою (спадною)?
3. Де використовується монотонність? (для порівняння)
4. Областю визначення логарифмічної функції є…
5. Де застосовується логарифмічна функція?