Урок на тему: "Прості та складені числа. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа."

Про матеріал

Дана розробка складається з двох уроків на тему: "Прості та складені числа. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа. "

Мета: ознайомити учнів з основними властивостями простих чисел та теоремами, що з ними пов'язані; навчити використовувати ці властивості під час розв'язання різноманітних вправ; вдосконалити вміння та навички розв'язувати завдання на подільність чисел за допомогою малої теореми Ферма.

Зміст архіву

10 прості і складені числа .doc doc
9 прості і складені числа .doc doc

Перегляд файлу

Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»

для 8 класів з поглибленим вивченням математики

підготувала вчитель математики

НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів - гімназія

Дем´янюк Ганна Володимирівна

Урок №10

Тема: Прості та складені числа. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа.

Мета: Вдосконалити вміння та навички розв’язувати завдання на подільність чисел за допомогою основних властивостей простих чисел, малої теореми Ферма.

Тип уроку: урок формування навичок і вмінь

Обладнання: підручник, картки

Хід уроку:

1. Актуалізація опорних знань

- (у формі гри «Мікрофон»)

Які числа називають простими? складеними?
Які властивості простих чисел вам відомі?
В чому полягає основна теорема арифметики?
Сформулюйте малу терему Ферма

2. Розв’язування вправ

- (робота в парах)

1) Знайдіть усі прості числа p такі, що числа і були також прості

2) Числа a та b такі, що .Доведіть, що число є складеним.

3) Цілі числа a та b такі, що значення виразу кратне 11. Доведіть. Що значення виразу кратне 11.

4) Числа є простими. Знайдіть .

5) Доведіть, що число є складеним.

- Завдання підвищеного рівня складності (окремо на картках учням з високим рівнем знань)

1) Доведiть, що iснує безлiч простих чисел, при дiленнi яких на 3 остача дорiвнює 2.

2) Доведiть, що число n = p₁^m1p₂^m2 p_k^m_k , записане в канонічному виглядi,

має (m₁+1)(m₂+1)(m_k+1) натуральних дiльникiв.

3) Знайдіть усі прості числа , які задовільняють рівняння

4) Знайдіть усі прості числа такі, що число є точним квадратом натурального числа.

5) Доведіть, що число кратне 35.

3. Самостійна робота ( завдання на картках)

Варiант 1

Варiант 2

1. Знайдiть найбiльший спiльний дiльник i найменше спільне кратне чисел 2736 i 1140.

2. Доведiть, що при будь-якому натуральному n дріб нескоротний.

3. Вiдомо, що числа p, p+4, p+14 — простi. Знайдiть p.

4. Доведiть, що якщо p— просте число,

p> 3, то p²-1 дiлиться на 12.

5. Знайдiть кiлькiсть дiльникiв числа 2700.

6. Доведiть, що в ряду натуральних чисел iснують 2003 складених чисел, якi йдуть поспiль.

1. Знайдiть найбiльший спiльний дiльник i найменше спiльне кратне чисел 1020 i 1224.

2. Доведiть, що при будь-якому натуральному n дрiб нескоротний.

3. Вiдомо, що числа p, p+10, p+20 — простi. Знайдiть p.

4. Доведiть, що якщо p, q — простi числа, p>3, q>3, то p²-q²дiлиться на 24.

5. Знайдiть кiлькiсть дiльникiв числа 3600.

6. Доведiть, що в ряду натуральних чисел iснують 2008 складених чисел, якi йдуть поспiль.

4. Домашня робота

1) Знайдіть усі прості числа p такі, що числа і були також прості.

2) Числа m та n такі, що .Доведіть, що число є складеним.

3) Цілі числа m та n такі, що значення виразу кратне 17. Доведіть, що значення виразу кратне 17.

4) Числа є простими. Доведіть, що число теж просте.

5) Доведіть, що число є складеним.

Перегляд файлу

Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»

для 8 класів з поглибленим вивченням математики

підготувала вчитель математики

НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів - гімназія

Дем´янюк Ганна Володимирівна

Урок №9

Тема: Прості та складені числа. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа.

Мета: ознайомити учнів з основними властивостями простих чисел та теоремами, що з ними пов’язані; навчити використовувати ці властивості під час розв’язання різноманітних вправ

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

Обладнання: підручник

Хід уроку:

1. Актуалізація опорних знань (робота біля дошки)

З’ясуйте, чи є число 353 простим.
Якi з чисел, розташованих мiж числами 2320 i 2350, є простим?
Доведiть, що якщо число n—складене, то i 2ⁿ- 1—складене.
Числа p i 2p+ 1 — простi (p> 3). Доведiть, що число 4p+1 — складене.
Знайдiть усi двоцифровi числа, такi що ab + ba є точним квадратом.

2. Пояснення нового матеріалу

Розглянемо деякі властивості простих чисел.

Теорема: Якщо просте число ділиться націло на порсте число , то .

Доведення. Число має тільки два натуральних дільники: 1 і .Оскільки ,то .

Теорема: Для будь-якого натурального числа справедливе одне з двох тверджень: або НСД .

Доведення: Число має тільки два натуральних дільники: 1 і , отже НСД

Може набувати тільки двох значень: 1 і . Якщо НСД , то .

Теорема: якщо , де просте число, то або , або .

Доведення: Якщо , то теорему доведено. Якщо число не кратне числу, то за попередньою теоремою маємо, що НСД . Тоді .

Наслідок: Якщо добуток натуральних чисел ділиться націло на порсте число , то хоча б один з множників ділиться на число .

Інтуїтивно зрозуміло, що будь-яке складене число можна подати у вигляді добутку простих чисел (розкласти на прості множники). Цей факт підкреслює особливу роль простих чисел як елементів. З яких будується будь-яке натуральне число. Тому теорему, яка обгрунтовує існування такого розкладу, називають основною теоремою арифметики. Першим її довів к.Ф.Гаусс.

Теорема (основна теорема арифметики):

Будь-яке натуральне число, відмінне від 1, або є простим. Або може бути подане у вигляді добутку простих чисел. Два розклади натурального числа на прості множники можуть відрізнятися один від одного лише порядком слідування множників.

Означення: Розклад натурального числа у вигляді , де натуральні числа, - попарно різні прості числа, називають канонічним розкладом натурального числа.

Теорема (мала теорема Ферма): Якщо натуральне число не ділиться націло на просте число , то .

Наслідок: Для будь-якого натурального числа і простого числа маємо

3.Розв´язування вправ (разом з вчителем)

1. Знайдіть усі такі натуральні числа , що числа є простими

Розв´язання: Оскільки різниця жодних з двох даних чисел не ділиться націло на 3, то всі вони дають різні остачі при діленні на 3. Отже, одне з цих чисел кратне 3, а оскільки воно є простим, то саме воно дорівнює 3. Зрозуміло, що це мже бути тільки число . Звідси . Тоді .

2. Натуральне число таке, що , де - послідовні прості числа, більші за 2. Доведіть, що число складене.

Розв´язання: Нехай . Тоді , тобто . Оскільки - послідовні прості числа, то число - складене.

3. Розв´яжіть у простих числах рівняння

Розв´язання: Якщо , то х – непарне число, і ліва частина рівняння більша за 2 і є парним числом. У цьому випадку число z – простим бути не може. Отже, х=2. Маємо . Якщо y – непарне число, то число можна розкласти на множники. Кожний з яких більший за 1. Знов-таки в цьому випадку число z– простим бути не може. Звідси y – парне просте число, тобто y=2. Тоді . Тому х=2, y=2, z=5