Урок "Обернена функція"

Алгебра 10 клас (профільний рівень)Обернена функція

Означення. Функцію y = f(x) називають оборотною, якщо для будь-якого у0∈ E(f) існує єдине х0∈ D(f) таке, що y0 = f(x0). Функція f (рис. 4.1) є оборотною. Функція g (рис. 4.2) не є оборотною. Рис. 4.1 Рис. 4.2

Приклади: Функції є прикладами оборотних функцій (рис. 4.3). Рис. 4.3

Теорема 4.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною. Розглянемо функцію y = f(x), задану таблично: Функція f є оборотною. Поміняємо рядки таблиці місцями та розглянемо функцію у = g(x), задану отриманою таблицею: Функції f i g зв’язані такими властивостями: Ці рівності означають, що коли f (х0) = у0, то g(y0) = x0.

Взаємно обернені функціїОзначення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо:1) D(f) = E(g) i E(f) = D(g);2) для будь-якого х0∈ D(f) із рівності f(x0) = y0 випливає, що g (y0) = х0, тобто g (f (х0)) = х0. У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Функції f i g називають взаємно оберненими. Таблично задані функції f i g, які розглянуто вище, є прикладами взаємно обернених функцій. Зазначимо, що другу умову в означенні взаємно обернених функцій можна замінити на таку: для будь-якого х0 є D (g) із рівності g (x0) = y0 випливає, що f (у0) = х0, тобто f (g (х0)) = х0.

Приклад. Функція у = х2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +∞). Отже, функція f (х) = х2, D(f) = [0; +∞), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = х2 є оборотною на множині [0; +∞). Знайдемо функцію, обернену до функції f. Маємо: у = х2, де х є [0; -∞). Звідси Рівність = x задає функцію з аргументом у і залежною змінною х. Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функцію y = , обернену до функції f.

Теорема. Теорема 4.2. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Теорема 4.3. Якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена до неї функція g є також зростаючою (спадною).

Домашнє завдання: Опрацювати презентацію, виконати: С-52, варіант 4.