Розв’язування прикладних задач

з теми “Арифметична прогресія”

 

 

Мета: узагальнити знання учнів з теми, активізувати взаємодію між учнями, актуалізувати досвід учнів, надати можливість “стати успішним”, готувати учнів до ДПА, розвивати прийоми розумової діяльності (узагальнення, аналіз, синтез, порівняння).

Тип уроку:  закріплення знань, відпрацювання навичок та вмінь.

Обладнання: виставка літератури з теми, портрети Гаусса, Абеля, Фур’є, варіанти  завдань для самостійної роботи, листи самооцінювання,  збірник прикладних  задач, таблиця для рефлексії.

 

Хід уроку

 

1.Оргмомент. Вчитель налаштовує клас на роботу. У класі учні розміщені попарно, тому протягом уроку, якщо є бажання, можна всі питання обговорювати в парах.

 

2.Формулювання мети і завдань уроку. Мотивація навчальної діяльності.

 

Придивіться уважно: у слові “прогресія”я підкреслила слово”прогрес”, що в перекладі з латини означає “крок вперед”. Отже, сама тема нас спонукає зробити крок уперед, досягти прогресу. Для досягнення успіху, нам потрібно сформулювати мету. Я сформулюю її з точки зору нашої спільної навчальної діяльності: навчитися застосовувати формули арифметичної прогресії для розв’язування прикладних задач. Сформулюйте і ви нашу мету, користуючись словами, “знати”, “вміти”. Ми з’ясували, чого хочемо досягти, але не менш важливим є питання: навіщо це нам потрібно, навіщо вивчається ця тема? Прогресії є відображенням світу, що нас оточує. Застосовується в таких науках, як:

• фізика-під час вивчення тіл, що вільно падають чи рухаються рівноприскорено, під час вивчення процесу радіактивного розпаду;
• економіка та банківська справа-під час виплати відсотків та надання кредитів;
• у  техніці- під час виготовлення обладнання.

Отже, ми розуміємо актуальність того, над чим працюємо для виконання завдань ДПА, домашніх завдань, тематичного оцінювання, тощо.

 

  Сьогодні на уроці ми закріпимо ваші знання з вивченої теми. Результати вашої роботи перш за все будуть залежати від настрою на цей урок. Нехай він пройде під девізом:

 

 

 

 

 

                                                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Оскільки ця тема вивчається не перший урок, звернемось до нащого досвіду, відтворимо знання про арифметичну прогресію та її основні формули, щоб скористатися ними в подальшій роботі.

 

3. Актуалізація опорних знань учнів. Сьогодні на уроці ми будемо працювати над самооцінкою, бо це важливо для досягнення успіху в будь-якій справі, отже, в школі нам потрібно навчитись здійснювати самооцінку. Крім того, за допомогою самооцінки ми наприкінці уроку дізнаємось про результативність своєї роботи та здійснимо вибір домашнього завдання.       На дошці прикріплено аркуші, на зворотному боці яких записано запитання.(додаток 2).  Учень навмання знімає аркуш, читає запитання та відповідає на нього. Якщо відповідь правильна, вчитель пише на місці знятого аркуша букву, а учень виставляє в свій лист самооцінювання бал. Якщо немає відповіді-відповідає інший учень з місця. Коли всі питання відкрито, на дошці можна прочитати прізвища видатних вчених.

 

   АБЕЛЬ    ГАУСС       ФУР’Є.

Відповівши на запитання, ми прочитали імена математиків, що зробили внесок у розвиток вчення про послідовності, числові ряди. Деякі з них названо їх іменами. (учні  розповідають про цих вчених). В лист самооцінки

виставляють бали ті учні, що підготували розповіді про вчених та старовинні задачі.. Ми подолали першу сходинку до досягнення мети уроку.

 

4. Відпрацювання вмінь

 

• письмові вправи в групах

 

Варіант 1	Варіант 2
1.а1=8, d=2       знайти а7	а1=9, d= 2      знайти а8
2.а1=5, а12=21   знайти S12	а1=4, а11=24   знайти S11
3.Чи може число 42 бути членом арифметичної прогресії 11, 14, 17...	Чи може число 47 бути членом арифметичної прогресії 12, 15, 18...

 

 

Додаткові завдання: Розв’язати рівняння

 

1. (х²+х+1)+(х²+2х+3)+(х²+3х+5)+....+(х²+20х+39)=4500
2. (х-1)/х+(х-2)/х+(х-3)/х+…+1/х=3

3.Чи є арифметичною прогресією послідовність, n-ий член якої а_n=3ⁿ-4?

 

Правильні відповіді написано на зворотному боці дошки. По закінченні часу відповіді перевіряються. Якщо вони правильні, то учні виставляють по 3 бали в листи самооцінювання. Ми подолали ще одну сходинку до досягнення мети уроку.

• самостійна робота

 

Учні одержують картки-завдання, і вже кожен учень повинен самостійно вибрати ті завдання, які він може розв’язати.

 

І рівень

1. Знайти чотири перших члени арифметичної прогресії, в якої а₁=2, d=13
2. Арифметичну прогресію задано формулою а_n=5n-1. Знайти п’ять перших членів цієї прогресії та її різницю.
3. В арифметичній прогресії а₁=8, d=10. Знайти а₃.

 

ІІ рівень

1. В арифметичній прогресії а₁=9, d=6. Знайти а_27.
2. Знайти n-ий член арифметичної прогресії: 2; 1,5; 1...
3. В арифметичній прогресії а₄₄=74, d=-2. Знайти а₁.

 

ІІІ рівень

1. Знайти другий, сьомий і десятий члени арифметичної прогресії, якщо а₁=4, d=- 3.

 2. Знайдіть а₁ для арифметичної прогресії, в якої а₄=9, а₈=26.

3. Знайти а₁₀ для арифметичної прогресії –12,5; -11; -9,5,..

 

Відповіді на самостійну роботу перевіряються самими учнями і бали виставляються в листи самооцінки. (І р-4б, ІІ р-5б, ІІІ р-6б).

 

• розв’язування прикладних задач

 

 На кожному столі лежить додаток №1 “Прикладні задачі”. Будуючи математичну модель, учні ров’язують їх біля дошки, попередньо обговоривши  розв’язки на місцях. Інші учні мають можливість працювати самостійно або слідкувати за розв’язанням  на дошці. Отже, подолана ще одна сходинка до успіху.

 

6.     Підсумок уроку

На цьому етапі визначити, чи досягнуті мета, очікувані результати уроку, провести рефлексію. Учням пропонується дати відповіді на запитання таблиці.  Листи самооцінювання здаються вчителеві, який підбиває підсумок уроку, оголошує оцінки.

 

6. Домашнє завдання

   п.22, 23 повторити, №688, 737, 738 (рА); № 747, 756, 757(рБ)

 

На згадку про наш урок візьміть долоньку з іще одним рецептом успіху: “Успіх-це тільки 10% таланту і 90% щоденної наполегливої праці”.

 

Таблиця для рефлексії

 

	да	Не зовсім	ні
Я розумію і знаю:
* що таке арифметична прогресія
* різниця арифметичної прогресії
* зростаюча і спадна АП
Я вмію:  знаходити різницю d
* знаходити суму АП
* n-ий член АП
Я вчився сам: * пояснювати, щоб всі зрозуміли * розуміти пояснення іншого * працювати в групі * не відволікатись * не заважати іншим * Я досяг успіху!!!

 

 

 

	да	Не зовсім	ні
Я розумію і знаю:
* що таке арифметична прогресія
* різниця арифметичної прогресії
* зростаюча і спадна АП
Я вмію:  знаходити різницю d
* знаходити суму АП
* n-ий член АП
Я вчився сам: * пояснювати, щоб всі зрозуміли * розуміти пояснення іншого * працювати в групі * не відволікатись * не заважати іншим * Я досяг успіху!!!
	да	Не зовсім	ні
Я розумію і знаю:
* що таке арифметична прогресія
* різниця арифметичної прогресії
* зростаюча і спадна АП
Я вмію:  знаходити різницю d
* знаходити суму АП
* n-ий член АП
Я вчився сам: * пояснювати, щоб всі зрозуміли * розуміти пояснення іншого * працювати в групі * не відволікатись * не заважати іншим * Я досяг успіху!!!

 

 

 

 

 

Робота в групах

 

 

Варіант 1	Варіант 2
1.а1=8, d=2       знайти а7	а1=9, d= 2      знайти а8
2.а1=5, а12=21   знайти S12	а1=4, а11=24   знайти S11
3.Чи може число 42 бути членом арифметичної прогресії 11, 14, 17...	Чи може число 47 бути членом арифметичної прогресії 12, 15, 18...

 

Максимальна кількість 3 бала.

  Додаткові завдання.  Розв’язати рівняння.

3. (х²+х+1)+(х²+2х+3)+(х²+3х+5)+....+(х²+20х+39)=4500
4. (х-1)/х+(х-2)/х+(х-3)/х+…+1/х=3

3.Чи є арифметичною прогресією послідовність, n-ий член якої а_n=3ⁿ-4?

 

 

 

Cамостійна робота

 

Учні одержують картки-завдання, і вже кожен учень повинен самостійно вибрати ті завдання, які він може розв’язати.

 

І рівень

4. Знайти чотири перших члени арифметичної прогресії, в якої а₁=2, d=13
5. Арифметичну прогресію задано формулою а_n=5n-1. Знайти п’ять перших членів цієї прогресії та її різницю.
6. В арифметичній прогресії а₁=8, d=10. Знайти а₃.

 

ІІ рівень

4. В арифметичній прогресії а₁=9, d=6. Знайти а_27.
5. Знайти n-ий член арифметичної прогресії: 2; 1,5; 1...
6. В арифметичній прогресії а₄₄=74, d=-2. Знайти а₁.

 

ІІІ рівень

 1. Знайти другий, сьомий і десятий члени арифметичної прогресії, якщо а₁=4,      d=-3.

2. Знайти а₁₀ для арифметичної прогресії –12,5; -11; -9,5,..
3. Знайдіть а₁ для арифметичної прогресії, в якої а₄=9, а₈=26.

 

Оцінка по рівнях:

І рівень     - 4 бала

ІІ рівень    - 5 балів

ІІІ рівень   - 6 балів.

 

 

                                                      Додаток 1

Прикладні задачі з теми “Арифметична прогресія”

(За збірником М.І.Сканаві)

 

Виконуємо разом!

 

1.Турист, піднімаючись вгору, за 1 годину піднявся на 800м, а за кожну наступну- на 25 м менше, ніж за попередню. За скільки годин він піднявся на висоту 5700 м ?

     Розв’язок: Будуємо математичну модель задачі.

     а₁=800, d=-25, S_п=5700.

     Розв’язуємо одержану задачу. За формулою суми перших n членів

     арифметичної прогресії  S_n=(2а₁+d(n-1))n/2, маємо (1600-25n+25)n:2=5700

     n²-65n+456=0, звідси n=8

     Відповідь: За 8 годин турист підніметься на гору.

 

 

  2. В змаганнях зі стрільби за кожний промах з 25 вистрелів стрілець     отримує

     штрафні бали: за 1 промах-1б, за кожний наступний-на 0,5 б більше, ніж за

     попередній. Скільки разів попав у ціль стрілець, який отримав 7 штрафних

     балів?  (21 раз)

 

 3.В кінотеатрі у кожному наступному ряді на 4 місця більше, ніж у попередньому,

   а всього 1050 місць. Скільки рядів в кінотеатрі, якщо в 1 ряду- 10 місць?(21)

 

4. За виготовлення і установку найнижчого залізобетонного кільця колодязя

  заплатили 26 грн, а за кожне наступне кільце платили на 2 грн менше, ніж за

  попередні. Після роботи доплатили ще 40 грн. Середня вартість виготовлення та

  установки 1 кільця є 202/9 грн. Скільки кілець було поставлено? (9)