Урок "Поняття про відсотки"

ЧЕРНІГІВСЬКИЙ БАЗОВИЙ МЕДИЧНИЙ КОЛЕДЖ

ЧЕРНІГІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ РАДИ

 

 

 

«ПОНЯТТЯ ПРО ВІДСОТКИ»

 

з дисципліни «Математика»

 

 

Викладач: Здор О. С.

 

 

Чернігів, 2015

Зміст

1. Актуальність
2. Методична розробка
3. Список використаної літератури
4. Додатки

Актуальність теи

Часто доводиться розглядати соті частини різних величин: грошових сум, маси продуктів, об’єму товарів і т. ін. (соту частину гривні називають копійкою, соту частину метра — сантиметром).

Відсотки – одне з математичних понять ,яке часто зустрічається в повсякденному житті. Слово «процент» походить від латинського pro centum, що означає «від сотні», звідси й дві назви – процент і відсоток. Відсоток – сота частина деякої величини. У практиці ми досить часто маємо справу  із сотими частинами (копійка, сантиметр), а тому соті дістали спеціальний знак % для позначення їх на письмі. Цей символ виник у ХV ст. в Італії.

Спочатку відсотки використовували тільки для фінансових операцій (прибутки з капіталу, сплата внесків, касові операції). Але згодом вони знайшли широку сферу застосування. Їх використовують для характеристики виконання  виробничих планів, визначення зростання чи зниження продуктивності праці, режиму економії, собівартості та якості  продукції. У відсотках ми виражаємо вологість повітря, жирність молока, вміст солі у розчині,кількість відсутніх учнів у класі. Відсотки використовують у шкільних курсах, зокрема у математиці та фізиці – під час обчислення  відносної похибки вимірювання, у хімії для обчислення концентрації розчинів а також в інших випадках. Дуже широко використовуються відсотки в медицині при створенні відповідного якогось розчину.

Знання з теми «Відсотки» мають широке використання у повсякденному житті. Адже ринкова система постійно розширюється та вдосконалюється. Важливу роль у ринкових відносинах відіграють комерційні банки, які виконують 2 основні функції: зберігають грошові вклади і надають кредити. І сьогодні наше майбутнє дуже важко уявити без якісної математично-економічної освіти. Життя постійно вимагатиме від нас такої особистісної якості, як вміння бути діловою людиною.

 

ТЕМА: Поняття про відсотки

 

Мета заняття:

• методична: вдосконалення методики проведення заняття з використанням інтерактивних технологій навчання ;
• дидактична: розширити уявлення студентів про відсотки, сформувати у них чітке уявлення про основні типи задач на відсотки, навчати типовим методам розв’язування таких задач.
• виховна: виховувати працьовитість, активність, інтерес до математики.

 

ТИП ЗАНЯТТЯ: Лекція у супроводі презентації Power Point

 

ФОРМИ ТА МЕТОДИ ПРОВЕДЕННЯ ЗАНЯТТЯ:

• робота в групах;
• робота на дошці;
• метод пояснення з використанням слайдів, спроектованих на екран;
• технологія «Фантастична добавка»;
• технологія особистісно розвивального навчання «Кола ідей»;
• гра «Знайди пару».

 

МІЖПРЕДМЕТНІ ЗВ'ЯЗКИ:

• забезпечуючі: «Математика», «Інформатика»;
• забезпечувані: «Фізика» , «Біологія», «Астрономія», «Географія», «Медична інформатика», «Медична хімія», «Медична біологія», «Біофізика», «Фармакологія», клінічнічні дисципліни.

 

СТУДЕНТИ ПОВИННІ ЗНАТИ:

• поняття відсотки;
• основні типи задач на відсотки;
• формулу простого відсотка;
• формулу складного відсотка.

 

СТУДЕНТИ ПОВИННІ ВМІТИ:

• розв’язувати задачі на відсотки;
• розв’язувати задачі на прості відсотки;
• розв’язувати задачі на складні відсотки.

 

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ТА НАОЧНІ ЗАСОБИ :

проектор, ноутбук, екран, картки із завданнями із задачами з даної теми, картки для встановлення відповідності гра «Знайди пару».

ОРГАНІЗАЦІЙНА СТРУКТУРА ТА ЗМІСТ ЗАНЯТТЯ

 

1. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

• привітання;
• облік явки студентів;
• перевірка готовності до заняття.

 

Слово викладача     

Проговорення епіграфу заняття (Слайд 1)

 

Епіграф заняття    

«Немає жодної галузі математики,

якою б абстрактною вона не була,

коли-небудь не виявиться застосованою

для явищ дійсного світу»

М. І. Лобачевський

 

2. МОТИВАЦІЯ НАВЧАННЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТУДЕНТІВ

Слово викладача

Технологія «Фантастична добавка»

Уявіть собі такий випадок. Ми живемо тепер у ХХІ столітті. Якщо б хтось із наших далеких предків, які жили рівно 1000 років тому, подумав би покласти в банк 1 копійку під 5% прибутку, то тепер ця копійка перетворилася б у велике багатство. Щоб судити про величину цієї суми, уявіть собі мільярд куль із чистого золота, кожна величиною із земну кулю. Вартість їх і є ця сума, у яку виросла 1 копійка.

 

3. ПОВІДОМЛЕННЯ ТЕМИ І МЕТИ ЗАНЯТТЯ

Слово викладача       (Слайд 2-3)

 

4. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Слово викладача

Лекція у супроводі презентації Power Point

Відсотки – одне з математичних понять, які часто зустрічаються у повсякденному житті. Слово «процент» походить від латинського pro centum, що означає «від сотні», звідси і дві назви – процент та відсоток. Відсоток означається як сота частина деякої величини. У практиці ми досить часто маємо справу з сотими частинами (копійка, сантиметр, ар), а тому соті дістали спеціальний знак % для їх позначення на письмі. Цей символ % виник у XV столітті в Італії.

Вивчати відсотки почали дуже давно.  Ще у ХІІІ – ХVI столітті усі підручники приділяють значну увагу відсотковим обчисленням. Уже в 1494 році користувалися відсотковими таблицями, які підприємства тримали в секреті.

(Слайд 4-5)

 

Спочатку відсотки використовували тільки при фінансових операціях (прибутки з капіталу, сплата внесків, касові операції). Але згодом вони знайшли широку область застосування. Їх використовують для характеристики виконання виробничих планів, визначення зростання чи зниження продуктивності праці, режиму економії, собівартості і якості продукції. У відсотках ми виражаємо вологість повітря, жирність молока, вміст солі у розчині, кількість відсутніх/присутніх учнів у класі і т.д. Відсотки ми часто використовуємо у шкільних курсах, зокрема у математиці та фізиці під час обчислення відносної похибки вимірювання, у хімії при обчисленні концентрації розчинів.

По телебаченню, радіо чи в Інтернеті можна часто зустріти інформацію типу: у виборах взяли участь 69,3% виборців, рейтинг переможця хіт-параду дорівнює 82%, банк нараховує 10% річних тощо. Очевидно, що без розуміння такої інформації в сучасному суспільстві було б важко існувати. Тому знання відсотків та загальні навички розв’язування типових задач на відсотки необхідне кожній людині.

Слайд 6

 

 Для розв’язування задач на відсотки слід уміти записувати будь-яке число у вигляді відсотка і розв’язувати обернену задачу – вражати відоме число відсотків у вигляді дробового чи цілого числа.

 Для найпростіших задач на відсотки уведемо таке позначення: х – деяка величина, що приймається за 100% (ціле), у - її частина, яка виражається числом відсотків р%.  Залежно від того, що невідоме – х, у чи р найпростіші задачі на відсотки можна розділити на три види:

•       Знаходження відсотка від числа.
•       Знаходження числа за його відсотком.
•       Знаходження відсоткового відношення двох чисел.

 

(Слайд 7-9)

 

 Іноді для розв’язування таких задач складають пропорцію:

х – 100%

у – р%

 Часто роблять поширену помилку: збільшення числа на р відсотків розуміють як збільшення на р. Але ж якщо число треба збільшити, наприклад, на 30%, то це означає, що воно збільшилося у 1,3 рази (а + 0,3а = 1,3а).

Крім того, якщо величина збільшилася, припустимо, на 20% (у 1,2 рази), тобто у раз, то воно становить свого попереднього значення (оскільки ).  Навпаки, якщо після зменшення величина становить свого попереднього значення, то вона зменшилася у рази.

Вказаною залежністю між відсотками і відношеннями можна пояснити такі факти: при зниженні трудомісткості праці на продуктивність праці (обернена величина) збільшується на 50%; при зниженні цін на 20% купівельна спроможність населення збільшується на 25% і т.д.

Якщо людина не вносить своєчасну плату за що-небудь, то на неї може накладатися штраф – «пеня». Припустимо пеня складає 1% від суми плати за кожний день прострочення. Тоді, наприклад, за 20 днів прострочення сума пені складе 20% від суми плати. І зі 100 грн людина повинна буде внести пеню 100 · 0,2 = 20 грн, тобто всього заплатити 120 грн.

 У різних випадках, для різних людей сума плати, час прострочення і пеня різні. Тому виникає необхідність скласти формулу оплати, яку можна використати при різних обставинах.

 Позначимо: S – щомісячна плата, р% - пеня, п – кількість прострочених днів. Тоді, пеня, яку людина має заплатити за прострочення складе пр% від S, тобто 0,01рпS, а всього людині доведеться заплатити S + 0,01рпS  = S(1 + 0,01рп).

 Таку ж формулу використовують і у банках, якщо деяка величина збільшується або зменшується на однакову кількість відсотків за кожний фіксований період часу. Ця формула описує багато конкретних ситуацій і називається формулою простого відсоткового зростання.

(Слайд 10)

 

У банках для деяких видів вкладів (так званих термінових вкладів, які не можна взяти раніше, ніж, скажімо, через рік) прийнята така система нарахування: за перший рік перебування вкладеної суми в банк на рахунку нараховується, наприклад, 20% від неї. Якщо наприкінці року вкладник не зняв з рахунку ці гроші – «проценти» як їх звичайно називають, то вони приєднуються до вкладеної суми і наприкінці другого року 20% нараховуються уже із збільшеної суми. В даному випадку «відсотки» нараховуються на «відсотки». Для виведення формули складних відсотків розв’яжемо таку задачу: початковий внесок в банк дорівнює S грн. За рік нараховується р відсотків. Обчислити суму внеску через п років.

Через 1 рік сума внеску буде: S + S · 0,01р = S(1 + 0,01р).

Через 2 роки сума внеску буде: S(1 + 0,01р) + S(1 + 0,01р) · 0,01р =

                           S(1 + 0,01р) · (1 + 0,01р) = S(1 + 0,01р)².

Через 3 роки сума внеску буде: S(1 + 0,01р)² + S(1 + 0,01р)² · 0,01р =

                          S(1 + 0,01р)² · (1 + 0,01р) = S(1 + 0,01р)³.

Тобто через п років сума внеску буде: S(1 + 0,01р)^п.

(Слайд 11)

 

Відмінність простого відсоткового зростання і складного відсоткового зростання полягає в тому, що при простому зростанні відсоток кожний раз обчислюють, виходячи з початкового значення величини, а при складному зростанні відсоток обчислюється від попереднього значення. Ця формула використовується не тільки в банковій діяльності, але і в будь-якій ситуації, коли розглядувана величини збільшується або зменшується на певну кількість відсотків, рахуючи від її попереднього значення.

 

 

5. ЗАКРІПЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Технологія особистісно розвивального навчання «Кола ідей»

Студенти об’єднуються у групи. Групи отримують однакове завдання. Спочатку протягом 1 хвилини студенти обговорюють задачу, потім група, яка перша знайшла шлях розв’язання вигукує «Ідея!» і пропонує свій спосіб розв’язування задачі. Ідея обговорюється, коментується і, можливо, доповнюється. Задача розв’язується на дошці.

Розв’язування задач (додаток 1)

1. Відомо, що в 1723 році гетьман Полуботок поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б той капітал до наших днів?                          (≈ у 74393,5 раз)

Використаємо формулу складних відсотків S_п =  S(1 + 0,01р)^п. Зараз 2009 рік, тому  п = 2009 – 1723 = 286. S_п = S(1 + 0,04)²⁸⁶ = S·1,04²⁸⁶ ≈ S·74393,5. До наших днів капітал збільшився б приблизно у 74393,5 раз.

2. Учні збирали гриби. Перший учень зібрав 46% усіх грибів, другий – 32%, а третій - решту 44 гриби. Скільки всього грибів було зібрано?                           

(200 грибів)

(Перший і другий учні разом зібрали 46% + 32% = 78% усіх грибів, то третьому залишилося 100% - 78% = 22%. Ці 22% складають 44 гриби. Знайдемо число за його відсотком: 44 : 0,22 = 200 грибів)

 

3. На скільки відсотків збільшиться продуктивність праці, якщо час на виконання певної операції скоротили на 20%?                              (на 25%)

(Якщо час на виконання однієї операції скоротили на 20% або на , то тепер на цю операцію затрачається попереднього часу. Оскільки продуктивність праці є оберненою величиною, то вона становить або 125% від попереднього значення. Тобто продуктивність праці збільшилася на 25%.)

 

4. Свіжі фрукти містять 72% води, а сушені – 20%. Скільки сушених фруктів одержимо з 20 кг свіжих?                                                         (7 кг)

(Якщо у свіжих фруктах міститься 72% води, то у них 28% сухої маси. Із 20 кг свіжих фруктів можна отримати 20 · 0,28 = 5,6 кг сухої маси. Сушені фрукти містять 20%  води, то сухої маси в них 80%. Залишається знайти число за його відсотком: 5,6 : 0,8 = 7(кг))

 

5. В січні завод виконав 105% місячного плану випуску продукції, а у лютому дав продукції на 4% більше, ніж у січні. На скільки відсотків завод перевиконав двохмісячний план випуску продукції?              (7,1%)

(Нехай х - початковий план випуску продукції заводу за один місяць, що відповідає 100%. У січні завод випустив 1,05х продукції, а у лютому – 1,05х + 1,05х · 0,04 = 1,092х. За два місяці завод мав виконати 2х продукції, а виконав 1,05х + 1,092х = 2,142х. Складемо пропорцію:

2х – 100%

2,142х – у%.

Звідси у% = (2,142х  · 100%) : 2х = 107,1%. Отже, план перевиконано на 7,1%)

 

6. Скільки грамів води треба додати до 40 грам 25%-го розчину сірчаної кислоти, щоб одержати 10%-ний розчин?                                            (60 г)

(У 40 грамах 25%-го розчину міститься 40  · 0,25 = 10 грам кислоти. Нехай треба додати х грам води, тоді маса розчину стане (40 + х) грам і, оскільки цей розчин буде 10%-ний, то кислоти в ньому буде (40 + х) · 0,1 грам. Вміст кислоти при розведенні розчину не змінився, тому маємо рівняння: (40 + х) · 0,1 = 10. Звідси х = 60. Треба долити 60 грам води.)

 

 

6. ПІДВЕДЕННЯ ПІДСУМКІВ ЗАНЯТТЯ

6.1 Слово викладача

На занятті ми розширили знання про відсотки, познайомились з основними типами задач на відсотки, з формулами простого та складного відсотка, навчилися застосовувати здобутті знання при розв’язуванні задач. А зараз повторимо найголовніше.

 

6.2. Фронтальне опитування за запитаннями

Гра «Знайди пару»

(Додаток 2, з використанням проектора: слайд 12-16): на екран виводиться задача. У студентів на столах лежать картки з типом задач на відсотки, необхідно встановити відповідність.

 

6.3. Інтерактивна технологія «Незакінчені речення»

•    На сьогоднішньому занятті я дізнався...
•    На сьогоднішньому занятті найважливішим відкриттям для мене було...
•    На початку заняття я поставив перед собою ціль. Ось як я її досягнув…

 

6.4 Виставлення та коментар оцінок

 

7. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

(проектується на екран, слайд 17, надається усний коментар)

1. Г. П. Бевз, В. Г. Бевз Математика 10 клас

      & 3, № 108, 111, 116, 123.

2. Творче завдання

«Який сенс вивчення відсотків є у побуті та у суспільному житті?»

 

 

 

ПОБАЖАННЯ

Слайд 18

 

Я вам бажаю 100 % здоров’я, радості, удачі.

Над математикою жоден з вас в житті ніколи хай не плаче.

Прибутків щиро зичу вам у друзях, у родині, в грошах.

Знання міцні ви здобувайте, бо це завжди найлегша ноша.

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Г. П. Бевз Математика: 10: підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: рівень стандарту / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2010. – 250 с.
2. Мерзляк А. Г. Математика: підруч. для 5 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю. М. Рабінович, М. С. Якір. – Х.: Гімназія, 2013. – 352 с. :іл..
3. Мерзляк А. Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл.: збірник задач і контрольних робіт / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю. М. Рабінович, М. С. Якір. – Х.: Гімназія, 2010. – 144 с. :іл..
4. Роганін О.М. Плани - конспекти уроків.