Тема. Властивість хорд кола, які перетинаються

Мета: дослідити залежність між хордами, які перетинаються; показати її застосування при  розв’язуванні  задач;  виховувати наполегливість,  працелюбність, волю, вміння відстоювати свою думку.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь.

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Перевірка правильності виконання домашнього завдання шляхом пояснення розв’язання по заздалегідь підготовленим рисунком.

ІІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь.

Виконання усних вправ

Запитання.

1.Сформулюйте означення: 1) хорди; 2) січної;     3) дотичної.

2.Назвіть хорди, січні, дотичні на рисунку.

3.Яке взаємне розташування відрізка АВ і прямої МN.

4.Сформулюйте властивості кутів вписаних у коло.

Учні  виконують, спілкуючись в парах, нескладні завдання (для більшості учнів  навіть усні)   застосовуючи при цьому властивості вписаних в коло кутів.

  1.                                          Дано:  ВОС = 90°, DОС =   30°                                                                     

      Знайти: ВАD, DАС, ВD, DС.                                                 

                         Розв’язання.      

   ВОD = 90° – 30° = 60°  –  центральний.               

Так  як   дуга  дорівнює  центральному  куту, то  ВD=60°, DС=15°.                                                         

   Вписаний  кут  дорівнює  половині  на яку він спирається, тому ВАD = 30°, а DАС = = 15°.

  2.  Дано:  АОD = 56°.                       

      Знайти: DВС різними способами.                          

Розв’язання

        І спосіб. 

  АВD  –  вписаний,  тому АВD = 28°.             

  АВD = 90°.  Звідси DВС = АВС –

  – АВD =  90° –  28° = 62°.            

   ІІ спосіб. 

АС – діаметр,  тому  АОС  = 180°.   Звідси  DОС  = 180° – 56°  = 124°  –  центральний,   а   відповідний   йому вписаний  DВС = 124° : 2 = 62°.                                                                                                                                                         

 ІV. Формулювання мети і завдань уроку

Сьогодні на уроці ми проведемо дослідження. Об’єкт дослідження: хорди кола, що перетинаються. Предмет дослідження:співвідношення між відрізками хорд.

 V. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Завдання.

1. Хорди АВ і СD кола перетинаються в точці М. Знайти добуток відрізків АМ і ВМ, якщо відомо СМ і DМ.

Розв’язання.

 З’єднаємо точки А і D, В і С. Розглянемо  ∆АМD   і   ∆СМВ.   В  трикутниках АМD  =    = СМВ як вертикальні і DАМ = МСВ так як  спираються на одну дугу. Звідси  ∆АМD ~     ~∆СМВ за двома кутами. Тоді АМ : СМ = DМ : МВ. З рівності маємо: АМ · МВ = СМ · DМ.                                                                                 

Який   висновок   ми   можемо  зробити  щодо   відрізків хорд?        ( Добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди ).

А якщо хорд  декілька? ( Добуток  відрізків хорд є величина стала).

2. На хорді АВ позначено точку М. Доведіть, що МА · МВ = R² – t², де R– радіус кола, t – відстань від точки М до центра кола.

                        Доведення.

 На рисунку дано коло з центром в точці О.  СК – діаметр, АВ – хорда. Точка М є {АВ, СК}.  За умовою ОМ =  t, тоді СМ = R + t  і                                                                 МК = R – t.   За  властивістю  хорд, які перетинаються СМ·МК = АМ · МВ; ( R + t) × × ( R – t )  = АМ · МВ;  АМ · МВ =  R² – t².

VІ. Закріплення та осмислення нового матеріалу

Виконання усних вправ

1. Хорди АВ і СD перетинаються в точці М, АМ = 9см, МВ = 12см, а відрізок МD у 3 рази довший за відрізок СМ. Знайдіть довжину хорди СD.

2. Точка М ділить хорду АВ кола на відрізки завдовжки 15см і 16см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки М до центра кола дорівнює 4см.

Виконання письмових вправ

№1. Хорди АВ і СР перетинаються в точці О, СР = 12см, АО = 9см, ОВ = 4см. Знайти СО і ОР.

№2. У колі проведено дві хорди, що перетинаються. Одна з хорд точкою перетину ділиться на відрізки 6см і 16см, а друга – на відрізки, один з яких на 4см більший від іншого. Знайдіть довжину другої хорди.

                   Розв’язання.                                                                     

      На рисунку  дано коло  з  центром  в точці О.      Хорди  РК і ТN перетинаються в точці М,         МК = 6см, РМ = 16см, МN > ТМ на 4см. Знайдемо ТN.

      ТN = ТМ + МN.   За  властивістю  хорд,  які

перетинаються, маємо: РМ·МК = ТМ · МN.

   Нехай  ТМ = х см, тоді МN = ( х + 4 )см. Одержимо: (х + 4) · х = 16× × 6;  х² + 4х – 96 = 0;  х₁ = 8;  х₂ = –12 –  не задовольняє умову задачі. Тоді ТМ = 8см, МN = 8 + 4 = 12 (см). Отже, ТN =  8 + 12 = 20 (см).

Відповідь: 20см.

№3. У колі , радіус якого 37,5см, проведено хорду перпендикулярно до діаметра. Ця хорда відтинає від діаметра відрізок завдовжки 27см. Знайти один з відрізків, на які хорда ділиться діаметром.

                 Розв’язання.                                                                                                                       

       На рисунку  дано коло  з  центром  в точці О, АВ – діаметр, СD – хорда, СD⊥ АВ,   М – точка перетину АВ і СD, ОА = ОВ = 37,5см, МВ = 27см. Знайдемо МС.

 Оскільки діаметр перпендикулярний до хорди, то за властивістю діаметр ділить хорду навпіл. Отже, СМ =  МD.  Тоді ОМ = 37,5 – 27 = = 10,5 (см), а  АМ = 37,5 +  10,5 = 48 (см).

За властивістю хорд, які перетинаються маємо: МС · МD = АМ ×   × ВМ. Тоді МС² = 48 · 27; МС = 4 · 9 = 36 (см).

Відповідь: 36см.

VІІ. Підсумки уроку

Ви дуже вдало застосували свої творчі здібності та попередні знання для дослідження об’єкта. Вивчений матеріал вміщує деякі співвідношення відрізків у колі, які є результатом застосування подібності.

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити зміст засвоєних на уроці понять.

№1. Точка Р віддалена від центра кола на 7см, радіус 11см. Через точку Р проведено хорду довжиною 18см. Знайти відрізки на які точка Р поділяє хорду.

№2. У результаті перетину хорди з діаметром кола хорда ділиться на відрізки завдовжки 3см і 4см, а діаметр — у відношенні 1 : 3. Знайдіть радіус кола.