Урок на тему "Похідна та її застосування"

“Похідна та її застосування”

 

Вид уроку: узагальнення та систематизація знань, умінь і навичок.

Мета уроку:

Навчальна мета: Систематизувати знання учнів з даної теми, сформувати навички та вміння знаходити похідні функції. Орієнтувати учнів на знаходження і вивчення зв’язків між фізичними та математичними поняттями. Ознайомити учнів з історичним матеріалом, зв’язаним з поняттям “похідна”, викликати в учнів зацікавленість предметом алгебри і початків аналізу, бажання вивчати його.

Виховна мета: в процесі виконання вправ необхідно систематично звертати увагу учнів на оформлення записів на дошці і в зошитах, правильно використовувати символіку та термінологію. Стимулювати їхню пізнавальну діяльність, сприяти формуванню і розвитку системних знань, колективних міжособистих відносин. 

Розвиваюча мета: Розвивати творче мислення у учнів.

 

Основні знання та вміння.

Знати: означення похідної, фізичний та геометричний зміст похідної, правила диференціювання.

Вміти знаходити похідні функції, складати рівняння дотичної до графіка даної функції в даній його точці.

 

Методичне та матеріальне забезпечення:  таблиця “Похідна та її застосування в фізиці та техніці”, таблиця “Знайдіть пропущені функції”.       

 

Роздатковий матеріал: картки-завдання для самостійної роботи.

 

Міжпредметна інтеграція: фізика, геометрія, історія математики

 

                                                                  Хід уроку.

І. Організаційний момент.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів, повідомлення теми, мети і завдань.

Пряме не може бути кривим, а криве прямим. І все ж диференціальне числення, всупереч усім протестам людського розуму, прирівнює за певних умов пряме і криве одне до одного і досягає цим таких успіхів, яких ніколи не досягнути здоровому людському розумові.

Значення математичного аналізу визначається тим, що саме його засобами будуються математичні моделі, які описують швидкоплинні процеси, які неперервно змінюють свій стан. Одним із основних понять математичного аналізу є поняття похідної, якій ми сьогодні й присвятили сьогоднішнє підсумкове уроку, тема якого “Похідна та її застосування”. На цьому занятті ми пригадаємо означення похідної, правило знаходження похідних, історичне виникнення диференціального числення, та з’ясуємо де можна використовувати знання про похідну.   

ІІІ. Вступне слово викладача.

Сніжною різдвяною ніччю 1642 р. в Англії в сім’ї фермера було велике сум’яття. Народився хлопчик такої величини, що за англійською ідіомою його можна було викупати в пивній кружці.

 Батько помер ще до народження сина. Хлопчик був кволою дитиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому було 3 роки, мати вдруге вийшла заміж і виїхала з ферми. Дитина залишилася з бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого онука. Першу науку він проходив у сільській школі, а в 12 років бабуся відда­ла його до найближчої  міської школи у м. Грантем. Спочат­ку хлопчик учився погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один з його однолітків під час суперечки побив його. Він дуже пере­живав, що не може відплатити, бо кривдник був значно сильнішим. Тоді хлопчик вирішив зробити інакше: перевер­шити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі, і навіть директор школи при­людно визнали його найкращим учнем.

В 22 роки він отримав звання бакалавра мистецтв. Був час Великої чуми і він переїхав в рідне містечко, де прожив 2 роки. Там за цей час він відкрив, що біле світло розкладається на промені різних кольорів, сформулював закон всесвітнього тяжіння і вивів кеплерові закони руху планет, відкрив математичний аналіз.

У повсякденному житті він додержувався суворого режи­му. Цим загартував свій організм і до 80 років був міцним і здоровим. Коли вченому було близько 80 років, він захворів на так звану кам 'яну хворобу вилікувати яку було немож­ливо і яка  в останні тижні життя завдала йому важких страждань.

3І березня 1727 року великої людини не стало. Він помер у вісімдесят чотири роки. Геніального вченого урочисто хо­вали у Вестмінстерському абатстві, де ховають видатних і коронованих осіб Англії. На пам 'ятнику вибито віршований напис, що закінчується словами: «Нехай радіють смертні, що серед них жила така прикраса роду людського».

Запитання:

1. Як ви думаєте, хто цей вчений?

 

Ще один видатний вчений який зробив величезний внесок в розвиток диференціального числення, народився 1 липня 1646 ро­ку у Лейпцігу в сім’і професора етики і юрисконсульта  Лейпцігського університету.  Коли Готфріду було 7 років, помер його батько. Малий хлопець настільки захопився чи­танням, що зовсім покинув дитячі ігри й забави, зранку до вечора не виходив з бібліотеки. Ніби граючись, він само­тужки вивчив латинську мову. Після латинської  він швидко вивчив і грецьку мову. У 14 років юнак часто висту­пав на вечорах у гімназії, де вчився, з власними віршами, написаними латинською або грецькою мовами. У 15 років він став студентом Лейпцігського університету, але, щоб кра­ще вивчити математику, переїхав до Ієни. У 17 років він дістав звання бакалавра, а через рік — ступінь магістра філософії. У 20 років ця молода людина уже була тоді доктором права.

Наукова діяльність вченого багатогранна. Він, напри­клад, мріяв про створення засобами математичної сим­воліки єдиної мови, спільної для всіх наук.

Та найвизначніших успіхів, водночас з Ньютоном і неза­лежно від нього, досяг у розробці основ дифе­ренціального і інтегрального числення.

  Часом дуже важко відокремити те, що зробив цей вчений від того, що , створив Ньютон, у розвитку математики як науки.

Диференціальне та інтегральне числення як закони дій над змінними величинами виявилися дуже корисними не тільки для математики, а й для

 розв 'язання багатьох практичних задач з фізики, механіки, геодезії тощо.

Обставини смерті цієї видатної людини загадкові. 14 листопада 1716 року вчений почував себе гірше, ніж звичай­но. Зайшов провідати його давній знайомий — єзуїт, який приніс саморобні ліки — настойку з якогось зілля. Вчений випив її, але відразу став почуватися гірше. Поки розшука­ли і привели лікаря, вчений помер. За труною людини, яка в свій час була гордістю європейської науки, йшла тільки од­на особа — секретар ученого.

Запитання:

1. Чи здогадалися ви, про кого йде мова?

 

 В цей час по черзі в кабінет заходять два учні, одягнені приблизно так, як одягалися у XVII столітті. Один учень з книгою, інший із згорнутим великим аркушем паперу. Один з них сідає за стіл і зосереджено якийсь час працює. Інший, розгорнувши папір, щось намагається розібрати в на­писаному. Потім учні одночасно підходять до дошки і почи­нають писати. Один учень трактує означення похідної, вихо­дячи з фізичних явищ, інший -  з геометричних розглядає дотичну до графіка якоїсь функції. Написавши та намалю­вавши малюнки, учні висловлюють кожний по-своєму оз­начення похідної.                                 

Запитання

 3. Як ви думаєте, чи випадково наші вчені, майже одночасно, зайшли в клас і одночасно почали пра­цювати біля дошки?

Запитання

4. Якщо ви звернули увагу, в записах вчених немає позначення похідної. Чому?

Запитання

5. Хто і в якому році ввів термін «похідна» та його позначення?

Учні додають до відповідей дані з біографії французького математика Жозефа Луї Лагранжа, який в, 1791 році ввів позначення похідної.

 Запитання

6. Що ми називаєм похідною?

 Запитання

7. Переходимо до практичних завдань.

 

 

Які, на вашу думку, функції пропущені в даній таблиці?

 

 

 

7х3 – 5х       соsx       x sinx

21х2 – 5      -sinx         ?

42х        -cosx             ?

 

 

Запитання.

8. Який же геометричний зміст похідної?

 

    Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f^|(x₀).

 

Запитання.

9. Що ми називаємо дотичною до графіка? Запишіть рівняння дотичної?

 

Запитання.

10. В чому полягає фізичний зміст похідної?

 

Похідна від координати по часу є швидкість.

 

Запитання.

11. Як називається похідна функція від швидкості по часу?

 

Прискорення.

 

    За допомогою похідних функцій, які характеризують фізичні явища задаються й інші фізичні величини. Наприклад, потужність (за означенням) є похідна від роботи по часу. За характеристику розподілу густини стержня в залежності від довжини l приймають лінійну густину, яка є похідною від маси. За аналогією сила струму є похідною від заряду.

     Всі формули записуються в таблицю.

 

Геометричний зміст похідної	k = tg  = f| (x0)
Дотична до графіка функції	y = f (x0) + f| (x0) (x – x0)
Фізичний зміст похідної	 (t) = s| (t)
Прискорення матеріальної точки	a (t) = | (t)
Лінійна густина	d (l) = m| (l)
Потужність	N (t) = A| (t)
Сила струму	I (t) = q| (t)

 

 

 

  Розглянемо всі ці застосування на прикладах:

1. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом s (t) = t³ – 4t² . Знайти

     швидкість і прискорення в момент t = 5 с. Переміщення вимірюється в метрах.

 

       Розв’язання.

 

         v = s^| (t) = 3t² – 8t                        a = v^| (t) = 6t – 8

         v (5) = 35 м/с                               a (5) = 22 м/с²

 

2. Обертання тіла навколо осі здійснюється за законом  (t) = 3t² – 4t +2. Знайти

кутову швидкість  (t) в довільний момент часу t та при t = 4 с.

 

Розвя’зання.

 

 (t) = ^| (t) = 6t – 4                    

 (4) = 24 – 4 = 20 (рад/с)

 

3. Знайти силу F, яка діє на матеріальну точку з масою m яка рухається

     прямолінійно за законом x (t) = 2t³ – t²  при t = 2.

 

Розв’язання.

 

F (t) = ma

v = x^| (t) = 6t² – 2t

a = v^| (t) = 12t – 2

a (2) = 22 (м/с²)

F = 22m

 

4. Відомо, що для будь-якої точки С стержня АВ довжиною 20 см., яка знаходиться від точки А на відстані l, маса куска стержня АС в грамах визначається за формулою m (l) = 3l² + 5l. Знайти лінійну густину стержня:

а) в середині відрізка АВ;

б) в кінці В стержня.

 

Розв’язання.

 

d (l) = m^| (l)

d (l) = 6l + 5

d (10) = 65 (г/см)

d (20) = 125 (г/см)

 

5. Знайти рівняння дотичної до графіка функції f (x) = x³ – 2x² + 1  в точці

x₀ = 2.

 

 

Розв’язання.  

 

f (x₀) = f (2) = 2³ – 2 _* 2² +1 = 1

f^| (x) = 3x² – 4x

f^| (x₀) = f^| (2) = 3 _* 2² – 4 _* 2 = 4

 

Підставивши ці числа в рівняння дотичної отримаємо рівняння: y = 4x – 7.

 

6. Тіло масою 10 кг. рухається  прямолінійно за законом s = 3t² + t + 4. Знайти

кінетичну енергію тіла  через 4 секунди після початку руху.

 

Розв’язання.

 

v = s^| (t) = 6t  + 1

v (4) = 6 _* 4 + 1 = 25 (м/с)

(Дж)

 

7. Сила струму І змінюється в залежності від часу t за законом І = 0,4t².

Знайти швидкість зміни сили струму наприкінці 8 секунди.

 

Розв’язання.

 

I^| (t) = 0,8t = 0,8 _* 8 = 6,4 (А/с)

 

Далі проводиться самостійна робота, варіанти якої додаються ( якщо є час)

 

VI. Підсумок уроку   аналіз та оцінювання відповідей учнів.

 

Д/з. 

 

 

 

 

№ 1

 

 

1. Знайти похідні функції:

 

а) f(x) = 3x³ – 0,5x² – 16

б) f(x) =

в) f(x) =

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = x² – 2x  в точці x₀ = 3

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ – 3t. Обчислити:

 

а) швидкість в будь-який момент часу t;

б) швидкість в момент t = 2 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   № 2

 

1. Знайти похідні функції:

 

а) f(x) =

б) f(x) = 5x³ – 3x² + x – 1

в) f(x) = 2cos2x

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = x³ + 3x² +1 в точці x₀ = 2

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 5t³ + 11t – 2. Обчислити:

 

а) швидкість в будь-який момент часу t;

б) прискорення в будь-який момент часу t.

 

 

№ 3

 

1. Знайти похідні функції:

 

а) f(x) = 3x² + 4x + 8

б) f(x) =

в) f(x) = sin²x + cosx

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = x³ – 3x²  в точці x₀ = 1

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 3t³ + 4t² +5.  Обчислити:

 

а) швидкість в будь-який момент часу t;

б) прискорення в будь-який момент часу t.

 

 

 

 

 

 

 

№ 4

 

1. Знайти похідні функції:

 

а) f(x) = cos²x + 1

б) f(x) =

в) f(x) = 5x⁸ +3x²

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = -5x² + 8x  в точці x₀ = 3

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 3t⁴ – 2t + 3. Обчислити:

 

а) швидкість в будь-який момент часу t;

б) швидкість в момент t = 1 с.

 

 

 

 

№ 5

1.  Знайти похідні функції:

 

а) f(x) =

б) f(x) = сosx + 3sinx

в) f(x) = (2x +5)⁸

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = 6x² + 4x  в точці x₀ = 3

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ + 8t² + t – 1. Обчислити:

 

а) швидкість в  момент часу t = 1 с;

б) прискорення в момент t = 1 с.

 

 

 

№ 6

 

1. Знайти похідні функції:

 

а) f(x) =

б) f(x) =

в) f(x) = sinx (3x – 5)

 

2. Написати рівняння дотичної до графіка функції y = 2x² – 2x + 3  в точці x₀ = 1

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 5t² – 9t + 31. Обчислити:

 

а) швидкість в момент часу t =2 с;

б) прискорення.