Урок "Логарифмічні рівняння"

Про матеріал

Тема уроку: Логарифмічні рівняння Цілі: • Формування предметних компетентностей: сформувати вміння розв’язувати логарифмічні рівняннярізними способами із використанням властивостей логарифма й логарифмічної функції та зведенням до алгебраїчних рівнянь шляхом заміни змінних; • Формування ключових компетентностей:  аргументувати, доводити правильність тверджень;  прагнути до вдосконалення результатів своєї діяльності;  генерувати нові ідеї, використовувати критерії раціональності, практичності, ефективності та точності із метою вибору найкращого рішення;  сприяти самовихованню старанності, охайності, чесності, самокритичності. Тип уроку: комбінований

Перегляд файлу

Тема уроку: Логарифмічні рівняння

Цілі:

Формування предметних компетентностей: сформувати вміння розв’язувати логарифмічні рівняннярізними способами із використанням властивостей логарифма й логарифмічної функції та зведенням до алгебраїчних рівнянь шляхом заміни змінних;
Формування ключових компетентностей:

аргументувати, доводити правильність тверджень;
прагнути до вдосконалення результатів своєї діяльності;
генерувати нові ідеї, використовувати критерії раціональності, практичності, ефективності та точності із метою вибору найкращого рішення;
сприяти самовихованню старанності, охайності, чесності, самокритичності.

Тип уроку: комбінований

Основні терміни і поняття для вивчення: логарифмічне рівняння, потенціювання, властивості логарифма

Обладнання: презентація, картки із завданнями

Форми роботи: індивідуальна, колективна, самостійна робота

Епіграф уроку:

Вчитись можна тільки весело.

Щоб перетравлювати знання,

потрібно поглинати їх з апетитом.

А. Франс.

Конспект уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Перевірка домашнього завдання (5 хв)

Знайди помилку товариша

Учні обмінюються зошитами і звіряють д/з свого товариша з виконаними завданнями на слайді і оцінюють свого товариша: правильне виконане завдання – 3 б., 1 помилка – 2 б., 2 помилки – 1 б., 3 і більше помилок – 0 б.

№21.2

х+7 = ОДЗ: х+7 0 2х-5 = ОДЗ: 2х - 5 0

х+7= х-7 2х-5=2 х2,5

х+7=125 (-7; ) х=3,5 (2,5; )

х=118

Відповідь: 118 Відповідь: 3,5

-5х -3) = 2 4) -5х+6) = -1

х²- 5х -3 ОДЗ: х²- 5х -3 0 х²- 5х +6 = ОДЗ: х²- 5х +60

х²- 5х -6=0 (х ) х²- 5х +4=0 ( х – 3)(х-2) 0

х= -1 х=6 (-)(;) х=1 х=4 (-;2)(3;

Відповідь: -1; 6 Відповідь: 1 ; 4

Злови помилку

№21.4

log₉(4x-6) = log₉(x-2) 2) =

4х – 6 = х – 2 х + 7 = х² + 5

3х = - 8 х² – х + 2 = 0

х = 1 х = - 2 х =+ 1

ОДЗ : ; ОДЗ: ;

; х

(2; ) ( - 7 ; )

Відповідь: рівняння коренів не має Відповідь : -1; 2

_________________________________________________________________

1) log₉(4x-6) = log₉(x-2) 2) =

4х – 6 = х – 2 х + 7 = х² + 5

3х = 4 х² – х - 2 = 0

х = 1 х = 2 х = - 1

ОДЗ : ; ОДЗ: ;

; х

(2; ) ( - 7 ; )

Відповідь: рівняння коренів не має Відповідь : -1; 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності школярів, повідомлення теми, мети і завдань уроку (1 хв)

Я сподіваюся, що цей урок пройде цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ті, хто ще байдужий до цариці всіх наук, з нашого уроку пішов із глибоким переконанням: Математика - цікавий і дуже потрібний предмет.

Алгебру називають теорією розв’язування рівнянь. Сьогодні ми будемо вдосконалювати вміння розв’язувати логарифмічні рівняння. Для успішного розв’язування вправ на уроці ми повинні вміти:

правильно визначати тип логарифмічних рівнянь;
застосовувати властивості логарифма;

ІV. Відтворення і корекція опорних знань, навичок і умінь, необхідних учням для самостійного виконання практичного завдання (5 хв)

Хвилинка ерудита (фронтальне опитування)

Що називають логарифмом числа N за основою a?

Логарифмом числа N основою а називають показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб дістати число N.

Як правильно прочитати запис log₂16 ?

Логарифм числа 16 за основою 2

Що означає запис lg N , ln N?

десятковий логарифм- логарифм числа N за основою 10,

натуральний логарифм – логарифм числа N за основою е=2,718…

Чому дорівнює логарифм числа 1 за основою а?

log_a1 = 0

Чому дорівнює логарифм числа а за основою а?

log_aa =1

Чому дорівнює логарифм добутку?

log _a(bc) = log_ab +log_ac , b>0, c>0 (логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів)

Чому дорівнює логарифм частки?

log_a() = log_ab – log_ac , b>0, c>0 (логарифм частки двох додатних виразів дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника)

Чому дорівнює логарифм степеня?

log_ab^m = m log_ab , (логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня)

Чи існує логарифм від’ємного числа? ( Ні )
Основна логарифмічна тотожність.

. Вивчення нового матеріалу.

Питання: Які рівняння називаються логарифмічними?

Логарифмічними рівняннями називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або його основі (або в обох місцях одночасно).

«Навчаючи – вчуся»

На попередньому уроці учні об’єднуються в «домашні» групи і одержують завдання розглянути способи розв’язання логарифмічних рівнянь , скласти алгоритм розв’язання рівняння кожним методом.( 1 група – зведення логарифмів до однієї основи; 2 група – зведення до алгебраїчного шляхом заміни; 3 група – метод потенціювання; 4 група – метод логарифмування.) Представник кожної групи пояснює розв’язання рівняння.

Розв’язати рівняння:

1) 2) log₂ x + log_х 2 =

Вказівка: log_х 2 =

3) lg( x²+ 75) = 2 + lg (x-4) 4)х^{lgx +2} = 1000

Зведення логарифмічного рівняння до однієї основи

Розв’язати рівняння

_1.	_{Зведемо всі логарифми до основи 2}
_2.	_{Зведемо подібні доданки}
_3.	_{Розділимо ліву і праву частини рівняння на}_{і розв’яжемо одержане рівняння}	=4 х=2⁴ х=16 ОДЗ: х>0
_4.	_{Запишемо відповідь}	_{Відповідь: 16}

Зведення логарифмічних рівнянь до алгебраїчного шляхом заміни

Розв’язати рівняння log ²₂ x+ log₂ x³ – 4 = 0

1.	Виконавши тотожні перетворення, звести до логарифмів однієї основи	log ²₂ x+ 3 log₂ x – 4 = 0
2.	Виконати заміну	Заміна: log₂ x =t t² +3t -4 = 0
3.	Розв’язати отримане квадратне рівняння відносно нової змінної	t= - 4 ,t = 1
4.	Повернутися до заміни і розв’язати сукупність логарифмічних рівнянь	log₂ x= - 4 log₂ x = 1 х=2^-4 х=2 х=
5.	Враховуючи ОДЗ, записати відповідь	ОДЗ: х0 Відповідь : ; 2

Метод потенціювання

Розв’язати рівняння lg(x-9) +lg (2x-1) = 2

1.	Число 2 представимо у вигляді десяткового логарифма	lg(x-9) +lg (2x-1) = lg100
2.	Суму логарифмів замінимо логарифмом добутку виразів	lg(x-9)(2x-1) = lg100
3.	Замінимо рівносильною системою враховуючи ОДЗ:	;
4.	Відповідь:	13

Метод логарифмування

Розв’язати рівняння

1.	Знайдемо ОДЗ	х
2.	Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10, використавши властивість логарифма степеня і частки	= = lg²x =2- lg x
3.	Розв’яжемо квадратне рівняння відносно lg x	lg²x+ lg x -2 =0 Заміна: lg x=t t² + t – 2 =0 t=-2 , t = 1
4.	Розв’яжемо сукупність логарифмічних рівнянь	lg x = - 2 lg x = 1 х = 10^-2 х=10 х=0,01
5.	Запишемо відповідь:	0,01 ; 10

lg( x2+ 75) = 2 + lg (x-4)
х^{lgx +2} = 1000
log₂ x + log_х 2 =

Підказка: log_х 2 =

VI. З історичних джерел. Історія виникнення логарифмів і їх застосування

Перші зародки поняття логарифма можна знайти в Архімеда, але сама ідея розвитку не набула. Триста років тому в епоху Відродження почався бурхливий розвиток науки, техніки і мореплавства. Розвиток астрономії, а точніше астрономічних спостережень, вимагали нових методів обчислень, які були б доступні широкому колу людей. В основу таких методів і були покладені логарифми.

_____________________________________________________________________

Перші таблиці логарифмів склав швейцарський механік, годинникар, астроном і математик І.Бюргі (1552-1632). Він довго не наважувався їх опублікувати і лише в 1620 році за наполяганням Кеплера він їх видав. Оригінал цих таблиць зберігається зараз у Пулковській обсерваторії в С.-Петербурзі.

______________________________________________________________________

За свою неквапливість Бюргі поплатився пріоритетом. В 1614 році в Англії шотландський математик Джон Непер, барон, який займався різними науками, особливо астрономією і математикою, надрукував таблиці логарифмів тригонометричних функцій від 0º до 90º. До речі, натуральний логарифм в честь Непера називають Неперовим логарифмом.

Ці таблиці допомагали астрономам і інженерам, скорочуючи час на обчислення, а отже, як сказав знаменитий французький вчений Лаплас, "продовжували життя обчислювачам".

_______________________________________________________

Для обчислення логарифмів довгий час використовували логарифмічну лінійку, яку сконструював англійський математик, священик Оутред в 17 ст. Близько 350 років вона залишалася надійним апаратом для наближених, але швидких обчислень. Але час іде, наука і техніка рухаються вперед, і на зміну логарифмічній лінійці прийшов мікрокалькулятор.

Своє застосування знайшла логарифмічна функція і в астрономії. Наприклад, якщо порівняти характеристики яскравості зірок, то можна побудувати такий графік:

На вертикальній осі відкладаємо яскравість зорі в одиницях Гіппарха ( розподіл зірок по суб’єктивним характеристикам), а по горизонтальній – показання приборів( світність зорі).

За графіком видно, що об’єктивні та суб’єктивні данні не пропорційні, а прибор реєструє зростання блиску в 2 рази. Ця залежність виражається логарифмічною функцією.

__________________________________________________________________
У фізиці також можна знайти багато прикладів застосування логарифмічної функції та логарифмів.

№ 21.9 (1,2) 21.17 (1,2)

VII. Підсумок уроку.

Кросворд

Назва
Логарифм числа – це …
Один із способів розв’язання логарифмічних рівнянь
Перша дія під час розв’язання рівняння log₂x + log₈x=5
Сума логарифмів двох додатних виразів дорівнює логарифму …
Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають саме число, називається ….
Логарифм частки двох додатних виразів дорівнює …

VIII. Домашнє завдання. п.21, №21.10(2,3) 21.18(1,2)

Використана література: Алгебра. 11 клас: підручник для загальноосвітніх закладів: академічний рівень, проф.. рівень /А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.І. Якір. – Х: Гімназія, 2011. – 431 с. :іл..