урок, Тема: Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Лекція № 2

Тема: Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Системи лінійних рівнянь.
2. Матричний спосіб розв’язання системи лінійних рівнянь.
3. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
4. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

1.Системи лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку можна привести до стандартного вигляду

Відмітимо, що коефіцієнт а_ij при невідомих мають два індекси: перший індекс і вказує номер рівняння, а другий - j вказує номер невідомого, при якому знаходиться цей коефіцієнт.

Так, а₃₂ є коефіцієнт третього рівняння при другому невідомому. Числа в_1, в₂, ..., в_n вільні від невідомих і утворюють праву частину системи рівнянь.

Система (1) зветься неоднорідною, якщо хоч би одне з чисел в_1, в₂, ..., в_n не дорівнює нулю.

Система зветься однорідною, якщо в₁ = в₂= ...= в_n = 0.

Коефіцієнти   системи   (1)   утворюють основну матрицю системи

Визначник цієї матриці називають основним визначником  системи (1) і позначають |А| або (А) або просто .

Для правильного запису основної матриці або основного визначника системи треба бути уважним і записати в і рядок коефіцієнти і-го рівняння, а в к стовпець коефіцієнти при х_к. Якщо в деякому рівнянні немає якогось невідомого, то це означає, що відповідний коефіцієнт дорівнює нулю.

Наприклад, основною матрицею системи

тому, що друге рівняння системи записано у нестандартному вигляді (невідомі х₁ та х₂ переставлені), а в третьому рівнянні відсутнє невідоме х₂.

Розв'язком системи (1) називають таку сукупність невідомих (х₁, х₂, ..., х_n), яка при підстановці в рівняння системи перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Це означення дозволяє перевіряти правильність знайденого розв'язку системи.

Якщо А - основна матриця системи (І),

матриця - стовпець правих частин рівнянь системи (1), то систему (1) можна записати у матричному вигляді

2.Матричний спосіб розв’язання  системи лінійних рівнянь

Нехай задано систему:  (2)

Введемо матриці

 А=;   Х=;     В=

Матрицю А, складену з коефіцієнтів (2), називають матрицею  або основною матрицею системи, матрицю Х  - матрицею з невідомих, а матрицю В  - матрицю з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему (2) можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею Х: АХ=В         (3).

Припустимо, що матрицю А системи (2) має обернену матрицею А^-1; помножимо обидві частини рівності (3) на А^-1 зліва: А^-1АХ=А^-1В.

Оскільки А^-1А=Е    і   ЕХ=Х,  то  Х =А^-1В         (4)

Формулу (4) називають матричним записом розв‘язку системи  (2) або розв’язком матричного рівняння  (3).

Зауважимо, що розв’язок системи рівнянь у матричній формі  можливий лише тоді, коли матриця системи невироджена.

3. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Якщо основний визначник (А) неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами

де _к - допоміжний визначник, який одержується шляхом заміни к-го стовпця визначника (А) стовпцем вільних членів системи.

Задана неоднорідна система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з 3 невідомими х, у та z. Основний визначник цієї системи

Отже, усі вимоги правила Крамера ця система задовольняє, тому її розв'язок можна знайти за формулами (3). Замінюючи певний стовпець визначника (А) стовпцем вільних членів системи, знайдемо допоміжні визначники:

Підставимо знайдені визначники до формул (3) і одержимо:

Підставляємо знайдені х, у та z  в ліві частини  рівнянь заданої  системи:

Розв'язком заданої системи буде (1, -1, 0).

4.Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв'язувати будь-які системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна методом Гаусса (виключення невідомих).

Суть методу Гаусса - зведення системи шляхом елементарних перетворень до такого вигляду системи, коли усі коефіцієнти, що знаходяться нижче головної діагоналі основної матриці, дорівнюють нулю.

Щоб виключити невідоме х₁ з другого та третього рівняння віднімемо від них перше рівняння і одержимо систему

В останній системі виключимо х₂ із третього рівняння шляхом множення другого рівняння на (-1/3) і додаванням до третього рівняння. Одержимо:

Вважаємо х₄ = С (стала), тоді з третього рівняння одержимо х₃ = - 2 - 5С.

Підставимо це значення х₃ та х₄ = С в друге рівняння і одержимо:

Тепер   підставимо  в  перше рівняння  х₂, х_3,  х₄  і одержимо

Таким чином, задана система трьох лінійних рівнянь з 4 невідомими має одну вільну невідому Х₄. Розв'язком цієї системи буде