Урок "Показникові рівняння"

Тема: ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

Мета уроку: познайомити з новим видом рівнянь – показниковим, показати способи розв’язання різних видів показникових рівнянь за алгоритмом.

Формування ключових компетентностей: формувати уміння грамотно висловлюватись рідною мовою, доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію; застосовувати математичний апарат для розв’язання показникових рівнянь; усвідомлення значення математики для дослідження навколишнього світу; усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій; уміння діяти за алгоритмом; усвідомлення важливості ІКТ для ефективного пошуку інформації та розв’язання математичних задач; самостійне опрацювання навчального матеріалу з математики; критично оцінювати власні досягнення; усвідомлювати важливість самоосвіти для успішного життя; уміння виявляти ініціативу та відповідальність під час групової роботи .

Тип уроку: комбінований

Обладнання: презентація, учнівська презентація, робочий зошит, інтерактивні вправи «Знайди пару», «Хмара» та «Пазл», учнівський плакат,  ватмани, маркери, Google-тест (вхідний)

Структура заняття

Хід уроку

1.               Організаційний момент   (привітання, перевірка відсутніх)

Діти сідають за парти (парти розташовані так, що утворюється 3 груп і кожному учневі зручно дивитися на дошки: крейдову та мультимедійну)

Викладач. На столах ви бачите робочий зошит, який ви будете заповнювати протягом уроку. Вверху сторінки є шкала оцінювання, вона накопичувальна. Протягом уроку ви самостійно будете собі виставляти зароблені бали за виконану роботу й підведете підсумки власної активності наприкінці уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

• Який розділ ми почали вивчати минулого уроку?
• Тема минулого уроку?

Оголошення результатів проходження Google-тесту (домашнє завдання) шляхом виводу таблиці оцінювання на екран. Тест розміщений на блозі викладача: http://matematuka-bcpto.blogspot.com Творче завдання: дослідити та виявити ті області й галузі наук де можна безпосередньо побачити застосування показникової функції.

3. Мотивація навчальної діяльності

 Застосування показникової функції досить широке: фізика, хімія, медицина, економіка, екологія, географія та ще цілий ряд наук. Сьогодні ми продовжуємо вивчення розділу «Показникова функція» й познайомимося з вами з новим видом рівнянь, які обов’язково входять до завдань ЗНО (зовнішнє незалежне оцінювання) на рівні з квадратними, ірраціональними та тригонометричними. Вони  мають назву – показникові.

Запис у робочих зошитах тему уроку.

4. Актуалізація і корекція опорних знань

Фронтальне опитування

• Який вид має показникова функція?
• Назвіть область визначення показникової функції?
• Назвіть область значень показникової  функції?
• Назвіть координати точки, через яку проходить кожна показникові функція?
• За якої умови показникова функція зростає? Спадає?
• Як називається графік показникової функції?

Інтерактивна вправа «Знайди пару» з теми «Властивості степеню з раціональним показником» (Учні по черзі виходять до дошки. За правильну відповідь отримують один бал й записують до шкали оцінювання)

5. Виклад нового матеріалу.

Показниковими називають рівняння, в яких невідоме (змінна) входить лише у показник степеня (а основа цього степеня не містить змінної).

Розглянемо найпростіше показникове рівняння , де , . Оскільки множина значень функції – множина додатних чисел, то дане рівняння :

1. має єдиний корінь, якщо ;
2. не має коренів, якщо .

Щоб знайти єдиний корінь при , досить подати у вигляді . Очевидно, що .

Графічно це проілюстровано на рисунку.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння =49, досить подати це рівняння у вигляді і записати його єдиний корінь х=2.

Розглянемо інше рівняння: . Дане рівняння  не має коренів, оскільки завжди більше нуля. Це наглядно ви можете побачити на графіках.

Узагальнюючи наведені вище міркування стосовно розв’язування найпростіших показникових рівнянь, відзначимо, що при , рівняння: , рівносильно рівнянню

Запишемо коротко це в зошитах:

Найпоширенішим способом розв’язування показникових рівнянь є зведення до однієї основи, використовуючи основні формули дій над степенями, які ми щойно повторили. 

Розглянемо приклад:

Вправа «Дешифровщик» ( учні розподілені на три групи, кожна з яких отримує свій перелік найпростіших показникових рівнянь. Отримавши корінь рівняння, необхідно знайти букву, яка відповідає даному кореню й вписати її до аркуша під номером самого рівняння).

На виконання завдання 2-3 хвилини. Команда, що справиться першою, отримує додатковий бал.

Перша група

1. 4^2x-3=4
2. 5^x-2=25
3. ()^x=7
4. ()^x=
5. 3^x=27
6. 7^4x+8=1
7. 3^x=
8. 6^19-3x=

(Молодець)

Друга група

1. =32
2. 9^-x=81
3. 10^x=1000000
4. ()^x=
5. ()^x=3
6. 3^x-1=27
7. 5^x-3=25
8. 4^x=1

(Перемога)

Третя група

1. 6^3x+7=
2. 4^x=64
3. 12^x=1
4. ()^x=25
5. 2^x=16
6. 3^x=3
7. 2^3(x-6)=64
8. 6^x+3=-36

(Вдалося!)

Викладач. Ми розглянули найпростіші рівняння. Загального методу розв’язання показникових рівнянь немає. Можна виділити кілька видів показникових рівнянь і навести способи їх розв’язання.

Найпоширеніший спосіб – спосіб зведення до спільної основи (використовуючи властивості степеня з раціональним показником)

Спосіб винесення спільного множника за дужки

Спосіб приведення рівняння до квадратного шляхом заміни змінної

Закріплення отриманих знань

Робота в групах

На столі у вчителя є 3 пронумерованих конверти із рівняннями. Представник групи підходить до столу і витягує конверт із завданням після чого групи починають розв’язувати запропоновані рівняння. Після того як рівняння будуть розв’язані, один учень з кожної групи представляє розв’язання рівняння на дошці (розв’язок записаний на аркуші з допомогою маркера), всі інші уважно слухають, виправляють помилки, якщо вони є,  записують розв’язання завдань в зошит. На виконання завдання 3-4 хвилини.

1.

2.  = ;

;

;

х = 4.

Відповідь. 4.

3. 4^х + 32^х – 4 = 0;

2^2х + 32^х – 4 = 0;

Нехай 2^х = t, 2^2х = t²;

t² + 3t – 4 = 0;

D = 3² - 41 (- 4) = 25;

2^х = 1; 2^х = - 4;

2^х = 2⁰;        розв’язків

х = 0.  немає.

Відповідь. 0.

7. Узагальнення і систематизація знань

 Опитування (інтерактивна вправа Хмара)

• Яку тему ми вивчали на уроці?
• Дайте визначення показниковому рівнянню.
• Скільки способів розв’язання показникових рівнянь ми розглянули?
• Назвіть ці способи.
• Знання яких властивостей ми використовуємо при розв’язанні кожного з рівнянь?
• Знання якої  теми знадобиться нам у рівнянні, що зводиться до квадратного шляхом заміни змінної?

Інтерактивна вправа «Пазл» (поставити у відповідність рівняння та спосіб, яким його розв’язують)

Правильні відповіді відкривають пазл – отримуємо портрет відомого математики Леонарда Ейлера, який розробляв питання пов’язані з показниковою функцією. Йому належить відкриття зв’язку між показниковою та тригонометричною функціями. Також йому належить введення символу функції .

8. Підведення підсумку уроку. Оцінювання. Домашнє завдання

(заключне слово, підрахунок оцінок, руки піднімають – хто заробив ? балів,

завдання домашнього завдання)

Домашнє завдання:

1. Вивчити теоретичний матеріал (що таке показникові рівняння та алгоритм розв’язання різних видів)
2. Розв’язати наступні різнорівневі рівняння (в допомогу презентація «Розвязання показникових рівнянь», розміщена на блозі http://matematuka-bcpto.blogspot.com )

1. ;  (1 бал)
2. 0,7^х = 2  (1 бал)
3. 9^-х = 27;  (1 бал)
4. (2 бали)
5. 5^х+1 + 5^х = 150; (2 бали)
6. 2^х + 2^х-3 = 18; (2 бали)
7. (3 бали)