Конспект уроку "Ділення з остачею. Конгруенції та їх властивості" є третім у циклі уроків "Основи теорії подільності"
Мета: Вдосконалити вміння учнів знаходити неповну частку та остачу, оперувати з конгруенціями;
До уроку додається також презентація "Ділення з остачею. Конгруенції."
Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»
для 8 класів з поглибленим вивченням математики
підготувала вчитель математики
НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів - гімназія
Дем´янюк Ганна Володимирівна
Урок №3
Тема: Ділення з остачею. Конгруенції та їх властивості
Мета: Вдосконалити вміння учнів знаходити неповну частку та остачу, оперувати з конгруенціями; розвивати розумові операції, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати, розмірковувати за аналогією; виховувати самостійність, організованість і мотиви діяльності.
Тип уроку: комбінований урок
Обладнання: підручник, презентація
Хід уроку:
- у формі роботи в парах (взаємоперевірка)
1. Вiдомо, що a кратне 3, b кратне 8. Доведiть, що ab кратне 24.
2. Число a кратне 6. Доведiть, що a2 -12a кратне 36.
3. Доведiть, що n 2+3n дiлиться на 2 при будь-якому натуральному n.
4. Доведiть, що n3+ 5n дiлиться на 3 при будь-якому натуральному n.
5. Доведiть, що сума кубiв трьох послiдовних натуральних чисел дiлиться на 9.
6. Доведiть, що 20084- 424 дiлиться на 2050.
2. Пояснення нової теми (презентація)
Якщо натуральне число а не ділиться націло на натуральне число , то можна виконати ділення з остачею. Розширимо поняття «ділення з остачею» на випадок, коли ділене є цілим числом.
Теорема: Для будь-якого цілого числа а і натурального числа b існує єдина пара цілих чисел q і r таких, що а = bq+ r, де 0 r < b.
Наприклад: Для чисел а=2, b=7 існує пара q=0 і r=2, тобто 2=7·0+2.
Для чисел а=-2, b=5 існує пара q=-1 і r=3, тобто -2=5·(-1)+3.
Для чисел а=-8, b=4 існує пара q=-2 і r=0, тобто -8=4·(-2)+0.
Для заданого натурального числа m, де m>1, множину Z можна розбити на m підмножин, які не перетинаються, таким чином, що першій підмножині належатимуть усі числа, які при діленні на m, дають в остачі 0.
Теорема: Якщо цілі числа а і b при діленні на натуральне число m дають однакові остачі, то .
Доведення: Нехай де
. Тоді
. Звідси
.
Означення: Цілі числа a і b називають конгруентними за модулем m (mєN), якщо остачі при діленні їх на число m рівні.
- такий запис називають конгруенцією. Читають так:
“a конгруентне b за модулем m”.
Наприклад, ,
,
,
.
Теорема: Для того, щоб цілі числа a і b були конгруентними за модулем m, (mєN), необхідно й достатньо, щоб різниця a-b ділилася націло на m.
3. Розв’язування вправ
- вправа «Я знаю…» (учні за бажанням розв’язують вправи біля дошки)
1. Знайдіть неповну частку і остачу при діленні числа a на число b, якщо:
1) a=253, b=19; 3) a=-26, b=3;
2) a=8, b=13; 4) a=-1, b=7.
2. Які остачі можна отримати при діленні цілого числа на 7?
3. Дано множини A, B, X, які попарно не перетинаються, і A B X =Z. Знайдіть множину Х, якщо А = , B =
.
4. Яку остачу при діленні на 3 дає число виду 3k-2, де k Z?
5. Відомо, що при діленні числа m на 18 остача дорівнює 11. Знайдіть остачу при діленні числа m: 1)на 2; 2)на 3; 3)на 6;4)на 9.
6. Число m кратне 6. Чому може дорівнювати остача при діленні числа m на 18?
7. Числа a при діленні на 6 дає в остачі 3, а при діленні на 4 дає в остачі 1. Знайдіть остачу при діленні числа a на 12.
8. Число m дає рівні остачі при діленні на 3 і на 4. Чому може дорівнювати остача при діленні числа m на 12?
9. Замість знака запишіть таке найменше невід’ємне число, щоб отримана конгруенція була правильною:
1) 56 (mod 8); 4) 3(mod 15);
2) 23 (mod 7); 5) -2(mod 18);
3) -43 (mod 5); 6) 6(mod 2);
10. Відомо, що а -11(mod 8), b -2(mod 8). Знайдіть остачу при діленні на 8 числа: 1) a+b; 2) a-b; 3) 2a-3b; 4) ab; 5) a2; 6) b3.
4. Домашня робота
1) Знайдіть неповну частку і остачу при діленні числа m на число n, якщо:
1) m=9, n=15; 2) m=-31, n=10; 3) m=-6, n=11.
2) Задайте всі множини, кожна з яких складається з усіх цілих чисел, які мають
однакові остачі при діленні на 4.
3) Яку остачу при діленні на 6 дає число виду 6n-1, де n Z?
4) Відомо, що при діленні числа n на 16 остача дорівнює 9.
Знайдіть остачу при діленні числа n: 1)на 2; 2)на 4; 3)на 8.
5) Число n кратне 4. Чому може дорівнювати остача при діленні числа n на 16?
6) Числа b при діленні на 5 дає в остачі 2, а при діленні на 3 дає в остачі 1.
Знайдіть остачу при діленні числа b на 15.
7) Замість знака запишіть таке найменше невід’ємне число, щоб отримана конгруенція була правильною:
1) 84 (mod 9); 2) -26 (mod 6); 3) -3(mod 11);
8) Відомо, що а -4(mod 6), b -9(mod 6). Знайдіть остачу при діленні на 6 числа: 1) 3a+4b; 2) a2-b; 3) b2+ ba.
Використані джерела:
1. Алгебра підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики,
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків, «Гімназія», - 2009
2. Алгебра та початки аналізу 10 клас, профільний рівень
А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків «Гімназія», - 2010
3. О.Ю. Карік, Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків, математика 5-7, Харків, - «Основа», - 2008