Тема: Первісна і невизначений інтеграл.
Мета: Дати поняття первісної як операції, оберненої до диференціювання, та невизначеного інтеграла. Розвивати уміння робити висновки; сприяти розвитку кмітливості, логічного мислення.
Тип уроку: Урок засвоєння нових знань і вмінь.
Обладнання: Таблиці «Похідні елементарних функцій».
Девіз уроку:
Нам треба дійти до джерел глибинних,
До первісних всіх початків, до суті.
Дійдемо! Бо в кроках наших невпинних
Упевненість горда присутня.
В. Голобородько.
Хід уроку
Ми вивчали в школі, починаючи з молодших класів багато математичних операцій (дій) і кожна з них має обернену.
Вчитель називає пряму дію, а учням пропонує назвати обернену:
додавання – віднімання,
множення – ділення,
піднесення до степеня – добування кореня,
логарифмування – потенціювання,
множення одночлена на многочлен – винесення спільного множника за дужки.
Запитання до учнів: Які обернені операції із названих є неоднозначними?
Відповідь: Добування кореня (двозначна).
Основною операцією диференціального числення є знаходження похідних
y' = f ' (x) даної функції f (x). Але часто при розв'язуванні задач треба розв’язати обернену задачу: за відомою похідною функції f ' (x) знайти (відновити) саму функцію, яку називають первісною f (x) для відомої функції.
Для прикладу згадаймо геометричний і фізичний зміст похідної (учні згадують).
Отже, коли відома миттєва швидкість руху матеріальної точки, то ми можемо відтворити формулу шляху, якою виражено рух точки; коли відомо прискорення, з яким рухалася матеріальна точка, то ми можемо відновити формулу, якою виражається швидкість руху матеріальної точки.
Тепер, я думаю, зрозуміло, чому такий девіз нашого уроку.
III. Засвоєння нових знань.
Трохи історії:
Поняття «первісна» виникло з потреб обчислення площ плоских фігур та об’ємів довільних тіл. Термін «первісна функція» ввів Ж. Лагранж у1797році, замінивши ним термін «примітивна функція». За свідченням ряду джерел, ідея первісної з'являється вперше в роботах математиків-філософів: Демокріта в V ст.. до н.е., а потім Евдокса Кнідського в IVст.. до н.е. Ці ідеї в III ст. до н.е. використав Архімед.
Ідеї Кеплера, Кавальєрі та інших вчених стали тим грунтом, опираючись на який Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення. У цій галузі плідно працював і український математик М. Остроградський.
Висновок: Отже, первісною для відомої функції f (x) є функція F (x), похідна якої є f (x).
F' (x) = f (x).
Приклад 1. Дано функцію f (x) = х2, яка є похідною невідомої функції F (x). Знайти функцію
F (x).
Розв’язання: користуючись таблицею похідних можна здогадатися, що F (x) = х3/3, бо
F' (x) = (х3/3)'= 3х2/3 = х2.
Скажіть мені, чи дана функція F (x)єдина, похідна якої х2?
Якщо учні не зуміли дати правильну відповідь, вчитель дає підказку:
знайти похідну функцій: а) у = (х3/3) + 6; б) у = (х3/3) – 7; в) у = (х3/3) + С.
Відповідь: а) у' = х2 ; б) у' = х2 ; в) у' = х2.
Отже, висновок: існує безліч функцій виду F (x) = х3/3 + С , де С – стала величина, похідна яких х2, тому операція «знаходження первісної» неоднозначна, тобто, якщо F (x) – одна первісна, то F (x) + С – загальний вигляд первісної для функції f (x).
Геометрично описати первісну F (x) = х3/3 для функції) у = х2 неважко – це кубічна парабола, графік якої дістаємо з графіка функції ) у = х3, стискаючи його у три рази до осі Ох. А загальним виглядом первісної для функції ) у = х2 є множина кубічних парабол, які дістаємо з графіка у = х3/3, паралельно переносячи його вгору вздовж осі Оу чи вниз на відстань С.
Операція знаходження первісної F (x) для даної функції у = f (x) називається
інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.
Сукупність всіх первісних функції f (x) на проміжку називається невизначеним інтегралом функції f (x) на цьому проміжку. Позначається ∫ f (x)dx. Читається «інтеграл еф від ікс по де ікс».
∫ - знак інтеграла, f (x) – підінтегральна функція, f (x)dx – підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування. Якщо F (x) – одна з первісних для f (x), то пишуть
∫ f (x)dx= F (x) + С
IV. Засвоєння нових вмінь.
Довести, що функція F (x) є первісною для функції f (x) на вказаному проміжку:
а) F (x) = х¾- 21 f (x) = (¾)х¼ , х Є (0;+∞);
б) F (x) = sin(2x + 4) +1 f (x) = 2cos(2x + 4), x Є (-∞;+∞);
в) F (x) = (х5/5) +(х-6/-6) f (x) = х4 + х-7, x Є (-∞;+∞);
г) F (x) = 20√х f (x) = 10/√х, х Є (0;+∞).
З підручника: № 54(6),55(2)
V. Домашнє завдання.
Опрацювати § 21, розв’язати № 54(1-5), 55(1).
VI. Підсумок уроку.
Розв’яжіть кросворд:
f (x)?