Урок на тему "Прості і складені числа "

ПРОСТІ ТА СКЛАДЕНІ ЧИСЛА

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА „Усе впорядковується відповідно до чисел” Піфагор Самоський Піфагор та його учні надавали числам дуже великого значення, вважаючи, що з їх допомогою можна виразити всі закономірності Всесвіту. Особливу увагу піфагорійці приділяли натуральним числам, оскільки натуральний ряд чисел містить дуже багато цікавого і ще не розгаданого. Тому бажаємо вам збагатити свої знання, поринувши у світ натуральних чисел.

9 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 36 6 1; 2; 3; 6; 9; 18 18 4 1; 3; 5; 15 15 6 1; 2; 3; 4; 6; 12 12 2 1; 11 11 4 1; 2; 4; 8 8 2 1; 7 7 4 1; 2; 3; 6 6 2 1; 5 5 3 1; 2; 4 4 2 1; 3 3 2 1; 2 2 1 1 1 Кількість дільників Дільники Число НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА Дослідницька робота Знайдемо всі дільники натуральних чисел, поданих у таблиці і вкажемо їх кількість. Спостереження: число 1 має один дільник; числа 2; 3; 5; 7; 11 – два дільники; числа 4; 6; 12; 15; 18; 36 – більше двох дільників. Висновок: По кількості дільників натуральні числа можна розбиті на 3 групи: - числа, що мають два різних натуральних дільники; числа, що мають більше двох натуральних дільників; число, що має лише один дільник.

Натуральні числа 1 Прості числа Складені числа НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА Натуральне число називається ПРОСТИМ, якщо воно має тільки два різних натуральних дільники: одиницю і саме це число. Натуральне число називається СКЛАДЕНИМ, якщо воно має більше ніж два натуральних дільники. Число 1 має тільки один натуральний дільник: саме це число. Тому воно не відноситься ні до простих, ні до складених.

ПРОСТІ ТА СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Як встановити, є дане число простим або складеним? Для цього потрібно встановити, чи має це число хоча б один дільник, відмінний від самого числа і 1. Якщо такого дільника немає, то число просте, в іншому разі воно складене. Але находження дільників для великих чисел – справа нелегка. Тому для спрощення роботи складена таблиця простих чисел. Найбільше просте число в даній таблиці 997.

997 853 701 571 433 307 181 73 991 839 691 569 431 293 179 71 983 829 683 563 421 283 173 67 977 827 677 557 419 281 167 61 971 823 673 547 409 277 163 59 967 821 661 541 401 271 157 53 953 811 659 523 397 269 151 47 947 809 653 521 389 263 149 43 941 797 647 509 383 257 139 41 937 787 643 503 379 251 137 37 929 773 641 499 373 241 131 31 919 769 631 491 367 239 127 29 911 761 619 487 359 233 113 23 907 757 617 479 353 229 109 19 887 751 613 467 349 227 107 17 883 743 607 463 347 223 103 13 881 739 601 461 337 211 101 11 877 733 599 457 331 199 97 7 863 727 593 449 317 197 89 5 859 719 587 443 313 193 83 3 857 709 577 439 311 191 79 2 ТАБЛИЦЯ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ

ПРОСТІ ТА СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Завдання за таблицею простих чисел (усно): Назвіть перші десять простих чисел. Назвіть саме найменше просте число? Парним чи непарним є це число? Знайдіть ще парні прості числа. Зробіть висновки. Чи є числа 87; 47 простими? Назвіть всі прості числа, які більші за 40, але менші за 50. Яке просте число слідує за числом 14? Знайдіть пари простих чисел, різниця між якими дорівнює 2. Знайдіть трійки простих чисел такі, щоб різниця між кожним наступним і попереднім дорівнювала 2.

ПРОСТІ ЧИСЛА Ви, мабуть, звернули увагу, що прості числа в ряду натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, а в других – менше. Але чим далі ми просуваємося по числовому ряду, тим рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє саме велике просте число? Давньогрецький математик Евклід (бл. 365 — бл. 300 до н. е.) у своїй книзі „Начала”, що була протягом двох тисяч років головним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом іде більше просте число. Найбільшого простого числа не існує.

РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Так як прості числа відіграють важливу роль у вивченні всіх інших чисел, потрібно було скласти їх список. Звісно неможливо було отримати список усіх простих чисел: ми вже знаємо, що найбільшого простого числа не існує. Але можна спробувати скласти список усіх простих чисел, що не перевищують, наприклад, мільйона. Над тим, як складати такі списки, замислився давньогрецький вчений і письменник ЕРАТОСФЕН (Ερατοσθένης, Eratosthenes) (бл.275 -194 до н. е.), що жив трохи пізніше Евкліда. Один із надзвичайно різнобічних вчених античності. Ератосфен займався філологією, філософією, хронологією, математикою, астрономією, географією, сам писав вірші і музику. За це сучасники дали йому прізвисько Пентатл, тобто Багатоборець. Інше його прізвисько, Бета, тобто „другий”, очевидно, свідчило про те, що у всіх науках Ератосфен досягає не найвищого, але чудового результату.

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Для відшукання простих чисел Ератосфен придумав простий метод. Він записував усі числа від 1 до деякого числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складеним числом, далі викреслював через одне всі числа, що йшли після 2 (тобто числа, що кратні 2). Першим числом, що лишалося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два усі числа, що йшли після 3 (тобто числа, що кратні 3). В решті решт невикресленими залишалися тільки прості числа. Для першої сотні це: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Оскільки греки робили написи на покритих воском табличках або на натягнутому папірусі і чисел не викреслювали, а виколювали голкою, то таблички в кінці обчислення нагадували решето. Тому метод Ератосфена називають „решетом Ератосфена”. В цьому решеті „відсіюються” прості числа від складених. Таким чином і в наш час складаються таблиці простих чисел, але вже за допомогою обчислювальних машин. На даний час складено список перших 50 мільйонів простих чисел.

ПРОСТІ ДВІЙНІ ТА ТРІЙНІ Завдання: Користуючись таблицею простих чисел підрахуйте, скільки простих чисел в кожній з перших десяти сотень (тобто серед чисел від 1 до 100, від 101 до 200 і т. д.). Чи помітили ви деякі закономірності в розташуванні простих чисел? Висновок: Два простих числа, різниця яких дорівнює 2, називають „близнюками” або просто „двійнями”. Завдання: Знайдіть за таблицею всі пари „чисел-близнюків”. Питання: Які з них самі найбільші? Скільки таких пар є серед перших 500 натуральних чисел? Серед чисел від 500 до 1000?

ПРОСТІ ДВІЙНІ ТА ТРІЙНІ Всі пари „простих-близнюків”, окрім (3; 5) мають вид: 6n ± 1. Перші прості „числа-близнюки”: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

На даний момент найбільшими відомими простими „близнюками” є числа 2003663613 · 2 195000 ± 1. Вчені до сих пір не знають, чи існує сама велика пара “простих-близнюків”. „Простими трійнями” називають такі три числа, у яких різниця між кожним наступним і попереднім дорівнює 2. Знайдіть такі числа в таблиці простих чисел.