Урок "Розв'язування задач на прогресії, в тому числі, прикладного змісту"

                                                 9 клас

      Тема уроку . Розв’язування задач на прогресії в тому числі

                              прикладного змісту

     Мета уроку:    удосконалити вміння використовувати  свої знання

                            про  прогресії при розв`язування задач  ;                         ,

                         - розвивати вміння застосовувати свої  знання ;

                           - формувати пізнавальний інтерес до предмету ;

                           - застосовувати здобуті знання у нестандартних умовах;

                           -вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання

   Тип уроку: удосконалення знань, умінь та навичок

     Обладнання:

     - комп’ютер;

     - мультимедійна дошка;

     - магнітна дошка

     - роздатковий матеріал

 

 

 

 

 

                                                 Хід уроку

І. Організаційний етап.

    Налаштування учнів на роботу на  уроці

ІІ. Перевірка домашнього завдання. 

     Учитель перевіряє наявність виконання домашніх завдань

     (за допомогою учнів-чергових).

    Відповісти на запитання ,які виникли при розв’язанні вправ.

 ІІІ. Формулювання  теми , мети уроку

     1.Епіграфом уроку будуть слова …

      Дьордь  Поя –угорський,швейцарський,американський математик,фізик,

       статистик, працював також і в школі. Одна з його робіт: «Як розв’язують і

       як треба   розв’язувати задачі»

       2 .Робота в зошитах

    IV. Актуалізація опорних знань

   Фронтальна бесіда 

  1. Закінчи речення (усно)

            1)    Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен

                    член   якої ,  починаючи з другого …

            2)    n-й член арифметичної прогресії, починаючи з другого,

                    дорівнює…

            3)   Сума n- членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює…

           4 )    Геометричною  прогресією називається послідовність,

                    кожен член якої ,починаючи з другого…

         5  )     n-й член геометричної прогресії  ,починаючи з другого ,

                    дорівнює…

          6 )    Сума    n- членів геометричної прогресії  дорівнює…

 

 2.    Чому дорівнює  d ,вибрати правильну відповідь:  (записати)

   а_n  =   1 ;                 1,25;                    1,  5;                    1,75  ;…   

               А)     ,                               Б)   ,                                В)

              -0,5                                   0,5                                    0,25

 3. Чому дорівнює               q,   вибрати правильну відповідь: 

     b_n =       7;                      -14;                    28;                               -56;…

            

                 А)     ,                               Б)   ,                                В)

                  -7                                        -2                                       2

 

V.Розв'язування задач

 Історія виникнення прогресії сягає глибини віків.

1. Повідомлення ,підготовлене учнями :

 

 

 

 

 

 

 

2. Робота з класом

 

 

 

3. Розв’язування старовинних задач

       Задача 1. (Легенда про винахід шахів)

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський принц

 Ширам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих ситуацій,

 покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому: “Я хочу

гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить

 багатий, і можу виконати будь – яке твоє бажання”.

“Володарю,- відповів Сета,- накажи видати мені за першу клітинку шахівниці

 одну пшеничну зернину, за другу – дві, за третю – чотири і далі за кожну

клітинку вдвічі більше, ніж за попередню .”

 

 

 

 

Принц здивувався, що винахідник так мало запросив. Але обіцянку не зміг

виконати. Після ретельних підрахунків вияснилося, що кількість зерен,

що бажає одержати Сета, така велика, що її не знайдеться на всьому просторі

 Землі. Для того, щоб видати нагороду, треба перетворити всі царства в поля,

 висушити всі річки, озера, розтопити кригу і сніги. Увесь цей простір засіяти

 пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, віддати Сеті. Зі здивуванням

слухав принц слова вчених. “Напишіть же мені це дивовижне число,”- сказав він.

 

Розв’язання.

Маємо геометричну прогресію (b_n), в якій b₁=1, b₂=2, b₃= 4…, q = 2. 

В шахівниці 64 клітинки. Тому

Спробуйте обчислити цю суму. Ми оцінимо тільки 2⁶⁴:

 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ≈1,845×10¹⁹). 

 І Це наближене значення. Такої кількості зерна не зможуть зібрати всі країни

світу  впродовж сотень років, яка  приблизно у 2000 разів більша від

площі усієї поверхні Землі.

 Задача 2 . (Забавна арифметика, 1910 р.)

Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на

 таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – 2 крб.,

 третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені

 милостиню:першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп.,

 і т.д. збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи,

 що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?

“Милостиня”                    Розв'язання:

Сума, яку має сплатити бідняк за 14 днів, складає арифметичну прогресію,

 в якій а ₁ = 1 і d =1, S ₁₄= 105, тобто 105 крб., а багатій сплачує суму, яка складає суму геометричної прогресії, в якій а ₁ = 1, q = 2. Тому S₁₄ =2¹⁴-1= 16383 коп.

  або 163 крб.83 коп.

Отже, багатій, отримавши від бідняка 105 крб., заплатив йому 163 крб.83 коп., тобто,

 за те, що бідняк у нього проживав 2 неділі, багатій заплатив йому

 58 крб.83 коп. (вернувши при цьому і ті гроші, які одержав від бідняка).

 

 

 

 

 Задача 3. Зі старовинного підручника “Арифметика” Ф.Магницького

Дехто продавав коня за 156 руб. Але покупець вважав, що кінь не коштує

цих грошей. Тоді продавець запропонував інші умови:

- Якщо ти вважаєш, що ціна висока, то купи тільки підковні цвяхи, а коня одержиш безкоштовно на додачу. У кожній підкові 6 цвяхів. За перший дай мені ¼ копійки,

 за другий – ½ коп., за третій – 1 коп. ...

Покупець з радістю погодився на такі умови, розраховуючи заплатити не більш

ніж 10 руб. На скільки покупець помилився?

 b  ₁  = 1 /4  ,   b ₂=1/ 2 ,     b ₃=  1  ,              q= 2   ,          S ₂₄ =(b₁ ( q²⁴ -1)) : (q-1)

 (заплатив 4 194 303 руб. ¾ коп)

4. Робота в парах

Задача 4. Поливання грядок

У городі 30 грядок, кожна довжиною 16м і шириною 2,5м. Поливаючи грядки,

 городник приносить відра з водою з колодязя, розташованого в 14м від краю

городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, принесеної за один раз,

 вистачає для поливання лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить

 городник, поливаючи весь город? (Шлях починається і закінчується

 біля колодязя.)

Розв'язання:

Для поливання першої грядки городник проходить шлях

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 14 = 65 (м).

Для поливання другої грядки він проходить шлях

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 70 (м).

Для кожної наступної грядки потрібно пройти шлях, на 5м довший за попередній.

Маємо арифметичну прогресію: 65, 70, 75, …     d=5

  S 30= ( 2a ₁ +  d  (n  -1 )):2)* n=(2*65+5*29):2*30=4125(м)

S₃₀ =  4125 (м).

 

Відповідь: Городник, поливаючи город, проходить шлях 4,125 км.

 

 

 

 

 

 

Задача. 5.Вкладник поклав до банку 5000 грн. під 8% річних. Скільки грошей буде

 на його рахунку через  чотири роки?

Розв’язання

Нехай а₁ – початковий капітал вкладника, тобто a₁=5000 грн

. Позначимо а₁, а₂, а₃,  а₄,    – кількість грошей на рахунку відповідно в кінці  кожного року. Послідовність а₁, а₂, а₃, а₄ є геометричною прогресією ,

 знаменник якої дорівнює 108%=1,08,        q=1,08  , n=4,   а ₄₌ а_{1*  q}³

Тоді , а₃ =а_{1*  q}²   ,   а ₄₌ а_{1*  q}³ =5000*(1,08)³=5000*1,259712=6298,56(грн)

Відповідь: 6298,56 грн.

 

 

 

Задача.6 Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов’язані заплатити фірмі 1к, за другий –

 2к, за третій – 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів

  за таких умов?

Розв’язання:

 

Від фірми отримуємо – 2000 грн  за 20 днів, а повинні будемо заплатити за це суму,

Що дорівнює S ₂₀  для ^{геометричної} прогресії, де b =1   q=2  . Тобто:

S ₂₀ = ( b ₁ (q²⁰ -1)): (q-1)= (1 (2²⁰ -1)): (2-1)= 2²⁰ -1= (2⁵ )⁴ -1=32⁴ -1=1024² -1=1048576-1=

1048575(коп.)=10485грн. 75к

Прогресії застосовуються не тільки в математиці.

 

 

 

 

Прогресії в біології. Багатьом здається, що математика, це така наука, яка не має

 жодного зв’язку з природою, Англійський соціолог Т. Мальтус та творець теорії

походження видів Чарльз Дарвін вважали, що всі організми в природі мають

тенденцію розмножуватися в геометричній прогресії.

Розглянемо, наприклад, квітку маку. «Достигла маківка повна крихітних зернинок» –

К. Ліней. Підрахували, що вона містить більше 3000 зернинок. Що звідси випливає?

Те, що коли б навколо нашої макової рослини була б достатня площа відповідної землі, кожна зернинка, яка впала, проросла б, і наступного літа на цьому місці виросло

 б вже 3000 маків.

Кожна з 3000 рослин дасть не менше однієї маківки, яка містить по 3000 нових

рослин і т.д.

    a ₁   рік -3000;

    a ₂  рік 30003000=9 000 000;

    a ₃    рік 90000003000=27 000 000 000;

   a 4    рік  27 000 000 000 =81 000 000 000 000

На п’ятому році макам стане тісно на земній кулі, оскільки число рослин

дорівнюватиме 243 000 000 000 000 000.

Поверхня ж усієї суші, тобто материків та островів земної кулі, становить лише

135 мільйонів кв.км., приблизно в 2000 разів менше, ніж виросло б рослин маку.

Чому ж у дійсності ми не спостерігаємо такого надзвичайно швидкого розмноження?

– Тому що величезна кількість насіння гине не проростаючи!

Це правильно не тільки для рослин, а й для тварин, комах та інших особів

  5 .   Робота з підручником №786

   _b1=5  , q=2 .   Через 1 хв-    _{b1*  q=5* 2 =10;}

   Через 5  хв-  _b1*2³ =5*8=40

   Через 6  хв-  _b1*2⁶ =5*64=320

  _{відповідь: 10 клітин,40 клітин,320 клітин}

  VІ.   Підсумок уроку.Рефлексія                                  

 Продовжте речення:Сьогодні на уроці я дізнався …
Мені сподобалось…                                              

Сьогодні на уроці я навчився…

На мою думку можна було б…

Тепер я знаю, що…

                                                                                                      

       VІІ. Домашня робота 

  Повторити § 20,виконати №824,
  Задача 7. Криниця
Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 грн., а за

 кожний наступний на 20 грн. більше, ніж за попередній метр.

Скільки вони одержать за копання 10-метрової криниці? (1200грн.)

 

 

 

 

 

 

   Задача 8. Побудова теплиці

Для теплиці потрібно виготовити 7 вертикальних стержнів з дроту так, щоб

 найменший мав довжину 5 дм, а кожний наступний був на 2 дм довший. Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів. (77 м)


 

 

 

 

 

 

 

    При підготовці                                                           Підготувала

                                                                                                Уварова Т.О.

використано ресурси інтернету