Урок "Операції над множинами"

Тема практичного заняття: Операції над множинами.

Мета практичного заняння:

- з’ясувати суть операцій над множинами і їх практичне застосування, навчити студентів здійснювати операції над множинами: об’єднання, перетин, різниця, доповнення (заперечення) та симетрична різниця множин, розвивати пам’ять, увагу, уяву і мислення, виховувати культуру математичного запису та мови.

Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби, ТЗН: інтерактивна дошка, кадоскоп.

Методи: пошукова бесіда, розв’язування задач.

Література: Ю.В. Нікольський, В.В. Пасічник, Ю.М. Щербина “Дискретна математика” §2.3. стор. 45.

Структура заняття

1. Організаційний момент: Перевірка присутності студентів і їх готовність до заняття.
2. Перевірка домашнього завдання

Задати множини переліком їх елементів:

1. Задано множини . Знайти:

, , −?

2. Дано множину . Знайти потужність, булеан та потужність булеану множини.
3. Задати множини переліком їх елементів:

2. . Розв’язавши нерівності, ми отримаємо множину

; ;

;

3.  Актуалізація опорних знань.

 Поняття множини? множиною (set – сет) називають будь-яке зібрання визначених і відмінних один від одного об’єктів нашої інтуїції або інтелекту, яке мислять як єдине ціле.

 Способи задання множин?

 Спеціальні позначення певних класів множин з математики? — порожня множина, яка не містить жодного елемента

 N — множина натуральних чисел, N={1, 2, 3, ...}.

 Z — множина цілих чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

 Q — множина раціональних чисел.  Будь-яке раціональне число можна зобразити у вигляді дробу: а/b, де a, bZ, b0.

 R — множина дійсних чисел. Будь-яке дійсне число можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу a,b₁b₂b₃ ... b_n ... із цілою частиною аZ і b_к{0, ..., 9}.

  — множина комплексних чисел.

Що таке булеан або множина-степінь? Для заданої множини А можна розглянути множину всіх її підмножин, включно з порожньою множиною та самою множиною А. Цю множину позначають 2^А , або Р(А) і називають множиною-степенем  або булеаном множини А і позначається P(X). Для скінченної множини А з n елементів її множина-степінь Р(А) містить 2ⁿ елементів: Р(А)=2^А=2 ^{А }=2ⁿ

 Що таке декартів добуток? Декартовим добутком множин А та В (позначають А×В) називають множину всіх пар (а,b) таких, що , .

• Зокрема, якщо , то обидві компоненти належать А. Такий добутокпозначають через і називають декартовим квадратом множини А.
• Аналогічно, декартовим добутком множин (позначають ) називають множину всіх кортежів довжини п таких, що
• Частковим випадком позначають через і називають декартовим п-м степенем множини А.   

4.  Мотивація навчальної діяльності.

 Будемо вважати, що всі множини, які розглядають, є підмножинами деякого універсуму . Для довільних множин А та В можна побудувати нові множини, які отримують за допомогою теоретико-множинних операцій.

5.  Вступний інструктаж. Формування вмінь та навичок.

План

1. Теоретико-множинні операції

1.1. Об’єднання множин

1.2. Перетин множин

1.3. Різниця множин і

1.4. Доповнення множини А.

1.5. Симетрична різниця.

2. Пріоритет операцій в алгебрі множин.

3. Закони алгебри множин.

4. Розбиття множини.

1. Теоретико-множинні операції

 Об’єднання (сума) AB є множина, яка містить всі елементи, що належать або A, або B, або A та B водночас.

 Перетин (добуток) AB є множиною, що містить тільки ті елементи, що належать A і B водночас.

 Різниця A\B є множина, що складається в точності з усіх елементів A, які не належить до множини B.

 Доповнення (заперечення) Ā ( “не А”) є множиною U\A.

 Симетричною різницею множин А та В називають множину

 Очевидно, що  

2. Пріоритет операцій в алгебрі множин.

Приклад.

 Розставити дужки (визначити послідовність виконання операцій) у формулі:

3. Закони алгебри множин.

1. Комутативні закони

2. Асоціативні закони

3. Дистрибутивні закони

4. Властивості порожньої та універсальної множин ( універсальні межі):

5. Закони ідемпотентності

6. Закон інволюції (подвійного заперечення)

7. Закон заперечення (протиріччя)

8. Закон виключеного третього

9. Закон елімінації (поглинання)

10. Закони де Моргана.

Приклад.

 Довести за допомогою діаграм Венна дистрибутивний закон.  

А (ВС)=(АВ)(АС).

 Розв’язування: А (ВС)

4. Розбиття множини.

 Система (, де І- множина індексів) підмножин множини А називають розбиттям цієї множини, якщо:

1. , для
2. , для
3. 

1. Задано множини , , . Знайти:

1. ?
2. ?
3. ?
4. ?

2. Описати множини і зобразити їх графічно

3. Знайти , , , , якщо ,
4. Дані множини А, В, С: , ,

Визначити наступні множини:

1. ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) виписати всі підмножини множини С?

6. . Підведення підсумків уроку.

Які операції над множинами ми сьогодні вивчили?

Які із законів алгебри множин вам запам’ятались?

Яка з операцій над множинами виконується найперше?

Видача індивідуальних завдань для оформлення практичної роботи.

7. Домашнє завдання.