Урок "Первісна і невизначений інтеграл"

Тема: Первісна і невизначений інтеграл.

Мета: Дати поняття первісної як операції, оберненої до диференціювання, та невизначеного інтеграла. Розвивати уміння робити висновки; сприяти розвитку кмітливості, логічного мислення.

Тип уроку: Урок засвоєння нових знань і вмінь.

Обладнання: Таблиці «Похідні елементарних функцій».

Девіз уроку:

Нам треба дійти до джерел глибинних,

До первісних всіх початків, до суті.

Дійдемо! Бо в кроках наших невпинних

Упевненість горда присутня.

В. Голобородько.

Хід уроку

 

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація опорних знань.

Ми вивчали в школі, починаючи з молодших класів багато математичних операцій (дій) і кожна з них має обернену.

Вчитель називає пряму дію, а учням пропонує назвати обернену:

додавання – віднімання,

множення – ділення,

піднесення до степеня – добування кореня,

логарифмування – потенціювання,

множення одночлена на многочлен – винесення спільного множника за дужки.

Запитання до учнів: Які обернені операції із названих є неоднозначними?

Відповідь: Добування кореня (двозначна).

Основною операцією диференціального числення є знаходження похідних

y^' = f ^' (x) даної функції f (x). Але часто при розв'язуванні задач треба розв’язати обернену задачу: за відомою похідною функції f ^' (x) знайти (відновити) саму функцію, яку називають первісною f (x) для відомої функції.

Для прикладу згадаймо геометричний і фізичний зміст похідної (учні згадують).

Отже, коли відома миттєва швидкість руху матеріальної точки, то ми можемо відтворити формулу шляху, якою виражено рух точки; коли відомо прискорення, з яким рухалася матеріальна точка, то ми можемо відновити формулу, якою виражається швидкість руху матеріальної точки.

Тепер, я думаю, зрозуміло, чому такий девіз нашого уроку.

III. Засвоєння нових знань.

Трохи історії:

Поняття «первісна» виникло з потреб обчислення площ плоских фігур та об’ємів довільних тіл. Термін «первісна функція» ввів Ж. Лагранж у1797році, замінивши ним термін «примітивна функція». За свідченням ряду джерел, ідея первісної з'являється вперше в роботах математиків-філософів: Демокріта в V ст.. до н.е., а потім Евдокса Кнідського в IVст.. до н.е. Ці ідеї в III ст. до н.е. використав Архімед.

Ідеї Кеплера, Кавальєрі та інших вчених стали тим грунтом, опираючись на який Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення. У цій галузі плідно працював і український математик М. Остроградський.

Висновок: Отже, первісною для відомої функції f (x) є функція F (x), похідна якої є f (x).

 

F^' (x) = f (x).

Приклад 1. Дано функцію f (x) = х², яка є похідною невідомої функції F (x). Знайти функцію

                    F (x).

Розв’язання: користуючись таблицею похідних можна здогадатися, що F (x) = х³/3, бо

                        F^' (x) = (х³/3)^'= 3х²/3 = х².

Скажіть мені, чи дана функція F (x)єдина, похідна якої х²?

Якщо учні не зуміли дати правильну відповідь, вчитель дає підказку:

знайти похідну функцій: а) у = (х³/3) + 6; б) у = (х³/3) – 7;  в) у = (х³/3) + С.

Відповідь:  а) у^' = х² ;  б) у^' = х²  ; в) у^' = х².

 

Отже, висновок: існує безліч функцій виду F (x) = х³/3 + С , де С – стала величина, похідна яких х², тому операція «знаходження первісної» неоднозначна, тобто, якщо F (x) – одна первісна, то F (x) + С – загальний вигляд первісної для функції f (x).

Геометрично описати первісну F (x) = х³/3 для функції) у = х² неважко – це кубічна парабола, графік якої дістаємо з графіка функції ) у = х³, стискаючи його у три рази до осі Ох. А загальним виглядом первісної для функції ) у = х² є множина кубічних парабол, які дістаємо з графіка у = х³/3, паралельно переносячи його вгору вздовж осі Оу чи вниз на відстань С.

Операція знаходження первісної F (x) для даної функції у = f (x) називається

  інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.

 

Сукупність всіх первісних функції f (x) на проміжку називається невизначеним інтегралом функції f (x) на цьому проміжку. Позначається ∫ f (x)dx. Читається «інтеграл еф від ікс по де ікс».

 ∫ -  знак інтеграла, f (x) – підінтегральна функція, f (x)dx – підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування. Якщо F (x) – одна з первісних для f (x), то пишуть

 

∫ f (x)dx= F (x) + С

IV. Засвоєння нових вмінь.

     Довести, що функція F (x) є первісною для функції f (x) на вказаному проміжку:

а) F (x) = х^¾- 21                        f (x) = (¾)х^¼ ,                  х Є (0;+∞);

б) F (x) = sin(2x + 4) +1           f (x) = 2cos(2x + 4),         x Є (-∞;+∞);

в) F (x) = (х⁵/5) +(х^-6/-6)          f (x) = х⁴ + х^-7,                  x Є (-∞;+∞);

г) F (x) = 20√х                          f (x) = ¹⁰/√х,                     х Є (0;+∞).

З підручника: № 54(6),55(2)

V.  Домашнє завдання.   

        Опрацювати § 21, розв’язати № 54(1-5), 55(1).

 

 

VI. Підсумок уроку.

 Розв’яжіть кросворд:

 

 

 

 

 

1.     Як називається цей знак ∫?
2.     Як називається функція F (x), похідною якої є функція f (x)?
3.     Як називається операція знаходження первісної функції F (x) для функції

      f (x)?

4.     Як називається вираз f (x)dx?