Тема.  Розв’язування задач на ознаку подібності трикутників за двома кутами

Мета: виробляти практичні уміння і навички розв’язування задач на подібність навики застосування набутих знань; розвивати вміння долати труднощі, аналізувати, активність, увагу, творчі здібності школярів.

Тип уроку: застосування знань, умінь і навичок.

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Оскільки вправи домашньої роботи відтворювали ситуації, аналогічні до розглянутих на попередньому уроці, перевіряється лише виконання створення моделі та обчислень.

Запитання.

1. Якщо А =А₁, С =С₁, то  ∆АВС □ ∆А₁В₁С₁.  Тоді     ВС : □ = = □ : А₁В₁ і В = □.
2. Чи подібні два прямокутних трикутника, якщо один із них має кут 24°, а другий 66°? Відповідь поясніть.
3.  Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають по рівному гострому куту? Відповідь поясніть.
4. З відрізків 4, 6, 8, 9, 12 і 18 склали два подібних між собою трикутника. Знайти коефіцієнт подібності цих трикутників.

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

  Розв’язання простої, але не зовсім стандартної може вимагати деякого напруження, зате натомість дає відчути тріумф відкриття.

                                                                         За Д. Пойа

ІV. Формування вмінь, навичок

№1.У паралелограмі АВСD проведено висоти ВК і СМ (рис). Доведіть   подібність трикутників АВК і СВМ.

№2.Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20см, а більший катет – 16см. Знайдіть відрізки, на які серединний перпендикуляр гіпотенузи ділить більший катет.

Розвязання.

   На рисунку в ∆АВС С = 90°, АВ = 20см,   ВС = 16см,  АD = DВ,  DК АВ.  Знайдемо  АD і  DВ.                                   

    Розглянемо ∆АВС і ∆КВD. В трикутниках С = D = 90°, В – спільний. Тоді     ∆АВС ~ ∆КВD за двома кутами. Отже,  АВ : КВ = ВС : DВ = АС : DК; 20 : КВ = 16 : 10;  КВ = = 12,5см і СК = 3,5см.

Відповідь: 12,5см і 3,5см.

№3. У паралелограмі АВСD, через точку О – точку перетину діагоналей, проведено перпендикуляр КN до АD. АВ перетинається з КN в точці F. Знайти на які відрізки ділить перпендикуляр сторону ВС, якщо АВ = 2см, ВF = 5см, ВС = 9см.                                                                       

№4. У рівнобедреному трикутнику АВ = ВС = 5см. На стороні ВС узята точка D так, щоб ВD = 1см. Відрізок АD перетинає висоту ВЕ в точці К. Знайдіть .

Розв’язання.

                    І спосіб                                                  ІІ спосіб

І спосіб. Опустимо перпендикуляр DF на ВЕ, тоді DF || СЕ. Розглянемо ∆ВСЕ і ∆ВDF. В трикутниках F = Е = 90°, ВDF =     = ВСЕ як відповідні. Тоді ∆ ВСЕ ~ ∆ ВDF за двома кутами. Звідси k = = ВС : ВD = СЕ : FD = 5.

Розглянемо ∆ВСЕ і ∆ВDF. В трикутниках F = Е = 90°, АКЕ =

= DКF як вертикальні. Тоді ∆ВСЕ ~ ∆ ВDF за двома кутами. Тоді АЕ : FD = СЕ : FD = 5 (ВЕ за теоремою є медіаною і висотою). Звідси ЕК : КF = 5.

Нехай КF = х, тоді ЕК = 5х, а FЕ = х + 5х = 6х.

Так як DF || СЕ, то за теоремою про пропорційні відрізки ВD : DС= = ВF : FЕ = ¼.

Нехай ВF = у, тоді FЕ = 4у. Отже, ВК : КЕ = (ВF + КF) : КЕ =         = (у + х) : (5х). Так як FЕ = 4у = 6х, то у = 1,5х. Звідси ВК :  КЕ =         = (1,5х + х) : (5х) = ½.

ІІ спосіб. Проведемо ЕF—середню лінію ∆АDС. Звідки DF = FС = 2см. Так як за теоремою АD || ЕF, то і КD || ЕF. За теоремою про пропорційні відрізки ВD : DF = ВК : КЕ = ½.

Відповідь: ВК : КЕ = ½.

V. Підсумки уроку

Який із рисунків зайвий. Чому?

VІ. Домашнє завдання

№1. АВСD – паралелограм, МР || NQ (рис.). Доведіть, що       ∆АМР ~ ∆СQN.

№2. Основа трикутника АВС дорівнює 5см, висота, проведена до цієї основи, дорівнює 3см. В трикутник вписаний квадрат так, що дві його вершини лежать на основі, а дві інші – на бічних сторонах. Обчисліть сторону квадрата.

Розв’язання.

 В ∆АВС основа АС = 5см, ВD = 3см – висота. МNPQ – квадрат, точка М є АВ, точка N є ВС, точки {Q, Р} є АС. Знайдемо МN. Розглянемо ∆АВС і ∆МВN. Оскільки МN ||АС, то А = М, С = N як відповідні. Тоді ∆АВС ~     ~ ∆МВN. Із подібності трикутників АВ : МВ = АС : МN = ВС : ВN = = ВD : ВК.

Нехай МN = х см,  тоді ВК = (3 – х) см,  АС = 5см. Отже, 5 :  х =     = 3 :  (3 – х); 5(3 – х) = 5х; х = 1⅞(см).

Відповідь: 1⅞ см.