повторити і закріпити знання учнів з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»; перевірити вміння учнів застосовувати набуті знання до розв'язування вправ і задач; розвивати логічне мислення, творчі здібності, просторову уяву учнів, культуру спілкування, вміння формулювати відповіді на запитання та аналізувати відповіді своїх товаришів; виховувати наполегливість, відповідальність за свої знання, інтерес до геометрії як науки.
Тема. Перпендикулярність прямої та площини.
Мета: повторити і закріпити знання учнів з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»; перевірити вміння учнів застосовувати набуті знання до розв’язування вправ і задач; розвивати логічне мислення, творчі здібності, просторову уяву учнів, культуру спілкування, вміння формулювати відповіді на запитання та аналізувати відповіді своїх товаришів; виховувати наполегливість, відповідальність за свої знання, інтерес до геометрії як науки.
Хід уроку
І. Актуалізація опорних знань
Хай живе теорія – без теорії немає практики.
Тестування
1. У просторі дано пряму а і точку А поза нею, скільки існує прямих, що є перпендикулярними до прямої а і проходять через точку А?
а) визначити неможливо;
б) одна;
в) нескінченна множина;
г) жодної.
2. Скільки площин, перпендикулярних до даної прямої можна провести через точку, що лежить на даній прямій?
а) нескінченну множину;
б) тільки одну;
в) тільки дві;
г) жодної.
3. Використовуючи малюнок, вкажіть пряму, що перпендикулярна до прямої СС1 і проходить через точку А.
а) СВ б) АС в) CD г) А1С1
4. Вкажіть пряму, яка перпендикулярна до площини АВВ1
а) BD б) ВС в) АВ г) АС
5. Яким є взаємне розміщення прямих KD i NC, якщо АК ┴ (АВС) і NC ┴ (АВС)?
а) паралельні;
б) мимобіжні;
в) перпендикулярні;
г) перетинаються.
6. Яким є взаємне розміщення прямої KD і площини АВС, якщо KD ║NC i NC ┴ (ABC)?
а) паралельні;
б) визначити неможливо;
в) не перетинаються;
г) перпендикулярні
7. Відрізок АМ проведено перпендикулярно до площини прямокутника АВСD. Який відрізок має більшу довжину?
а) МА; б) МD; в) МВ; г) МС; д) АD.
8. З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС і перпендикуляр АО. Відомо, що АВ >АС. Виберіть правильне твердження.
а) АВ < AO б) CO > OB
в) AC < AO г) CO < OB
Задачі за готовими малюнками.
IІ. Узагальнення і систематизація набутих знань та вмінь.
Від теорії до практики
1. Через вершину гострого кута прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено пряму АD, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань від точки D до вершин В і С, якщо АС = а, ВС = b, АD = с.
2. Потрібно протягнути два електричні дроти від стовпа до будинку. На стовпі вони кріпляться на висоті 19 м, а на стіні будинку - 9 м. Скільки потрібно дроту, якщо відстань від стовпа до будинку становить 30 м, а на кріплення і провисання слід додати 5% знайденої довжини.
Розв'язання
Стовп перпендикулярний площині Землі і стіна будинку перпендикулярна площині Землі, отже, оскільки дві прямі, перпендикулярні одній і тій самій площині, паралельні між собою, з цього випливає, що математична модель задачі - прямокутна трапеція.
Отже, АВ = 19 м, CD = 9 м, AD = 30 м. Знайдемо ВС.
Опустимо перпендикуляр СК на сторону АВ. АК = CD = 9 м, отже,
ВК = АВ - АК = 19 - 9 = 10 (м). К С = AD = 30 м.
З Δ ВСК ():
ВС = = = (м)
1) 10∙2 = 20 (м) - довжина 2-х дротів.
2) 20∙0,05 = (м) - на провисання.
3) 20 = 21 (м)
Відповідь: необхідно 21 м дроту.
3. Чотирисхилий дах будинку квадратної форми зі стороною 16м має висоту 6м. Скільки квадратних метрів дахового заліза піде на покриття, якщо витрати на згин і обрізки становлять 6%?
Розв’язання
Нехай дано квадрат АВСD , АВ = 16м. EO ┴ (ABCD) , EO=6м. Оскільки т. Е рівновіддалена від сторін АВСD, то т. О – центр вписаного кола ( точка
перетину діагоналей). Якщо ЕК ┴ СD, то за оберненою теоремою про три перпендикуляри ОК ┴ СD, ОК=8 м.
З ∆ EOК, <O = 900, за теоремою Піфагора EK2 = EO2 + ОК2. .
S= 4S∆CDE, S∆CDE = CD·ЕK =·16 · 10 = 80(м2). S = 4 · 80 = 320(м2).
S1 = 320 + 0,06 · 320 = 339,2 (м2).
Відповідь: 340 м2.
4. Якої висоти повинен бути ліхтарний стовп на присадибній ділянці, що має форму рівнобедреної трапеції з основами 16м і 30м, якщо відстань від ліхтаря до кожної із сторін ділянки 17м.
Розв’язання.
Нехай дано трапецію ABCD, ( AD ║ BC) , AB = CD, AD = 30м , BC = 16м. MO ┴(ABCD). Оскільки т. М рівновіддалена від сторін трапеції, то основа перпендикуляра т. О – центр вписаного кола.
Виконаємо планіметричний малюнок. Проведемо СР ┴ AD, ВН ┴ AD. ВСРН – прямокутник . НР = ВС = 16м.
Так як АВСD – рівнобічна трапеція, то PD = AH = (30 - 16) : 2 = 7(м). Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + СD = ВС + АD.
АВ = СD =(30 + 16) : 2 = 23(м). З ∆ DCP ,<P = 900 , за теоремою Піфагора СР2 = СD2 - PD2, . OE= .
З ∆ МОЕ, <О = 900 , за теоремою Піфагора MO2 = ME2 - OE2, .
Відповідь:13 метрів.
ІІІ. Домашнє завдання: с. 219, № 1053, 1089