Урок подорож "Квадратична функція"

Урок математики у 9 класі

Восьме грудня Класна робота

Тема уроку: «Квадратична функція» Творча назва : «І ВСЕ ЦЕ ПРО НЕЇ...». Автор : Павлишин Марта Теодорівна. Місце проведення: Сколівська академічна гімназія. Учасники : учні 5(9) – А класу.

Мета уроку: Повторити, узагальнити і систематизувати знання з теми «Квадратична функція» . Удосконалити практичні навички їх застосування для розв’язування завдань та побудови графіків на координатній площині та за допомогою комп’ютера . Формувати потребу та вміння здобувати та упорядковувати з різних джерел інформацію до даної теми. Формувати інформаційні та комунікативні компетентності.

Найвище призначення математики полягає в тому, щоб знаходити потаємний порядок у хаосі, який нас оточує Роберт Вінер

Маршрут подорожі:

« Пам’ятка учасника подорожі » Під час подорожі будь зібраним і дуже уважним . Працюй швидко , правильно , раціонально використовуючи час . НЕ МОЖНА 1.Викрикувати відповіді або запитання, підказувати . 2. Порушувати дисципліну на уроці й правила гри ДЕВІЗ Вмій кмітливо все збагнути , Першим в відповіді бути .

Вирушаймо всі у путь – Нас цікаві речі ждуть

Станція * ІСТОРИЧНА З історії розвитку поняття функції

Станція *ТЕОРЕТИЧНА Квадратична функція її графік та властивості

Станція *ПОШУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКА

Станція * ДІАГНОСТИЧНА Свої здібності людина може спізнати, тільки спробувавши застосувати їх на ділі. Луцій Анней Сенека

А тепер перевіримо на скільки добре ви засвоїли даний матеріал

1) Квадратичною функцією називається функція , яку можна задати формулою ... y=ax2+bx+c

2) Графіком квадратичної функції є... парабола

Графік – це лінія, що говорить, яка може багато про що розповісти М.Б.Балк

осі ОY 3) Графік квадратичної функції у = ах І + bx + c симетричний відносно ...

4) Вітки параболи напрямленні вгору , якщо ... 5) Абсцису вершини параболи можна знайти за формулою ... a>0

6) Значення аргументу Х , при яких значення функції дорівнює нулю, називають ... нулями функції

7) Область визначення квадратичної функції - ... 8) Область значень функції y=x2: якщо а > 0 , то ... якщо a < 0 , то ... (-∞; +∞) [0; +∞) (-∞; 0]

Оберіть із заданих функцій квадратичну Квадратичні функції Вірно! у = ах2 + bx +c

у = b y = kx y = kx + b y = x2 y = 1/x Пряма, паралельна осі ОX Парабола Гіпербола Пряма, що проходить через початок координат Пряма Встановіть відповідність

Який з даних рисунків є графіком квадратичної функції?

0 x y 1 y = (x – 3)2 3

0 x y 1 y = x 2 + 3 3 3

0 x y 1 y = (x – 3)2 + 3 3 3

0 x y 1 y = x 2 y = - x 2

O x y 1 2 4 1 (x + 2) + 4 y - = . -2 4

Встановіть відповідність:

2. Назвіть координати вершини параболи та вкажіть напрямок гілок: у = 3(х – 2)І + 1 у = - 2(х + 5)І - 5 у = - (х – 4)І - 3 у = 7(х + 1)І + 2 3. Назвіть рівняння параболи у вигляді у = а(х + m)І +n, якщо відомо, що вона отримана: з параболи у = хІ паралельним перенесенням вздовж осі х на 5 одиниць ліворуч та вздовж осі у на 3 одиниці вниз; з параболи у = 2хІ паралельним перенесенням вздовж осі у на 6 одиниць вгору та вздовж осі х на 1 одиницю праворуч; из параболи у = - 5хІ паралельним перенесенням вздовж осі х на 4 одиниці ліворуч та вздовж осі у на 4 одиниці вгору (2; 1), вгору (-5; -5), вниз (4; -3), вниз (-1; 2), вгору у = (х+5)І - 3 у = 2 (х-1)І + 6 у = - 5 (х+4)І +4

Молодці всі ті , хто добре справився із даним завданням .

Станція *ПЕРЕВІРОЧНА Крок до зірок...

Правильні варіанти відповідей

А Б В Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Станція *ПРАКТИЧНА

Частина учнів за допомогою шаблона, а інші - на комп’ютері в одній системі координат схематично будують графіки функцій: у = -х2 + 2; у = х2 – 3; у = (х – 1)2; у = -(х + 2)2; у = (х + 1)2 – 2; у = -(х – 2)2 + 1; у = (х + 3)(х – 3); у = х2 + 4х – 4; у = х2 – 6х + 11; у = х2 – 6х + 9. Для кожного випадку записати область значень і проміжки зростання та спадання.

Побудувати самостійно графіки функцій: у = -х2 + 2; у = х2 – 3; у = (х – 1)2; у = -(х + 2)2; у = (х + 1)2 – 2; у = -(х – 2)2 + 1; у = (х + 3)(х – 3); у = х2 + 4х – 4; у = х2 – 6х + 11; у = х2 – 6х + 9. При побудові графіка функції виду y=(x - m)2+ п зручно користуватися наперед заготовленим шаблоном параболи у = х2 . шаблон параболи у = х2 Потім можна звірити свої результати с тими, что що потрібно отримати

у = -х2 + 2 у = -(х + 2)2 у = (х – 1)2 у = (х + 1)2 – 2 у = х2 – 3

у = -(х – 2)2 + 1 у = х2 – 6х + 9 у = (х + 3)(х – 3) у = х2 + 4х – 4 у = х2 – 6х + 11

П А Р А Б О Л А Станція *ХВИЛИНКА-ЦІКАВИНКА Розгадай математичний термін лощині бсцис озв’язком бсциса ілою рдинат інійна лгоритм

Підсумок уроку Зверніть, будь ласка, увагу на маленький файл у Вас на столах: у ньому лежать пелюстки квітів, жовтого та червоного кольору. На жовтій пелюстці запишіть, про що ви дізналися на цьому уроці , а на червоній – що Вас особливо здивувало у час вивчення теми.

Завдання додому. Повторити параграф 2, п. 7-11 підручника, стор.59-109. Розв’язати № 355, 361, 376 . Додатково № 380. За бажанням удома пропонується виконати творче завдання: підготувати презентацію побудови графіків функцій з модулем.

До нових зустрічей

Сколе, 2011р. Сколівська академічна гімназія Алгебра. Презентація на тему: “Використання парабол у житті”

Рівняння параболи: Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку. Точка зветься фокусом, а пряма - директрисою. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Графік функції, що задається за допомогою поліному другого порядку від однієї змінної являє собою параболу.

Параболічна орбіта супутника Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта на досить великий швидкості мають форму параболи. Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

Параболічна сонячна електростанція в Каліфорнії, США Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо ...), в конструкції вузьконаправлених (супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших областях

Бібліотека з дахом у формі параболи, норвезьке місто Тромсьо Собор Санта-Марія делла Салюте, місто Венеція Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.

Падіння баскетбольного м’яча Хребет Єргакі (Західний Саян). Гора Парабола (Два Брати) Параболи у житті

Параболічна (спутникова) антена Мережа закладів швидкого харчування. Використовує у своєму логотипі букву М, яка представлена у вигляді 2-х парабол

Скеля ПАРАБОЛА

Скеля ПАРАБОЛА

Скеля ПАРАБОЛА

Підготували учні 9-А класу: Кашаник Р.Б. Раденко А.В.

Квадратична функція та її графік

Означення: Функція виду y=ax2 +bx+c, де х – аргумент і а ≠ 0 називається квадратичною, а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 у=ax2 Графіком квадратичної функції є парабола

Розміщення графіка функції 1.Необхідно знайти розміщення вершини параболи точку А(m;n); 2. Необхідно з'ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи; 3. Необхідно знайти нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис 0х. 4. Необхідно з'ясувати де в Декартові системі координат квадратична функція буде набувати додатних (+) і від'ємних (-) значень.

Вершина параболи Для того, щоб знайти вершину параболи, необхідно скористатись наступними формулами Точка А(m;n) – вершина параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) B(m;n) а<0 а>0

Вісь симетрії Так як квадратична функція парна функція, то її графік буде симетричний відносно вісі симетрії. Вісь симетрії проходить через вершину параболи. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) Вісь симетрії параболи y = m а>0 а<0

Графік квадратичної функції – парабола, вітки якої направлені вгору, якщо а>0 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 і вниз, коли а<0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 Направлення віток параболи а>0 а<0

Розташування віток параболи В залежності від абсолютної величини а – першого коефіцієнта, вітки параболи будуть пологими (01) відносно вісі симетрії 0<а<1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y = x2 y = 1/3*x2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = 4x2

Розташування віток параболи y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 -1<а<0 а<-1 y =- x2 y =- 1/3x2 y = -x2 y = -2x2 y = -3x2 y = -4x2

Зростання і спадання функції. В залежності від значення а – першого коефіцієнту, графік квадратичної функції може спочатку спадати, а потім зростати на всій області визначення D(x), або навпаки зростати, а потім спадати y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а<0

Вершина параболи Але вершина параболи точка А(m;n) не завжди буде знаходитись в точці О(0;0): це буде залежати від розміщення графіка функції. Графік функції буде розміщуватись по різному і це залежить від багатьох факторів. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) А(m;n) А(m;n) а>0 а<0 а>0

Нулі функції Щоб знайти точки перетину параболи з віссю 0х, необхідно прирівняти квадратний тричлен до 0(нуля), розв'язати квадратне рівняння і знайти його корені. ax2+bx+c=0 D=b2-4ac Якщо D>0 ,то ми будемо мати 2 дійсних-різних корені х1= ; х2=

Графік функції буде розміщуватись так. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 графік функції двічі перетинає вісь 0х а>0 а<0

Якщо D=0, то ми матимемо 2 дійсних-рівних корені х1,2= графік функції тільки в одній точці перетинає вісь 0х (дотикається до вісі 0х) і точка дотику буде в вершині параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) а>0 а<0

Якщо D<0, то дійсних коренів квадратний тричлен не матиме, корені будуть комплексні-спряжені, графік функції не перетинає вісь 0х в жодній точці y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а>0 а<0

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a>0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 х1 х2 + + - y х 0 y х 0 х1,2 + + + +

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a<0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 y х 0 y х 0 + - - - - - - х1 х2 х1,2

“Історія розвитку функції. Видатні вчені.” В першій половині ХVII ст. своїм відкриттям методу координат видатні вчені П*єр Ферма і Рене Декарт заклали основи для виникнення поняття функції. Вони досліджували зміну ординати точки залежно від зміни її абсциси.

Термін “функція”(від латинського functio-здійснення,виконання) запровадив німецький математик Георг Лейбніц.

Значну роль у формуванні поняття про функції відіграли роботи великого англійського вченого Ісака Ньютона. Під функцією він розумів величину,яка змінює своє значення з плином часу.

Подальшому розвиткові поняття функції багато в чому сприяло з*ясування істини в багаторічному спорі видатних математиків Леонарда Ейлера і Жана Лерона Д*Аламбера,одним із предметів якого було з*ясування сутності цього поняття.У результаті було сформовано більш загальний погляд на функцію як залежність однієї змінної величини від іншої,у якому це поняття жорстко не пов*язувалося із способом задання функції. У 30-х роках ХIХ ст. Ідеї Ейлера набули подальшого розвитку в роботах видатних учених:російського математика Миколи Лобачевського. Саме тоді з*явилося таке означення:змінну величину Y називають функцією змінної величини Х,якщо кожному значенню величини Х відповідає єдине значення величини Y.

ПІДГОТУВАЛИ учениці 5(9)-А класу Сколівської академічної гімназії Філіпенко Роксолана Драга Ірина Хомин Ольга Цогла Марія КЕРІВНИК Павлишин Марта Теодорівна