Урок "Пряма Ейлера. Коло дев'яти точок"

Про матеріал
Знайомство з чудовими точками трикутника, історична довідка, пряма Ейлера, доведення теореми Ейлера,вправи на закріплення та осмислення нового матеріалу, наукова робота.
Перегляд файлу

     Тема.  Пряма Ейлера. Коло дев’яти точок

Мета: пригадати означення ортоцентра і центроїда; дати означення прямі Ейлера та познайомити з визначними точками; формувати навики розв’язування задач, навики роботи з додатковою літературою; розвивати логічне мислення, просторову уяву; виховувати охайність у ведені записів.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь.

 

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

З метою економії часу перевіряються лише відповіді та коротко обговорюється план розв’язування задач домашнього завдання по готовому рисунку.

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

З кожним трикутником пов’язано багато особливих ліній і точок, а саме: висоти, медіани, бісектриси, ортоцентр, центроїд, прямі Чеви, пряма Менелая.

Розглянемо не менш цікаві точки і лінії в трикутнику, а саме: точки Ейлера, коло Ейлера, пряма Ейлера.

ІV. Актуалізація опорних знань та вмінь

З метою успішного засвоєння учнями змісту нового матеріалу уроку необхідно активізувати їх знання  про:

1. Як знайти центр описаного кола? ( точка перетину серединних перпендикулярів – О)

2. Як знайти центр вписаного кола, інцентр? ( точка перетину бісектрис – J)

3. Яку точку називають ортоцентром трикутника? ( точку перетину прямих які містять висоти трикутника    Н )

4. Як називають точку перетину медіан трикутника? ( центроїд –  М )

Точки О, J, Н, М називають чудовими точками трикутника. Використання такого емоційного епітета цілком обґрунтовано. Адже цим точкам притаманний цілий ряд красивих властивостей. Хіба не чудово вже те, що вони є в будь-якому трикутнику?

V. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Історична довідка

Леонард Ейлер (1707–1783) був не лише одним з найславетніших математиків в історії людства, а й на диво різнобічно обдарованим ученим. 

Жив Ейлер у м. Базель, Німеччина. Після закінчення університету в 1727 році він був запрошений в Росію працювати в Петербурзькій Академії, де читав лекції з фізики і математики. Ейлер створює фундаментальні праці з усіх галузей математики. У 1739 році опублікував тракт з музики, в якому виклав теоретичні основи будови музичних інструментів.

У 1741 році Леонард Ейлер повертається на батьківщину і працює в Берліні, на посаді директора математичного відділу берлінської Академії наук. Він пише багато ґрунтовних праць з астрономії, морської науки та інші.

У 1766 році, на прохання Катерини ІІ, Ейлер із сімєю повертається в Росію.

Невдовзі після приїзду до Петербурга Леонард остаточно осліп       ( ще у 1735 році внаслідок надзвичайно напруженої праці Ейлер захворів на нервову гарячку і під час хвороби втратив праве око) і міг тільки диктувати свої твори, виконуючи основні обчислення усно. Та працездатність ученого, якому близько 60 років, не тільки не зменшилась, а ще більше зросла.

У 1769 – 1771 роках учений видав три томи під спільною назвою «Діоптрика», в якій виклав загальну теорію діоптрики –  науки, якої до нього взагалі не існувало.

У книзі «Листи до німецької принцеси» Ейлер популярно виклав багато питань з фізики, астрономії, хімії, математики і філософії. Твір видавався близько 40 разів дев’ятьма європейськими мовами.

До останніх днів Ейлер не залишав наукової роботи.

     У геометрії багато понять названо ім’ям Леонарда Ейлера.

План вивчення нового матеріалу

1. Теорема. Пряма Ейлера.

2. Лема.

3. Точки Ейлера.

4. Теорема Ейлера. Коло дев’яти точок або коло Ейлера.

Теорема. У будь-якому трикутнику центр описаного кола, центроїд і ортоцентр лежать на одній прямій.

Цю пряму називають прямою Ейлера.

Доведення.

Доведення для рівнобедреного трикутника є очевидним.

В прямокутному трикутнику ортоцентр – середина гіпотенузи, тоді всі три точки належать медіані, проведеній до гіпотенузи.

Доведемо теорему для гострокутного різностороннього трикутника.

   Оскільки точка М1 – середина ВС, то АМ1  медіана  ∆АВС. Нехай АМ1 ∩ НО в точці М.

   Оскільки  АН || ОМ1, то НАМ =            = ОМ1М як внутрішні різносторонні. Крім  того, АМН = М1МО як вертикальні. Отже,   ∆НАМ ~ ∆ОМ1М  за  двома  кутами.  Звідси   АМ : ММ1 =          = АН : ОМ1 =  НМ : МО = 2. Отже, точка М ділить медіану АМ1 у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини А і 2ОМ = МН. Звідси точка М – центроїд ∆АВС.

Доведення для випадку тупокутного трикутника аналогічне.

Лема. Три чудові точки трикутника, центр описаного кола, центроїд і ортоцентр, лежать на одній прямі, причому 2ОМ =     = МН.

Означення. Середини відрізків висот від ортоцентра до вершин трикутника називаються точками Ейлера ( Е ).

Теорема Ейлера. Основи медіан, основи висот і точки Ейлера лежать на одному колі, яке називається колом дев’яти точок або колом Ейлера.

Доведення.

       Нехай М1, М2, М3 – середини сторін ∆АВС; АН1, ВН2, СН3 – його висоти; Н – ортоцентр, E1, Е2, Ез – точки Ейлера.

      Опишемо навколо М1M2M3 коло. Доведемо, що Н1 (основа висоти АН1) і точка Ейлера Е2 (середина відрізка ВН) лежать на цьому колі. Дійсно, Н1М3 – медіана прямокутного  АВН1, проведена з вершини прямого кута, Н1М3 = ½АВ.

За властивістю середньої лінії М1М2 ∆АВС маємо:  М1М2  =  ½АВ. Отже, Н1М3 = М1М2.

Крім того, М2 М3 || М1Н1 2М3 || ВС за властивістю середньої лінії). Отже, трапеція М1М3М2Н1 рівнобічна, а тому коло, яке проходить через три її вершини М1, М2, Мз, пройде і через четверту вершину Н1.

Пряма М3Е2 || АН (М3Е2 – середня лінія ВАН), пряма М3М2 || ВС (М3М2 – середня лінія АВС), за умовою АН ВС. Отже, М3Е2 М3М2, тобто Е2М3М2  = 90º.

Пряма M1E2 || АН  1Е2 – середня лінія ВНС), пряма М1М2 || АВ (М1М2 – середня лінія АВС), за умовою СН АВ. Отже, М2Е1 М1М2, тобто E2M1M2 = 90º.

Навколо чотирикутника М3Е2М1М2 можна описати коло, тому що сума протилежних кутів дорівнює 180º.

Таким чином, коло, яке проходить через три точки М1, М2, М3, проходить і через точки Ні і Е2.

Аналогічно можна показати, що це коло пройде ще через точки Е1, Е3, Н2, Н3. Отже, основи медіан, основи висот і точки Ейлера лежать на одному колі.

VІ. Закріплення та осмислення нового матеріалу

№1. Відновіть трикутник АВС за трьома даними точками: вершиною А, ортоцентром Н і точкою перетину серединних перпендикулярів О.

№2. Довести, що радіус кола дев’яти точок дорівнює , де R – радіус кола, описаного навколо трикутника.

Доведення.

З’єднаємо точку М1 з центром кола дев’яти точок О9. Пряма М1О9 перетинає висоту АН1 у точці Е1. Е1М1 – діаметр кола дев’яти точок. ∆О9М1О = ∆О9Е1Н за другою ознакою ( НО9 = = О9О за доведеним, Е1О9 = О9М1 як радіуси кола Ейлера і Е1О9Н = ОО9М1 як вертикальні). Звідси ОМ1 =  НЕ1.  Оскільки ОМ1 || НЕ1    (як два перпендикуляри до ВС) і АЕ1 = НЕ1 , то чотирикутник АОМ1Е1 – паралелограм. Тоді М1Е1 = ОА, де М1Е1 – діаметр кола дев’яти точок, а ОА – радіус кола, описаного навколо трикутника. Отже, радіус кола дев’яти точок дорівнює .

№3. Довести, що відрізки М1Е1, М2Е2, М3Е3 мають спільну середину.

Доведення.

За доведенням чотирикутник ОМ1НЕ1 – паралелограм. Аналогічно можна довести, що  чотирикутники ОМ2НЕ2 і ОМ3НЕ3 – також паралелограми. Всі вони мають спільну діагональ ОН, середина якої є спільною серединою розглядуваних відрізків.

 

 

 

 

VІІ. Підсумки уроку

Вірите чи ні, що якщо кожний день по десять годин тільки переписувати труди Леонардо Ейлера, то не вистачить і сімдесяти шести років?

Так. Зібрання його творів склали 75 великих томи. Про нього говорили, що він «обчислює так, як людина дихає».

Контрольні запитання.

1. Які точки називають чудовими точками трикутника?

2. Які чудові точки лежать на одній прямі?

3. Сформулюйте лему.

4. Сформулюйте теорему Ейлера.

 ІХ. Домашнє завдання

Вивчити зміст засвоєних на уроці понять.

№1. Відновіть трикутник АВС за центром описаного кола, ортоцентром і серединою сторони ВС.

№2. Точки В, С, М, J, Н трикутника АВС належать одному колу. Знайдіть його кути.

             Розв’язання.

Очевидно, що ∆АВС – гострокутний (оскільки М та J знаходяться всередині ∆АВС, то й ортоцентр Н згідно з умовою повинен знаходитися всередині ∆АВС). ВНС = ВJС як вписані, що спираються на одну дугу в колі ω.

 

 

ВНС = 180º – А ,  ВJС = 90º + ½ А.  Тоді 180º – А = 90º + ½А, звідки А = 60º. Отже, ВНС = ВJС = 120º. Центральний ВОС = 2А = 120º. Таким чином, точки О, J і Н належать колу. З іншого боку, точки О, М, Н належать одній прямі – прямій Ейлера. Отже, точки співпадають. Значить ∆АВС – рівносторонній, а А = В = С = 60º.

Відповідь: 60º.

 

 

№3. (Наукова робота) Довести теорему про медіани трикутника.

Перша група за подібністю трикутників.

Друга група за теоремою Менелая.

    Третя група за прямою Ейлера.

 

№1. Перша група доводила теорему про медіани трикутника за подібністю трикутників.

Доведення.

     В ∆AВС  АМ1, ВМ2, СМ3 медіани, які перетинаються в точці О. Проведемо М1М3 – середню лінію ∆AВС. За властивістю середньої лінії М1М3 || АС М1АС =АМ1М3, М3СА = СМ3М1 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січні. Тоді ∆AОС ~  ∆М1ОМ2  за двома кутами.  Звідси АО : ОМ1 =   СО : ОМ3 =      = АС : М1М3. За властивістю середньої АС = = 2М1М3, то АО : ОМ1 = СО : ОМ3 = 2 : 1. Аналогічно доводиться, що ВО : ОМ2 =        = 2 : 1.

 

Друга група доводила за теоремою Менелая.

                               

 

                                                Доведення.

    В ∆AВС  АМ1, ВМ2, СМ3 медіани , які перетинаються в точці О. Пряма М3С перетинає  сторони АВ і ВМ2 ∆АВМ2 та продовження  сторони АМ2. Тоді за теоремою Менелая · · =  1 або 1 · · = 1. Звідси = .

Третя група за прямою Ейлера.

Доведення.

    В ∆AВС  АМ1 медіана, АН1 висота, точка О – центр описаного кола і точка Н – ортоцентр. Позначимо через М точку перетину відрізків ОН і АМ1. Оскільки       АН1 ВС і ОМ1 ВС (ОМ1 – серединний перпендикуляр), то ∆ОМ1М ~ ∆НАМ за двом кутами (ОММ1 = АМН як вертикальні і ОМ1М = МАН як внутрішні різносторонні). Отже, за лемою   АМ : М1М = 2 : 1. Аналогічні міркування мають місце у випадку медіан ВМ2 і СМ3. Медіани будуть ділитися точкою М у відношенні  2 : 1, рахуючи від вершин.

1

 

doc
Додано
25 листопада 2019
Переглядів
3400
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку