Уроки на тему : "Нерівності. Алгебра. 9 клас"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нерівності

 

Уроки з використанням комп'ютерних технологій.

 

Конспекти уроків

з алгебри у 9-му класі.

 

 

 

 

 

 

 

Вчитель. Килиба Тамара Іванівна

 

 

 

 

                                                               Вступ

У Концепції загальної середньої освіти зазначено: «Освіта XXI століття - це освіта для людини… XXI століття - це час переходу до високотехнологічного інформаційного суспільства, у якому якість людського потенціалу, рівень освіченості і культури всього населення набувають вирішального значення для економічного і соціального поступу країни.».

В галузі шкільної освіти взято курс на гуманізацію і демократизацію навчання, а головною його метою стає розвиток особистості як найвищої цінності суспільства.

Одним із напрямків формування особистості школяра як творчої, розвитку позитивних якостей кожного учня, його потенційних можливостей є впровадження інформаційних комп’ютерних технологій (далі ІКТ)  у навчальний процес.

Ще Блез Паскаль зазначав, що предмет математики є таким серйозним, що зробити його цікавим не тільки можна, а й треба. Тому на уроках математики  комп’ютер є доцільним засобом навчання і ефективним помічником учителеві у вирішенні проблем викладання математики.

Застосування програмних засобів навчання математики, з урахуванням інтересів і здібностей учнів сприятиме становленню всебічно розвиненої особистості. Нова організація навчальної діяльності учнів, яка ґрунтується на запровадженні у навчальний процес ІКТ, змінює джерела навчальних відомостей, і, в першу чергу, навчальну книгу. Крім традиційних друкованих підручників, у навчанні математики ширше застосовуються  підручники нового типу: програмовані, мультимедійні, електронні.
            Пропоную добірку уроків алгебри в 9 класі по темі «Нерівності» з використанням комп’ютерних технологій, під час проведення яких використовується програмний засіб “Бібліотека електронних наочностей „Алгебра 7-9 клас” для загальноосвітніх навчальних закладів”, програма PowerPoint та  редактор тестів Test W2.

Уроки розраховані на проведення з неоднорідним по успішності класом (25-30 учнів) у комп’ютерному класі (по 2 учні за комп’ютером)

            При проведенні уроків мається на увазі, що учні знають вже прийоми роботи з вказаними комп’ютерними програмами. Для слабо підготовлених дітей необхідно більше приділити уваги технології роботи з комп’ютером.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             Урок 1.

Тема уроку. Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей.

Дидактична мета уроку. Ввести поняття числової нерівності. Сформулювати основні властивості числових нерівностей.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань

Форма проведення: лекція з використанням комп’ютерів

Склад уроку у бібліотеці уроків:

• опорний конспект «Означення поняття «більше», «менше». Приклади»
• опорний конспект «Знаки нерівностей. Порівняння двох чисел. Приклади»
• опорний конспект «Означення числової нерівності. Приклади числових нерівностей»

План проведення лекції:

1. Обґрунтування необхідності введення різниці виразів
2. Введення означень: a > b, a <b, a = b з використанням ПЗ «Алгебра 7 – 9 клас»; виконання прикладів, наведених у ПЗ

3. Знаки нерівностей. Усвідомлення матеріалу  за допомогою ПЗ «Алгебра 7 – 9 клас»
4. Означення нерівності за допомогою ПЗ «Алгебра 7 – 9 клас»
5. Типи нерівностей (використання слайда)
6. Основні властивості числових нерівностей.

 

Хід проведення уроку-лекції

І. Усвідомлення матеріалу лекції.

1. Обґрунтування необхідності введення різниці виразів

Порівняння чисел широко використовується на практиці. Наприклад, фермер порівнює затрати на виробництво 1т зерна та ціну 1т реалізованого зерна; лікар порівнює температуру хворого з нормальною; токар порівнює розміри виготовленої деталі з еталоном; учень порівнює свій зріст зі зростом товариша тощо. У всіх випадках порівнюються деякі числа.

Порівняємо, наприклад, числа . Порівняти їх можна, якщо нанести на координатну пряму і з’ясувати, яке число розташоване правіше. Проте цей спосіб не зовсім зручний, тому знайдемо різницю:

Отже, , тобто число одержуємо додаванням до числа    числа . Це означає, що число  більше від числа . Таким чином, , оскільки їхня різниця додатна, тобто

2.Введення означень: a > b, a <b, a = b

Робота за комп’ютерами.

Використовуючи програмний засіб «Алгебра 7 – 9 клас», з’ясуємо, що означає  вислів

 « a > b, a <b»

( Алгоритм роботи учнів:

• на робочому столі знаходимо ярлик  програми « Алгебра 7-9 клас») ;
• запускаємо програму, обравши персоніфікацію «учень»;

 

• меню Файл → Навчальна програма → 9 клас;
• Опорні конспекти → Нерівності → Означення поняття «більше», «менше».

 

Розглянемо приклади:

 

Оскільки різниця a-b може бути додатною, від’ємною або дорівнювати нулю, то для довільних дійсних чисел а і  b  виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: a>b, a<b,  a=b. (Знак рівності = був уведений вперше англійським лікарем Р. Рекордом у 1577 році, знаки >,< ввів  англійський вчений Т. Гаррієт (1560 – 1621)).

Порівняти числа а і  b  - означає з’ясувати, який  із знаків  >,<, = слід поставити між цими числами, щоб отримати вірне співвідношення.

3. Знаки нерівностей. Усвідомлення матеріалу  за допомогою ПЗ «Алгебра 7 – 9 клас»

 

 

4.Означення нерівності за допомогою ПЗ «Алгебра 7 – 9 клас»

 

5.Типи нерівностей  (пояснення супроводжується використанням слайда 1 )

Два вирази, які сполучені знаками <, > називають строгими нерівностями:

7<8, 10>6, 3х + 5< х

Два вирази, які сполучені знаками ≤, ≥ називають нестрогими нерівностями:

4а – 5 ≥ 2, 8х +1 ≤ 9х

Якщо обидві частини нерівності є числа, то нерівність називають числовою:

4>2, 8<9

Такі нерівності бувають правильні або неправильні:

1>2 – правильна,  1<3 -  неправильна

Нерівність, яка містить змінну, називають нерівністю із змінною:

2х² – 3х >0, 3х – 5 < 0

 Якщо замість змінної підставити число, то отримаємо правильну або неправильну числову нерівність. Якщо утворюється правильна числова нерівність, то говорять, що значення змінної задовольняють нерівність, а якщо неправильну, то – не задовольняють:

нерівність 3х – 5 < 0 перетворюється на правильну, якщо замість х підставити числа 1, 0, -1, -2; буде неправильною, якщо х = 2, 3, 4 (говорять, що х = 2, 3, 4 не задовольняють нерівність)

 

 

6.Основні властивості числових нерівностей.

Розглянемо властивості числових нерівностей, які  називають основними, бо вони часто використовуються при доведенні інших властивостей, при розв’язуванні інших задач.

Теорема 1.Якщо a<b  i b<c , то a<c .(Або: Якщо a>b  i b>c , то a>c) .

Доведення

Якщо a<b, то  a - b <0. Якщо b<c, то b-c<0. Додавши від’ємні числа a – b  і b-c, одержимо  (а – b)+ (b – c)= a – b + b – c =a – c <0

Отже, a<c 

Геометрично ця властивість означає: якщо точка А (якій відповідає число а) лежить лівіше від точки В (якій відповідає число в), а точка В в свою чергу лежить лівіше від точки С (якій відповідає число с), то точка А тим більше буде лежати лівіше від точки С

Теорема 2 Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність:

Якщо a<b і с – довільне число, то a+c <b+c

Доведення.

Якщо a<b, то  a - b <0.  В лівій частині нерівності додамо с і тут же його віднімемо, виконуючи групування маємо: (a+c) – (b+c)= a +c – b – c= a – b<0

Таким чином, а+с<b+c

Аналогічно, якщо a>b,с – довільне число, то a+c>b+c

Наслідок: будь який доданок можна перенести із однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Доведення.

Нехай a<b+c Додамо до обох части нерівності число – с, отримаємо a – c<b+c – c. Тобто a – c<b.

Теорема 3.1Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то дістанемо правильну нерівність: якщо a<b i c>0, то ac<bc

2. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то дістанемо правильну нерівність: якщо a<b i c<0, то ac>bc

Доведення.

1. Нехай a<b i c>0. Доведемо, що  ac<bc

За умовою a – b <0 i c>0, тому (a – b)c < 0; ac – bc < 0. Отже, ac < bc

2. Нехай a<b i c<0, доведемо що ac>bc

За умовою a – b < 0 i c<0, тому (a – b)c > 0, тобто ac – bc > 0. А це і означає, що ac>bc

Оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене до дільника, то аналогічні властивості можна записати і для ділення:

а) якщо a<b i c>0, то ;

б) якщо a<b i c<0,  то .

ІІ. Самостійне опрацювання опорного конспекту з Бібліотеки електронних наочностей.

ІІІ. Виконання вправ.

№ № 66, 68,70

ІV. Підведення підсумків уроку.

Користуючись матеріалами слайда 2 згадати і сформулювати основні властивості рівностей і нерівностей:

 

 

V. Завдання додому.

1) Опрацювати опорні конспекти лекції: на високому і достатньому рівнях властивості з доведенням; на середньому – без доведення;

2) До кожної властивості скласти і розв’язати власні приклади.

 

 

Урок 3

Тема уроку. Почленне  додавання і множення нерівностей

Дидактична мета уроку. Формувати вміння учнів почленно додавати і перемножувати нерівності.

Тип уроку. Засвоєння нових знань та вмінь

 

Склад уроку у бібліотеці уроків:

• опорний конспект «Почленне  додавання нерівностей»
• опорний конспект «Почленне множення нерівностей»

 

 

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Робота з картками контролю теоретичних знань (Л.Г. Стадник, О.М.Роганін. Алгебра 9. Поточний і підсумковий контроль». Тема «Нерівності») (див. додаток до уроку)

2. Математичний диктант (робота за комп’ютерами, умова завдань на моніторах, слайди 3,4; відповіді учні записують на окремих аркушах, які потім перевіряє вчитель)

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Задача 1. Турист у перший день пройшов більше 12 км, а в другий день – більше 15км. Скільки кілометрів пройшов турист за ці дні?

(Можна стверджувати, що він пройшов більше 27км)

Отже, щоб розв’язати цю задачу, нам прийшлося додати окремо ліві і праві частини двох нерівностей:

S₁>12,

S₂>15

S₁+S₂>12+15,

де S₁ – шлях туриста за перший день,  де S₂ – шлях туриста за другий день.

Задача 2. Що можна сказати за площу прямокутника, у якого ширина менша  за 5см, а довжина менша  за 10см?

(Площа буде більшою за 50см²)

Отже, щоб розв’язати цю задачу, нам прийшлося множити окремо ліві і праві частини двох нерівностей:

a<5

b<10

 ab<50, де а – ширина прямокутника, b – довжина прямокутника

Висновок: Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати.

Нерівності з однаковими знаками можна почленно множити, якщо їх ліві і праві частини – додатні числа.

ІІІ. Оголошення теми, мети уроку.

Сьогодні ми продовжуємо вивчати основні властивості числових нерівностей, навчимося почленно додавати і множити нерівності.

IV. Вивчення нового матеріалу.

Теорема 3. Якщо a>b i c>d, то a+c>b+d     

Доведення

За умовою a – b >0 i  c – d >0. Розглянемо різницю  (a+c) – (b+d) = a+c – b – d =

=(a – b )+(c – d). Оскільки сума додатних чисел додатна, то (a+c) – (b+d) >0, а це і означає, що(a – b )>(c – d).

Таким чином, якщо почленно додати ліві і праві частини правильних числових нерівностей однакового знаку, то одержимо правильну числову нерівність.

Наприклад: (працюємо з ПЗ «Алгебра 7-9 клас», Урок 3)

Додайте почленно нерівності:

-4>-7  і

12>5 

Знайдемо суму лівих частин нерівностей:

-4+12=8 .

Додамо праві частини нерівностей:

-7+5=-2 .

Оскільки знаки нерівностей збігаються, то маємо нерівність:

8>-2 .

Теорема 5. Якщо a<b, c<d i a>0, b>0, c>0, d>0, то ac<bd

Доведення.

Оскільки a<b i c>0 ,то  ac<bc  (за теоремою 3, уроку 1)

Оскільки c<d, b>0, то bc<bd  (за теоремою 3, уроку 1)

 Оскільки ac<bc i bc<bd, то  ac<bd (за теоремою1)

 Таким чином, якщо перемножити почленно ліві і праві частини правильних числових нерівностей одного знаку, всі числа яких додатні, то отримаємо правильну нерівність такого же знаку.

Наприклад:  (працюємо з ПЗ «Алгебра 7-9 клас», Урок 3)

Перемножте почленно нерівності:

2,4<2,8  і

5<8 

Помножимо ліві частини нерівностей:

2,4·5=12 .

Помножимо праві частини нерівностей:

2,8·8=22,4

Оскільки всі члени заданих нерівностей додатні і знаки нерівностей збігаються, то маємо нерівність:

12<22,4 .

Зверніть увагу:

! Доведені теореми справедливі для трьох і більше нерівностей.

! Вимога для чисел теореми 5 бути додатними -  суттєва. Порушення її приводить до неправильного висновку:

-3<4  - правильна нерівність;

-2<1 – правильна нерівність;

-3 ∙ (-2) < 4 ∙ 1 – неправильна! нерівність, оскільки 6>4

V. Усвідомлення вивченого матеріалу.

1. Виконання усних вправ (з використанням комп’ютерів, слайди 5,6)

 

 

2. Розв’язування письмових вправ у зошитах з підручника

а) Коментоване розв’язання вправ №№ 71, 72 (рівень А – обов’язковий)

б) Колективне розв’язування вправи №82 (рівень Б): доведіть, що діагональ чотирикутника  менше від його півпериметра.

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Нехай дано довільний чотирикутник ABCD

З нерівності трикутника випливає, що (з трикутника АВС)

З трикутника АСД випливає, що

Додамо ліві і праві частини нерівності:

                                                                   

                                                                     

VI. Підведення підсумків уроку

Користуючись таблицею

1. Сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей (рівностей)
2. Сформулюйте теорему про почленне множення  нерівностей (рівностей)

VII. Завдання додому.

Опрацювати теореми 4, 5 §2; дати відповіді на запитання 4,5; виконати вправи №№71(б, г), 72 (б,г) (рівень А), № 82 (б) (рівень Б)

 

Урок 4

Тема уроку. Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу.

 Дидактична мета уроку. Навчити учнів оцінювати значення виразів, застосовуючи властивості числових нерівностей.

Тип уроку. Засвоєння нових знань та вмінь

Склад уроку у бібліотеці уроків:

• опорний конспект «Оцінка величини виразу, зокрема квадратних коренів, за допомогою нерівностей»

 

І. Актуалізація опорних знань

1. Перевірка домашнього завдання.

- Перевірити наявність домашніх завдань, дати відповіді на  запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні

- Дати відповіді на запитання 1 – 5 ст.18

2. Означення подвійної нерівності (провести за підручником ст.22)

3. Приклади подвійних нерівностей. Формування навичок читання подвійних нерівностей.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Відомо, що 3<x<8

                   2<y<6

Яких значень може набувати сума x+y, різниця x – y , добуток xy, частка цих виразів?

ІІІ. Оголошення теми і мети уроку.

Щоб дати відповіді на поставлене питання, треба звернутися до вивчених на попередніх уроках властивостей нерівностей. Тому сьогодні на уроці ми розглянемо застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу.

IV Формування в учнів уміння застосовувати властивості числових нерівностей для оцінювання значення виразу.

Нехай 3<x<8

          2<y<6

1.Оцінимо суму x+y.

 Оскільки    3<x, а 2<y, то, за теоремою про почленне додавання нерівностей, маємо 5<x+y. Оскільки x<8, а  y<6, то x+y <14. Результат можна записати у вигляді подвійної нерівності: 5<x+y<14. Запис, як правило, проводять коротше:

           3<x<8

       ⁺  2<y<6

         5<x+y<14.

2. Оцінимо різницю x-y.

Для цього запишемо x-y= x+ (-y). Користуючись тим, що нерівності можна множити на одне і те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак на протилежний маємо:

 2<y<6, помножимо обидві частини нерівності на -1, змінюючи знаки на протилежні: -2 >-y >-6, або -6< -y <-2. Застосовуючи теорему про почленне додавання нерівностей, маємо:

    3<x<8

 ⁺-6< -y <-2

   -3<x-y<6

3. Оцінимо добуток xy.

Кожне з чисел x і y обмежено додатними числами, тому вони теж є додатними. За теоремою про почленне множення нерівностей, маємо:

            3<x<8

          ^х2<y<6

           6<xy<48

4. Оцінимо частку

Для цього подамо її у вигляді добутку: = х∙. Спочатку оцінимо .

За умовою 2<y<6, тому , тобто . За теоремою про почленне множення нерівностей, маємо:

   3<x<8

^х

4

V. Виконання вправ на усвідомлення оцінювання значень виразів.

1. Самостійне виконання вправ

(завдання на моніторах комп’ютерів, виконуються самостійно за варіантами)

Перевірка правильності виконаних вправ (усно)

2. Коментоване виконання вправ із зразком на дошці

1) Довести, що якщо a>2, b>5,  то

a) 3a + 2b>16;                                б) ab – 1 >9;                        в) a² + b²>29;

г) a³ + b³>133;                              д) (a + b)²>35                      е)(a + b)³>340.

Зразок оформлення:

Розв’язання

a) Якщо a>2, то за властивістю нерівностей 3а> 6;

якщо b>5, то за властивістю нерівностей 2b>10;

тоді за теоремою про почленне  додавання нерівностей маємо:3a + 2b>16.

 

(Приклади б – е розв’язуються аналогічно)

 

2) У яких межах знаходиться периметр прямокутника, якщо відомо, що довжина a і ширина b знаходяться у межах:

4,5<a<4,6 i 6,3<b<7,3?

3. Аналіз застосування оцінки виразу за допомогою комп’ютерів  (робота з ПЗ «Бібліотека електронних наочностей»)

 

 

Аналогічно  розглядаємо покрокове  розв’язання прикладів 2, 3 із записом у зошити.

VI. Підведення підсумків уроку

Якщо a<x<b, c<y<d, де  a, b, c, d – додатні числа, то в яких межах лежать значення виразів: а)x + y;  б) x – y; в) x ∙y;   г) ?

VII. Домашнє завдання. Опрацювати §3; виконати вправи №№ 99, 104

 

 

 

 

 Тестова перевірка знань, умінь і навичок учнів з теми «Числові нерівності. Властивості числових нерівностей»

Здійснюється за допомогою комп’ютерів на початку нового уроку перед усвідомленням нової теми 

Алгоритм діяльності учнів: з робочого столу комп’ютера запускаємо програму ,

появляється діалогове вікно

 

натиснув  , відкриваємо відповідну тему

Після авторизації

приступаємо до виконання тестових завдань

по закінченні яких отримаємо результат

Завдання для виконання тесту

(взяті із збірника завдань для державної підсумкової атестації)

1. Оцініть периметр P правильного трикутника зі стороною a см, якщо

1,2<a<1,8

А) 2,4<P<3,6;       Б) 3,6<P<5,4;          В) 4,8<P<7,2;          Г) 4,8<P<7,2

2. Яка з нерівностей є правильною?

 А);              Б) ;                В)                      Г)

3. Яка з нерівностей є правильною?

 А) 2m>2n;           Б)m - 2 >n - 2;           В) -2m >-2n;          Г) m + 2 > n + 2.

4. Відомо, що >n. Яке з наведених тверджень хибне?  

А)m - 10< n - 10;   Б)4m > 4n ;            В) m + 9 > n + 9 ;           Г) -2m < -2n

5. Відомо, що -6<x<8. Яке з наведених тверджень є правильним?

А); Б) ; В) Г)

6. Оцініть площу S прямокутника зі сторонами a см і b см, якщо

3<a<8 i 2<b<3,5.

А) 5<S<11,5;      Б) 6<S<28 ;      В) 7<S<27 ;         Г) 10<S<23

7. Відомо, що x>y . Яке з наведених тверджень правильне?

А) -3,4x>-3,4y ;      Б) -3,4x≥-3,4y;   В) -3,4x=3,4y;    Г) -3,4x<-3,4y

8. Відомо, що c<d . Яке з наведених тверджень хибне?

А) 3c>3d;      Б) -5c>-5d;       В) c+8<d+8;     Г) c+8<d+8

9. Відомо, що 1<x<3 i 2<y<4. Оцініть значення виразу xy

А)4<xy<6 ; Б)3<xy<7 ; В) 2<xy<12; Г) 6<xy<14

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

 

1.Концепція загальної середньої освіти (12-річна школа): Формат файла: Microsoft Word – 

 2. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів: Математика  5-12 класи. «Перун». – 26с.

3. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. «Зодіак-ЕКО», 2009. – С.7-20

4. Збірник для державної підсумкової атестації. Алгебра 9 клас. Х.: Гімназія, 2007

5. О.М. Роганін. Алгебра. Плани-конспекти уроків 9 клас. Харків. Видавництво СВІТ ДИТИНСТВА, 2003. – С.1-30

6. Л.Г. Стадник, О.М. Роганін. Комплексний зошит для контролю знань. Алгебра 9 Поточний і підсумковий контроль. Харків: видавництво «Ранок»,  - С.3

7. Програмний засіб “Бібліотека електронних наочностей „Алгебра 7-9 клас” для загальноосвітніх навчальних закладів” (створений для комп’ютерної підтримки уроків алгебри у 7 – 9 класах загальноосвітньої школи по заказу Міністерства освіти і науки України Херсонським державним університетом)