Урок "Розв'язування комбінаторних задач"

Про матеріал

Конспект уроку алгебри на тему "Розв'язування комбінаторних задач" для учнів 11 класу

Перегляд файлу

Тема уроку. Розв’язування комбінаторних задач.

Мета уроку

дидактична (навчальна): формувати уміння і навички розв’язувати різні види комбінаторних задач, застосовувати основні теореми комбінаторики – правила суми та добутку, закріпити відомі методи і способи на практиці, вчити застосовувати знання на практиці;
розвивальна: розвиток розумових здібностей, логічного мислення, уваги і

кмітливості учнів;

– виховна: створення атмосфери емоційного підйому, співпраці; сприяння зацікавленості даною темою, історією дисципліни; формування навичок колективної праці, об’єктивного самооцінювання.

Тип уроку. Комбінований

Епіграф: «Число, положення і комбінація – три різні сфери думки, але

які взаємно перетинаються і до них можна віднести усі

математичні ідеї»

Англ. математик Дж. Сильвестр (1844р.)

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

а) Повідомлення теми і мети заняття.

б) Перевірка домашнього завдання.

На екрані з’являються задачі домашнього завдання з відповідями. За кожну правильну відповідь учні виставляють собі в зошит 1 бал

Задачі домашнього завдання і відповіді до них.

№1 Скоротити дріб:

1) Відповідь: 30 2) Відповідь: 840

№2 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр: «2; 7; 8; 6»?

Відповідь:

№3 Скількома способами можна вибрати два олівця різного кольору з

дванадцяти різнокольорових олівців?

Відповідь:

№4 Комісія складається з голови, заступника і ще п’яти осіб. Скількома

способами сім членів комісії можуть розподілити між собою обов’язки

голови і заступника?

Відповідь:

№5 Мають набори з десяти різних букв і п’яти різних цифр.

Скількома способами можна обрати:

1) одну букву або цифру? Відповідь: правило суми – 15

2) набір з однієї букви і однієї цифри? Відповідь: правило добутку – 50

Додаткові завдання.

Приклад 1.

Для захисту інформації на комп’ютері використовують пароль – послідовність літер або цифр довжиною від 3 до 5 символів (пароль може мати декілька однакових символів). Скільки різних паролів можна утворити, використовуючи 26 літер та 10 цифр?

Розв’язання.

Пароль містить три символи. Обираємо перший символ. Маємо 36 можливостей це зробити. Для другого – теж 36, як і для третього. Тоді, за правилом множення, загальна кількість паролів дорівнює 36³.
Якщо ми вирішимо, що пароль міститиме 4 символи, то кількість різних паролів становитиме 36⁴. Якщо ж наш вибір – 5 символів, то варіантів 36⁵.
Тому, за правилом суми, загальна кількість можливих варіантів паролів 36³+36⁴+36⁵=46656+1679616+60466176=62 192 468

Приклад 2.

Скількома способами 12 осіб можна розмістити за столом, біля якого поставлено 12 стільців?

Розв’язання.

Р_І2= 12! способами.12! = 479 001 600.

Вчитель. Якщо гості будуть пересаджуватися щохвилини протягом 11 год на добу 365 днів на рік з відпочинком 1 день у високосному році, то на це піде 1988 років і 140 днів.

в) Роздавання карток самоконтролю, пояснення, як з ними працювати.

	Прізвище, ім’я ________________________________________
Перевірка домашнього завдання max – 7 б	Комп’ютерне тестування max – 11 б	Розв’язування задачі біля дошки. max – 4 б	Самостійна робота з картками. max – 8 б	Додаткові бали

Сума балів:
Оцінка:

У відповідну колонку картки самоконтролю учні виставляють собі суму балів за правильність виконання домашнього завдання

г) Вступне слово вчителя.

На попередніх заняттях ми отримали весь необхідний теоретичний матеріал з теми: «Комбінаторика», без якого неможливе розв’язування задач теорії ймовірності які ми будемо вивчати згодом.

Математика – це наука, оволодіти якою можна тільки через поєднання теорії з практикою. Академік О.М. Крилов сказав: «Теорія без практики мертва та безплідна, практика без теорії неможлива чи згубна. Для теорії потрібні головним чином знання, для практики, крім того, і вміння». Тому спочатку перевіримо, як ви опанували теоретичний матеріал.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Комп’ютерний тест

а) Математичний диктант у формі «незакінчених речень».

1. На екрані з’являються «незакінчені речення», які учні доповнюють у робочих зошитах.

Учні , що сидять поруч, обмінюються зошитами і перевіряють роботи один одного. За кожну правильну відповідь нараховується 1 бал.

2. На екрані з’являються «повні речення»

«Незакінчені речення» + «Повні речення» ( Відповіді )

1. Різні групи елементів деякої множини, що відрізняються елементами або

порядком цих елементів, називають сполуками.

2. Комбінаторика – це розділ математики, в якому вивчаються властивості сполук і формули обчислення кількості різних сполук.

3. Якщо порядком елементів сполуки між собою не відрізняються, то це – комбінації.

4. Якщо сполуки відрізняються порядком елементів і всі елементи множини входять у сполуку, то це – перестановки.

5. Якщо сполуки відрізняються і елементами, і порядком цих елементів, але не всі елементи множини входять у сполуку, то це – розміщення.

6. n! = 1∙2∙3∙ … ∙(n – 1)∙n

7. – це формула обчислення кількості розміщень.

8. – це формула обчислення кількості перестановок.

9. – це формула обчислення кількості комбінацій.

10. Якщо елемент А можна обрати m-способами, а елемент B – n-способами,

то А і В можна обрати m∙n способами. Це правило добутку.

11. Якщо елемент А можна обрати m-способами, а елемент B – n-способами,

то А або В можна обрати (m + n) способами. Це правило суми.

Учні, переконавшись у правильності оцінювання, заносять сумарну кількість балів у відповідну колонку картки самоконтролю.

б) Схема розв’язування комбінаторних задач.

Вчитель. « Ми вже розв’язували з Вами нескладні комбінаторні задачі, але насамперед знали, який вид сполук в них присутній, або яке правило: суми чи добутку треба застосувати. Тепер нам потрібно навчитися самостійно розрізняти види сполук в комбінаторних задачах. Для цього вам у нагоді стане схема розв’язування комбінаторних задач.»

Запитання:

1) В яких сполуках враховується порядок елементів? ( В перестановках і розміщеннях. В комбінаціях порядок слідування елементів не враховується. Тому це перше запитання схеми.)

2) Якщо порядок слідування елементів враховується, то отримуємо наступне запитання. В яку сполуку входять всі елементи множини? ( В перестановки.

Якщо не всі елементи входять, то обираємо останній вид – комбінації)

3) Якщо обирають елементи А і В з двох різних множин, то яке правило треба застосувати? ( Правило добутку )

4) Якщо обирають елемент А або В з двох різних множин, то яке правило треба застосувати? ( Правило суми )

Схема розв’язування комбінаторних задач

Вибір формули

Перестановки	Розміщення	Комбінації

(1)

Так (2) Ні (3)

Так (4) Ні (5)

Вибір правила

Правило суми (6)

Правило добутку (7)

Якщо елемент А можна вибрати m способами, а елемент В – n способами, то А або В можна вибрати (m + n) способами

Якщо елемент А можна вибрати m способами, а після цього елемент В – n способами, то А і В можна вибрати (m ∙ n) способами

ІІІ. Формування умінь і навичок.

а) Розв’язування задач з використанням схеми На екрані з’являються задачі.

Учні за бажанням виходять працювати до дошки, отримуючи від 1-го до 4-х балів.

Розв’язування задач

(біля дошки).

1. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна скласти з набору

« 1; 2; 3; 4; 5»?

Схема: (1) – (2) – (5)

2. На площині позначено 8 точок (жодні 3 не лежать на одній прямий). Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

Схема: (1) – (3)

3. Скількома способами можна розставити 7 книжок на полиці?

Схема: (1) – (2) – (4)

4. З 10 учнів потрібно вибрати двох для прибирання кабінету. Скільки існує варіантів вибору?

Схема: (1) – (3)

5. Розклад містить 4 уроки на день з різних 10-ти предметів. Скільки існує варіантів скласти розклад на один день(предмети не повторюються)?

Схема: (1) – (2) – (5)

б) Хвилинка відпочинку: « З історії розвитку комбінаторики»

Викладач: З задачами, в яких приходиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи. Пізніше, поряд із спортивними змаганнями з’явились ігри з різними фігурами чи предметами, в яких вигравав той, хто краще знав переможні комбінації та вмів уникати програшних.(Давня єгипетська гра «сенет», в яку грав фараон Тутанхамон, нарди, китайські та японські шахмати, японські шашки «го» і т. д.) Що ж було поштовхом до виникнення комбінаторики, як науки? Для чого ще потрібні знання з комбінаторики, крім відомого вже нам застосування в теорії ймовірності?

Доповіді учнів

Під час доповідей на екрані з’являються портрети вчених-математиків.

1.Перша праця, що містила комбінаторні задачі, увійшла в книгу «Книгу Абака» видатного математика Леонардо Фібоначчі в 1202 р. Наприклад, задача про пошук найменшої кількості гир, за допомогою яких можна отримати будь-яку цілу вагу від 1 до 40 фунтів.

Але поштовхом до виникнення комбінаторики був розквіт азартних ігор, зокрема гри в кості. Питаннями, що пов’язані з цією грою, займалися в ХVIст. італійські математики – Джероламо Кардано, Н. Тарталья, в ХVIІст. – Галілео Галілей, видатні математики Франції – Блез Паскаль і П’єр Ферма. Саме роботи Паскаля і Ферма дали поштовх для народження нових гілок математичної науки – комбінаторики і теорії імовірності. Вже у 1666 р. Готтфрід Вільгельм Лейбніц публікує «Дисертацію про комбінаторне мистецтво, в котрій вперше з’являється сам термін «комбінаторика». Лейбніц, якому на той час було всього 20 років і котрий мав вчений степінь з юриспруденції, планував для комбінаторики нові додатки: до кодування, статистики, теорії спостережень. Учень Лейбніца – Якоб Бернуллі в своїй книзі «Мистецтво припущень» (1713р.) виклав багато відомостей з комбінаторики та вперше увів поняття «перестановки», «розміщення». Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилась в працях Леонардо Ейлера у ХVIІІст.

2.Для кодування таємної інформації та її розшифровки потрібні знання комбінаторики, тому для вирішення цих питань залучали математиків. Першим де шифрувальником був «батько алгебри» – Франсуа Вієт.(кінець ХVIст.) Навички в розгадці складних шифрів допомогли ученим, коли археологи почали відкопувати камені та інші предмети давнини з таємними знаками – письменністю. Таким чином і в археології комбінаторика має застосування.

Складність будови біологічних систем, взаємне поєднання окремих процесів в цілому організмі роблять біологію підходящим полем застосування комбінаторних методів. Поєднуючи їх з вивченням рентгенівських знімків, вченим вдалося розгадати будову багатьох білків, в тому числі гемоглобіну та інсуліну. Найбільшим досягненням комбінаторного підходу до проявів життя можна вважати розшифровку будови ДНК, зроблену в Кембриджі вченими Ф. Криком та Дж. Уотсоном у 1953 р.

Комбінаторика виявилась корисною і в хімії. Розкладуючи свій хімічний пасьянс, великий вчений Дмитро Іванович Мендєлєєв, знайшов правильне розміщення елементів, виникла таблиця – був відкритий періодичний закон.(17 лютого 1869р.). Також комбінаторика дала можливість перерахувати ізомери, котрі мають один і той самий склад, але різну будову.

У фізиці комбінаторика виявляється необхідною при вивченні властивостей кристалів, опису моделі феромагнетизму та ін..

Проекти Вільгельма Лейбніца здавалися нездійсненними тогочасним математикам, але тепер, після створення ЕОМ, багато планів Лейбніца втілюються у життя. За допомогою ЕОМ стало можливим робити перебори, що раніше потребували сотень і тисяч років.

IV. Перевірка засвоєння знань здобувачів освіти.

в) самостійна робота в парах за індивідуальними картками

Одна задача – 2 бали.

КАРТКА № 1

1. Мають 5 видів фарби. Скількома способами можна розфарбувати слово «свято», якщо всі букви повинні бути різного кольору?

2. Із цифр «1; 2; 3; 4; 5» складають числа, в яких не менше 4-х різних цифр.

Скільки таких чисел можна скласти?

КАРТКА № 2

1. Скількома способами можна розставити 7 спортсменів на 7-ми бігових доріжках?

2. В загоні 6 офіцерів і 15 рядових. Скількома способами можна сформувати загін розвідників, до якого входять 2 офіцера і 12 рядових?

КАРТКА № 3

1. Скількома способами можна розкласти 8 різних поштових листів по восьми різним конвертам?

2. Мають 12 червоних і 7 білих пронумерованих троянд. Скількома способами можна скласти букет з 5-ти троянд одного кольору?

КАРТКА № 4

1. Естафета має 4 різні за довжиною етапи. Скількома способами тренер може розподілити етапи серед 10-ти спортсменів?

2. У 6-ти дорослих та 11-ти дітей виявлено ознаки інфекційної хвороби. Щоб перевірити захворювання, треба взяти вибірковий аналіз у 2-ох дорослих та 3-х дітей. Скількома способами це можна зробити?

По закінченню роботи на екрані з’являються відповіді до всіх задач.

Учні переконуються у правильності розв’язування і перевірки та виставляють собі суму балів у відповідну колонку картки самоконтролю.

Відповіді

Картка №1