Лекція «Перетворення многочлена на квадрат суми або різниці двох виразів»
![](/uploads/files/804403/323955/353678_html/images/323955 1.png)
Найдосконаліший мозок іржавіє без дії
Шерлок Холмс
Юний друже!
З лекції «Перетворення многочлена на квадрат суми або різниці двох виразів» ти дізнаєшся про ще один спосіб розкладання многочлена на множники і навчишся самостійно його використовувати.
Будь уважним/уважною!
Після засвоєння змісту теми ти:
-
матимеш уявлення про альтернативний спосіб застосовувати формули скороченого множення, які вивчив минулого уроку, навчишся використовувати їх при розв’язанні конкретних математичних задач;
-
дослідиш доведення і застосування формул для нестандартних ситуацій;
-
зможеш розв’язувати якісні завдання на розкладання многочлена на множники;
-
розвинеш логічне мислення, впевненість у власних силах, наполеглевість;
-
навчишся використовувати формули скороченого множення, застосовувати свої знання і вміння для розв’язування прикладних математичних задач у повсякденному житті.
План лекції
-
Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата двочлена
-
Застосування формул скороченого множення
-
Для тих, хто бажає дізнатися про ВСЕ
1. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата двочлена.
Юний друже, в повсякденному житті часто виникають ситуації в яких ти маєш відстоювати свою позицію або доводити свою думку. У навчанні та сама ситуація.
Доведи, що многочлен х2+4 - 4х не може набувати від’ємних значень.
Спробуй дослідити, чи пов’язаний цей многочлен з формулами скороченого множення, які ти вже знаєш.
х2+4 - 4х
Дійсно, перші два одночлени є квадратами х2 і 22, а третій є подвійним множником 2·2·х. Зауважемо, сума многочленів може записуватися у будь-якому порядку. Наявність знака “мінус” пояснюємо як наявність доданка з від’ємним коефіціентом.
Перепишемо формули квадрата різниці та квадрата суми двох виразів, помінявши місцями їх ліві і прави частини:
a2-2ab+b2=(a-b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
|
Таке перетворення називають “згортанням” тричлена у квадрат двочлена або у повний квадрат.
Тричлен, який можна подати у вигляді квадрата двочлена називають повним квадратом.
Отже, х2+4 - 4х= х2 - 4х+4= х2 - 4х+22=(х-2)2
Отримали квадрат двочлена, який може бути лише додатним або нулем. Що і треба було довести.
Таким чином маємо можливість за допомогою зазначених вище формул перетворити тричлен на квадрат двочлена. Оскільки квадрат двочлена можна подати у вигляді добутку (а-b)2=(а-b)·(а-b), можна стверджувати, що таке перетворення є одним із способів розкладання многочлена на множники.
2. Застосування формул скороченого множення
Саме розкладання на множники дає можливість розв’язати деякі конкретні математичні задачі.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 1. Подай тричлен у вигляді квадрата двочлена:
1) 9х2+24ху+16у2;
2) 25а4-20а2b3+4b6.
Зауваження! Перш за все, подай два одночлена у вигляді квадрату. Пам’ятай, що доданки можуть бути записані у будь-якому порядку. Зверни увагу на подвійний добуток.
9х2+24ху+16у2=(3х)2+2·3х·4у+(4у)2=(3х+4у)2
25а4-20а2b3+4b6=(5а2)2-2·5а2·2b3+(2b3)2=(5а2-2b3)2
Приклад 2. Розв’яжи рівняння х2+10х=-25.
Зауваження! Перенеси число з правої частини рівняння у ліву, яку тепер можна перетворити на квадрат двочлена.
Розв’язання:
х2+10х=-25;
х2+10х+25=0;
х2+2·х·5+52=0;
(х+5)2=0.
Оскільки значення квадрата дорівнює нулю лише тоді, коли його основа дорівнює нулю, то:
Х+5=0;
Х=-5.
Відповідь: -5.
Приклад 3.
Перетвори многочлен на квадрат різниці 9х2-6ху+у2.
Розв’язання:
9х2-6ху+у2=(3х)2-2·3х·у+у2=(3х-у)2.
Зауваження! Оскільки від’ємний коефіцієнт тільки у подвійного добутка і доданки можуть надаватися у будь-якому порядку, то двучлен в квадраті можна записати так: (у-3х)2. Перевіримо:
(у-3х)2=у2-2·3х·у+(3х)2=(3х)2-2·3х·у+у2=(3х-у)2;
(у-3х)2=(3х-у)2.
Отже, відповідь (у-3х)2 також буде правильною.
Приклад 4. Якого найменшого значення набуває вираз 4х2-12х-7?
Зауваження! Спробуємо виділити з поданого тричлена квадрат двочлена. Подамо перший одночлен у вигляді квадрата одночлена 4х2=(2х)2. Другий одночлен розглянемо як подвійний добуток 12х=2·2х·3.
Зверни увагу! Щоб “згорнути” тричлен у квадрат двочлена подвійний добуток “диктує”, яким має бути третій одночлен. Це 32.
Тобто вираз має бути 4х2-12х+9, а не 4х2-12х-7.
В таких випадках ми маємо додати потрібний нам вираз і відразу його відняти. Результат не зміниться!
Розв’язання:
4х2-12х-7=4х2-12х+9-9-7=(4х2-12х+9)-9-7=((2х)2-2·2х·3+32)-16=(2х-3)2-16
Проаналізуй, яким найменшим може бути результат?
Так, дійсно, квадрат будь-якого виразу набуває найменшого значення нуль. Тоді 0 -16=-16.
Відповідь: Даний вираз набуває найменшого значення -16.
3. Для тих, хто бажає дізнатися про ВСЕ
Скарбничка ідей
Іноді складні обчислення зводяться до простих, якщо вдало використовувати потрібну формулу скороченого множення.
Розглянемо приклади.
Обчисли значення виразу 4,22+4,2·10,6+5,32.
Не дарма формули скороченого множення мають таку назву. Шукаємо формулу, щоб скоротити розв’язання. Отже:
4,72+4,7·10,6+5,32=4,72+2·4,7·5,3+5,32=(4,7+5,3)2=102=100
Відповідь: 100.
“А що, так можна було?”
Можна дуже швидко без допомоги лічильних пристроїв підносити до квадрату числа, які закінчуються на 5.
Обчислити можна за таким алгоритмом:
Відкинути останню цифру 5
Отримане число помножити на наступне
Наприкінці дописати 25
Дійсно 252=625 (2·3=6);
852=7225 (8·9=72);
1052=11025 (10·11=110);
Чому так відбувається? Чаклунство? Ні, формула скороченого множення. Давайте розбиратися!
Доведення.
Будь-яке натуральне число, яке закінчується на 5 можна записати у вигляді х·10+5.
При чому х — будь-яке натуральне число. Тоді (х·10+5) — будь-яке натуральне число, яке закінчується на цифру 5.
Як от 25=2·10+5, або 85=8·10+5 і так далі.
Піднесемо це число до квадрату за допомогою формули скороченого множення, тобто:
(10х+5)2=100х2+2·10х·5+25=100х2+100х+25.
Далі виносимо за дужки спільний множник перших двох одночленів.
100х2+100х+25=100х(х+1)+25.
Або так: х·(х+1)·100+25.
Звичайно х+1, це наступне число після х. Ось ми і отримали початковий алгоритм.
Шукай і пробуй пізнати цей світ! Ти зможеш!