Урок на тему "Ділення многочленів "

Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»

для 8 класів з поглибленим вивченням математики 

                підготувала вчитель математики

 НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів  - гімназія

 Дем´янюк Ганна Володимирівна

Урок №11

Тема:  Ділення многочленів

Мета: Навчити учнів ділити многочлени методом «кута»; подавати раціональний дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу; вдосконалювати навички оперувати з многочленами.

Тип уроку: засвоєння нових знань

Обладнання: підручник, презентація 1, презентація 2.

Хід уроку:

1. Актуалізація опорних знань

 - фронтальне опитування:

1. Що таке многочлен?

2. Які правила додавання та віднімання многочленів ви знаєте?

3. Як множити многочлен на одночлен? на многочлен?

4. Продовжіть речення: «Ціле число а ділиться на ціле число b, якщо існує…»

- усні вправи на множення многочленів (Презентація 1)

2. Пояснення нового матеріалу

У сьомому класі ми навчилися додавати. Віднімати та  множити многочлени. А чи можна ділити многочлени?

Ви вже знаєте, що ціле число а ділиться націло на ціле число b (b не дорівнює 0), якщо існує таке ціле число с, що а= b·с. Враховуючи ці міркування, приймемо таке означення:  (Презентація 2)

• Означення: Многочлен А(х) ділиться націло на тотожно не рівний нулю многочлен В(х), якщо існує такий многочлен Q(х), що для будь-якого х є R виконується рівність А(х)=В(х)· Q(х).

Многочлен А(х) називають діленим, многочлен В(х) - дільником, Q(х) –часткою.

• Якщо многочлен А(х) ділиться націло на многочлен В (х), то це позначають так: .

Наприклад,

• Многочлен х³+1 ділиться націло на многочлен х+1,

оскільки х³+1=(х+1)(х²-х+1)

• Многочлен 6х⁴-5х³+4х²-х ділиться на многочлен  (2х²-х+1), оскільки

     6х⁴-5х³+4х²-х =(2х²-х+1) (3х²-х)

Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійснювати за алгоритмом ділення “кутом”

 х³+1       х+1                   6х⁴-5х³+4х²-х     2х²-х+1

      х³+х²        х²-х+1            6х⁴-3х³+3х²         3х²-х

          -х²+1                                   -2х³+х²-х

          -х²-х                                    -2х³+х²-х

                х+1                                             0

                х+1

                    0

Якщо , тобто , і многочлен ненульовий, то очевидно, що степінь многочлена дорівнює сумі степенів многочленів і . Ділення многочленів можливе у тому випадку, коли степінь многочлена – діленого вищий або дорівнює степеню многочлена-дільника.

Але ця умова не є достатньою. Так многочлен не ділиться націло на многочлен .

• Теорема: Для будь-якого многочлена А(х) і многочлена В(х), який тотожно не дорівнює нулю, існує єдина пара многочленів Q(х) і R (х) таких, що А(х)=В(х)· Q(х) + R (х), де степінь многочлена R (х) менший від степеня многочлена В(х).

Q(х) – неповна частка, R (х) - остача

Розглянемо такий приклад:

Таким чином,  раціональний дріб

Права частина цієї рівності є сумою многочлена і дробу. У чисельнику дробу записано многочлен, степінь якого менший від степеня многочлена, який записано в знаменнику. Такий дріб називають правильним.

• Означення: Подання раціонального дробу у вигляді суми многочлена і правильного дробу називають виділенням цілої частини з раціонального дробу.

3. Розв’язування вправ

• Доведіть, що  многочлен А(х) ділиться націло на многочлен В (х):

1)

2)

3)

• Поділивши «кутом» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу

1)

2)

3)

• Виділіть цілу частину з раціонального дробу:

1) ;     2) ;   3)

• Доведіть, що вираз ділиться націло на вираз де
• При яких значеннях параметра а остача від ділення многочлена:

1) на двочлен дорівнює 5;

2) на двочлен дорівнює 3;

4. Домашня робота

1. Доведіть, що  многочлен А(х) ділиться націло на многочлен В (х):

1)

2)

2. Поділивши «кутом» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу

1)

2)

3. Виділіть цілу частину з раціонального дробу:

1) ;     2) ;  

4. Доведіть, що вираз ділиться націло на вираз де  (високий рівень)

Використані джерела:

1. Алгебра підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики,

А.Г. Мерзляк,  В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків, «Гімназія», - 2009

2. Алгебра та початки аналізу 10 клас, профільний рівень

А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський,  В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків «Гімназія», - 2010

3. О.Ю. Карік, Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків, математика 5-7, Харків, - «Основа», -  2008

Презентація 1

Презентація 2