Урок "Розв"язування ірраціональних рівнянь"

  

Розробка заняття з алгебри та початків аналізу

«Розв’язування ірраціональних рівнянь». 10 клас

 

Мета: Узагальнити і систематизувати знання студентів з теми «Ірраціональні   

             рівняння»; розширити знання новими нестандартними методами

             розв’язування ірраціональних рівнянь;

             розвивати навички самоконтролю і самооцінки, взаємопідтримки і   

             взаємодопомоги;

             виховувати етику та культуру спілкування.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань, умінь і навичок

Обладнання: персональні комп’ютери, екран, діапроектор, роздатковий матеріал,   

                         лист оцінки діяльності студента.

 

                                                          Хід уроку

І. Організаційний етап. Повідомлення теми і мети уроку

Навчальна група розділена на 4 групи змішаного складу

Викладач повідомляє мету уроку. Ми повинні:

1. узагальнити вивчені методи розв’язування ірраціональних рівнянь – доручено групі «Аналітиків»;
2. знайти нові нестандартні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Цим займалася група «Математиків»;
3. показати використання програмових засобів при розв’язуванні ірраціональних рівнянь – доручено  групі «Інформатиків»;
4. дати оцінку роботам названих груп надається право групі «Експертів».

 

У кожного з вас на столі лист оцінки діяльності, в який ви повинні виставляти кількість набраних балів за кожний вид роботи. Вкінці уроку ми підведемо підсумок, перевівши загальну кількість балів в оцінку, користуючись шкалою. Бажаю всім успіху!

ІІ. Актуалізація опорних знань

Історична довідка

Поняття ірраціональності асоціюється завжди із зображенням кореня. Знак кореня з’явився у 1525 році. До нашого часу його зображення змінювалось. Хто ж вперше ввів це зображення? Про це ви дізнаєтесь, розгадавши кросворд (слайд).

 

Запитання:

1. Скільки розв’язків має рівняння ? (один)
2. Корінь якого степеня існує із будь-якого числа? (непарного)
3. Як називають корінь третього степеня? (кубічний)
4. Скільки розв’язків має рівняння , якщо a >0? (два)
5. Як називається рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком кореня? (ірраціональне)
6. Як називається корінь рівняння, який одержується в результаті нерівносильних перетворень? (сторонній).

 

 

Завдання

Введіть відповіді на запитання (запитання на слайді) у відповідні комірки електронної таблиці і дізнайтеся ключове слово, яке принесе вам перший успішний бал (Рене Декарт).

Переходимо до бліц-опитування (за правильну відповідь – 1 бал).

Завдання 1. Увага на екран. Знайдіть, будь-ласка, серед запропонованих рівнянь ірраціональні (слайд):

 

 

Завдання 2. Чи являється число коренем рівняння:

1) ,

2) ,

Завдання 3. Знайдіть корені рівняння:

1)

2)

3)

4)

Висновок: повторено означення ірраціонального рівняння, коренів рівняння, властивості кореня n-го степеня та розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь.

IІІ. Узагальнення та систематизація знань

1. Тестування

Для перевірки готовності до уроку пропоную пройти тестування за комп’ютером (за кожну правильну відповідь – 1 бал).

Тест. 1. Обчислити: 

а) 4; б) 2; в) 0,5; г) 8

2. Обчислити:

а) -2; б) -; в) 34; г) розв’язку немає

3. При яких значеннях х вираз має зміст:

а) ; б) ; в) ; г)

4. Розв’язати рівняння:

а) 4; б) 2; в) 16; г) -2

5. Розв’язати рівняння:

а) 11; б) 21; в) -16; г) 121

6. Розв’язати рівняння:

а) 2; б) 265; в) -265; г) коренів немає

7. Розв’язати рівняння:

а) 1; -3,5; б) 1; 3,5; в) -1; г) -1; -3,5.

 

Відповіді:

 

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7
б	г	в	а	г	г	г

 

2. Фронтальна робота

Повторення вивчених методів розв’язування ірраціональних рівнянь

Завдання. Поставити у відповідність записаному рівнянню номер метода, який застосовується для його розв’язання.

                                                               (Слайд)

 

Варіант І

Виберіть метод розв’язування даного ірраціонального рівняння:

1. піднесення до степеня;
2. заміна змінної;
3. розкладання на множники;
4. використання властивостей функції;
5. графічний.

 

 

Рівняння	Методи розв’язування
	1	2	3	4	5
1)
2)
3)
4)
5)

 

Варіант ІІ

Виберіть метод розв’язування  даного ірраціонального рівняння:

1)піднесення до степеня;

2)заміна змінної;

3)розкладання на множники;

4)використання властивостей функції;

5)графічний.

 

 

Рівняння	Методи розв’язування
	1	2	3	4	5
1)
2)
3)
4)
5)

 

      Взаємоперевіркою студенти підраховують кількість набраних балів

     

Відповіді:

Варіант І

 

	1	2	3	4	5
1		+
2			+
3	+
4					+
5				+

 

Варіант 2

 

	1	2	3	4	5
1	+
2		+
3				+
4					+
5			+

 

         3. Проаналізують застосування методів розв’язування ірраціональних рівнянь представники групи «Аналітиків» (виступ групи «Аналітиків»).

 

Нам уже відомі такі способи розв’язування ірраціональних рівнянь:

1. піднесення обох частин рівняння до одного степеня;
2. заміна змінної в рівнянні;
3. розкладання на множники;
4. використання властивостей функції ;
5. графічний метод.

Наша група прийшла до висновку, що при розв’язуванні будь-якого ірраціонального рівняння треба застосовувати метод «пильного погляду», тобто спочатку треба уважно роздивитись і проаналізувати умову рівняння, а потім уже визначатись з методом розв’язання.

Наприклад, до 3-го  рівняння на перший погляд можна застосувати метод піднесення обох частин до степеня. Але це приводить до громіздких записів. Витрачається багато часу на розв’язання.

«Пильним поглядом» розглянувши умову, ми бачимо, що область визначення функції            y =: , а y =: , тому тут доречно знайти область визначення функції, яка стоїть в лівій частині:

 

 

2. 5

 

х є  О

 

Отже, ліва частина не існує ні при одному значенні х. Таким чином, питання про розв’язок рівняння знімається

4 рівняння розв’язується графічно. Побудувавши графіки функцій і  в одній системі  координат,  ми отримаємо точку перетину, абсциса якої і є розв’язком рівняння: х=3

 

 

Графік (слайд)

 

Враховуючи, що точність побудови графіків може бути порушена, треба обов’язково зробити для себе перевірку:

1=1 – вірно.

У першому рівнянні в лівій і правій частинах корінь другого степеня, тому використовуємо метод піднесення до степеня.

Показники коренів другого рівняння    2 і 4,  4 у 2 рази більше, ніж 2. Тому треба ввести нову змінну і прийти до квадратного рівняння.

У 5 рівнянні присутній однаковий множник , який треба винести за дужки і розкласти ліву частину на множники.

         Таким чином, метод «пильного погляду» дуже допомагає нам при розв’язуванні ірраціональних рівнянь.

 

4. Завдання. В групах розв’язати рівняння методом «пильного погляду».

1.

2.

3.

   Яка з груп найшвидше виконає завдання?

 

5. Група «Математиків» досліджувала нові нестандартні методи розв’язування ірраціональних рівнянь (виступ групи «Математиків»).

 

Крім названих методів існують ще такі: метод виділення повних квадратів, метод оцінки, векторний метод, метод використання обмеженості функції. Інколи буває складно виконати обчислення під час перевірки коренів рівняння, наприклад, для такого числа, як . Тому для подібних ситуацій можливий інший шлях розв’язування – метод рівносильних перетворень.

1. Метод рівносильних перетворень

Рівняння виду рівносильне системі 

Зрозуміло, що рівняння також рівносильне системі .

Вибір відповідної системи пов'язаний з тим, яку з нерівностей, чи , розв’язувати легше. Наприклад, розв’яжемо рівняння .

Розв’язання:

Дане рівняння рівносильне системі

 

            

 

Відповідь:

 

2. Метод оцінки

Цей спосіб можна застосувати  в тому випадку, якщо підкореневий вираз - квадратний тричлен , який не розкладається на лінійні множники. Тому треба оцінити ліву і праву частину рівняння.

Приклад 1.

Оцінюємо обидві частини рівняння:

,

,

Ліва частина існує при всіх х, не менших 5, а права – при всіх значеннях, не більших 5, отже, рівняння буде мати розв’язок тоді, коли обидві частини одночасно будуть дорівнювати  5, т. б. справедлива  система:

Коренем другого рівняння

Перевіримо, чи є це  число коренем другого рівняння:

 

.

Відповідь: -1

 

 

 

 

6. Самостійна робота

 

Студенти розв’язують рівняння у зошитах. Два студенти на дошці розв’язують третє рівняння свого варіанту.

 

Варіант 1

      №1. Розв’яжіть рівняння    .

1)	15	3)	12
2)	17	4)	4

№2. Розв’яжіть рівняння   і вкажіть найменший корінь

1)	6	3)	-5
2)	5	4)	-6

№3. Розв’яжіть рівняння   

 

   Варіант 2

№1. Розв’яжіть рівняння  .

1)	4	3)	-1
2)	3	4)	9

№2. Розв’яжіть рівняння   

1)	26	3)	-1
2)	-3	4)	0

        №3. Розв’яжіть рівняння 

 

Увага на екран! Перевірте свої розв’язки.

 

Відповіді:

(слайд)

 

Варіант 1	17	-5	6
Варіант 2	3	0	9

 

Для домашньої роботи пропонуються рівняння протилежного варіанту.

 

  6. Використання програмових засобів при розв’язуванні ірраціональних рівнянь продемонструє група «Інформатиків» (виступ групи «Інформатиків»)

(слайди)

 

7. Висновки групи «Експертів»

 

 

 

 

 

 

IV. Підведення підсумків. Оцінювання діяльності студентів.

 

Пропоную в групах оцінити свою роботу і виставити кількість набраних балів у лист оцінки.

У кожного з вас заповнений лист оцінки діяльності, тому підведіть підсумок і виставте собі оцінку за урок.

- Хто набрав від 17 і більше балів?

- А хто від 11 до 16 балів?

 

V. Рефлексія

 

У вас на столі знаходяться різнокольорові геометричні фігури.

- Хто не допустив жодної помилки і повністю задоволений результатом, оберіть собі фігуру червоного кольору.

- Хто допустив неточність – жовтого кольору.

- А кому треба ще постаратися і успіх обов’язково прийде – синього кольору.

Я вважаю, що всі успішно попрацювали, про що говорить наше дерево успіху.

(слайд)

 

Притча:

Ішов Мудрець, а назустріч йому три чоловіки, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і задав кожному запитання. У першого запитав «Що ти робив цілий день?». І той відповів, що цілий день возив це важке каміння. У другого запитав мудрець «А що ти робив цілий день?», і той відповів: «А я добросовісно виконував свою роботу». А третій посміхнувся, його обличчя засвітилося радістю і задоволенням: « А я приймав участь у будівництві храму!»

І ми сьогодні на уроці приймали участь у будівництві храму – храму науки.

 

Бажаю всім ще кращих результатів. Дякую за роботу!