Тема уроку. Кут між площинами.

Мета уроку: формування поняття кута між площинами та вмінь учнів знаходити кути між площинами.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1) Що таке кут між прямою і площиною?

2) Чому дорівнює кут між прямою і площиною, якщо відомо, що пряма:

а) паралельна площині;

б) перпендикулярна до площини?

3) В яких межах знаходиться кутова міра кута між прямою і пло­щиною?

4) Чи правильно, що:

а) пряма, яка перетинає паралельні площини, перетинає їх під однаковими кутами;

б) площина, яка перетинає паралельні прямі, перетинає їх під однаковими кутами?

2. Відповіді на запитання учнів, що виникли в них при виконанні до­машніх задач.

Задача № 36.

Дано: АВ = а; АС α ; 1) <ABC = 45°; 2) <ABC = 60° ; <ABC = 30° (рис. 284).

Знайти: ВС.

Розв'язання 

1) BC = AB cos <ABC = a cos 45° = ;

2) ВС = AB cos <ABC = a cos60° = ;

3) BC = AB cos <ABC = a cos 30° = .

B і д п о в і д ь. а) ; б) ; в) .

Задача № 38.

Дано: АО α; АО = a; <ABO = 30°; <ACO = 45°;     

<CAB = 90° (рис. 285).

Знайти: ВС.

Розв'язання

1) Із ΔАОВ АВ = = = 2a.

2) Із ΔАОС АС = = = a.

3) Із ΔАВС ВС = = = а.

Відповідь. а.

Задача № 40.

Дано: АО α ; АО = а ; <ABO = <ACO = 30°; <BOC = 120° (рис. 286).

Знайти: ВС.

Розв'язання

1) ΔАОВ = ΔАСО, звідси BO = CO.

2) Із ΔАОС  OC = AO ctg <ACO = a ctg <30° = a.

3) ΔВОС — рівнобедрений. Проведемо OK ВС,

тоді <BOK = <KOC = 120° : 2 = 60° .            

4) Із ΔОKС КС = ОС sin <KOC = аsin60° ==.

Тоді ВС = 2КС = 2 · = 3а.

Відповідь. 3а.

3. Математичний диктант.

SO (ABO), SA і SB — похилі, SO = а , <AOB = 90°.

Варіант 1. <SAO = 60°, <SBO = 45° (рис. 287).

Варіант 2. <SAO = 45°, <SBO = 30° (рис. 288).

Користуючись зображенням, знайдіть:

1) проекцію похилої SA на площину АОВ; (2 бали)

2) довжину похилої SA; (2 бали)

3) проекцію похилої SB на площину АОВ; (2 бали)

4) довжину похилої SB; (2 бали)

5) відстань між основами похилих; (2 бали)

6) відстань між прямими SO і АВ. (2 бали)

Відповідь.  Варіант 1. 1) ; 2) ; 3) а; 4) a; 5) ; 6) .

Варіант 2. 1) а; 2) а; 3) а; 4) 2а; 5) 2а; 6) .

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Поняття кута між площинами

Нехай дано дві площини α і β, які пере­тинаються по прямій с (рис. 289). Проведемо площину, яка перпендикулярна до прямої с, вона перетне площини α і β по прямих а і b. Кут між прямими а і b називається кутом між площинами α і β.

Кут між двома площинами, які перетинаються,— це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпенди­кулярною до лінії перетину даних площин. Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°. Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90°. Отже, якщо φ — кут між площинами, то 0°φ90°. Далі учні самостійно знайомляться з доведенням того, що означений так кут між площинами не залежить від вибору січної площини, за під­ручником (§ 4, п. 33).

Розв'язування задач

1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і ABD (рис. 290).

Відповідь, а) 90°; б) 45°; в) arctg ; г) 2arctg ; д) 0°; е) 90°.

2. Задача № 43 із підручника (с. 57).

3. Задача № 44 із підручника (с. 57).

4. Задача № 46 із підручника (с. 58).

5. Задача № 47 із підручника (с. 58).

III. Домашнє завдання

§ 4, п. 33; контрольне запитання № 16; задачі № 42, 45 (с. 57).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. Дайте означення кута між площинами.
2. Чи залежить величина кута між площина­ми від вибору січної площини?
3. Площини α і β перетинаються по пря­мій т (рис. 291), точка А належить пло­щині α, точка В — площині β, точка С — прямій т; АС т, ВС т, <ACB = 60°. Укажіть, які з наведених тверджень пра­вильні, а які — неправильні:

а) площина АВС перпендикулярна до пря­мої т;

б) кутом між площинами α і β є кут між прямими ВС і т;

в) кут між площинами α і β дорівнює куту між прямою АС і пло­щиною β;

г) кут між площинами α і β більший 60° ;

д) кут між площинами α і β дорівнює 120°.