Тема уроку. Кут між площинами.
Мета уроку: формування поняття кута між площинами та вмінь учнів знаходити кути між площинами.
Обладнання: стереометричний набір, модель куба.
1. Фронтальне опитування.
1) Що таке кут між прямою і площиною?
2) Чому дорівнює кут між прямою і площиною, якщо відомо, що пряма:
а) паралельна площині;
б) перпендикулярна до площини?
3) В яких межах знаходиться кутова міра кута між прямою і площиною?
4) Чи правильно, що:
а) пряма, яка перетинає паралельні площини, перетинає їх під однаковими кутами;
б) площина, яка перетинає паралельні прямі, перетинає їх під однаковими кутами?
2. Відповіді на запитання учнів, що виникли в них при виконанні домашніх задач.
Задача № 36.
Дано: АВ = а; АС α ; 1) <ABC = 45°; 2) <ABC = 60° ; <ABC = 30° (рис. 284).
Знайти: ВС.
1) BC = AB cos <ABC = a cos 45° = ;
2) ВС = AB cos <ABC = a cos60° = ;
3) BC = AB cos <ABC = a cos 30° = .
B і д п о в і д ь. а) ; б)
; в)
.
Задача № 38.
Дано: АО α; АО = a; <ABO = 30°; <ACO = 45°;
<CAB = 90° (рис. 285).
Знайти: ВС.
1) Із ΔАОВ АВ = =
= 2a.
2) Із ΔАОС АС = =
= a
.
3) Із ΔАВС ВС = =
= а
.
Відповідь. а.
Задача № 40.
Дано: АО α ; АО = а ; <ABO = <ACO = 30°; <BOC = 120° (рис. 286).
Знайти: ВС.
1) ΔАОВ = ΔАСО, звідси BO = CO.
2) Із ΔАОС OC = AO ctg <ACO = a ctg <30° = a.
3) ΔВОС — рівнобедрений. Проведемо OK ВС,
тоді <BOK = <KOC = 120° : 2 = 60° .
4) Із ΔОKС КС = ОС sin <KOC = аsin60° =
=
.
Тоді ВС = 2КС = 2 · = 3а.
Відповідь. 3а.
3. Математичний диктант.
SO (ABO), SA і SB — похилі, SO = а , <AOB = 90°.
Варіант 1. <SAO = 60°, <SBO = 45° (рис. 287).
Варіант 2. <SAO = 45°, <SBO = 30° (рис. 288).
Користуючись зображенням, знайдіть:
1) проекцію похилої SA на площину АОВ; (2 бали)
2) довжину похилої SA; (2 бали)
3) проекцію похилої SB на площину АОВ; (2 бали)
4) довжину похилої SB; (2 бали)
5) відстань між основами похилих; (2 бали)
6) відстань між прямими SO і АВ. (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1) ; 2)
; 3) а; 4) a
; 5)
; 6)
.
Варіант 2. 1) а; 2) а; 3) а
; 4) 2а; 5) 2а; 6)
.
Нехай дано дві площини α і β, які перетинаються по прямій с (рис. 289). Проведемо площину, яка перпендикулярна до прямої с, вона перетне площини α і β по прямих а і b. Кут між прямими а і b називається кутом між площинами α і β.
Кут між двома площинами, які перетинаються,— це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпендикулярною до лінії перетину даних площин. Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°. Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90°. Отже, якщо φ — кут між площинами, то 0°φ
90°. Далі учні самостійно знайомляться з доведенням того, що означений так кут між площинами не залежить від вибору січної площини, за підручником (§ 4, п. 33).
Розв'язування задач
1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і ABD (рис. 290).
Відповідь, а) 90°; б) 45°; в) arctg ; г) 2arctg
; д) 0°; е) 90°.
2. Задача № 43 із підручника (с. 57).
3. Задача № 44 із підручника (с. 57).
4. Задача № 46 із підручника (с. 58).
5. Задача № 47 із підручника (с. 58).
§ 4, п. 33; контрольне запитання № 16; задачі № 42, 45 (с. 57).
а) площина АВС перпендикулярна до прямої т;
б) кутом між площинами α і β є кут між прямими ВС і т;
в) кут між площинами α і β дорівнює куту між прямою АС і площиною β;
г) кут між площинами α і β більший 60° ;
д) кут між площинами α і β дорівнює 120°.