Лекція № 4 Тема: Пряма на площині. Лінії другого порядку.

Лекція  № 4

Тема: Пряма на площині. Лінії другого порядку.

1.Різні види рівнянь прямої на площині.

2.Кут між прямими. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Відстань від точки до прямої.

3.Коло. Еліпс. Гіпербола. Парабола.

1.Різні види рівнянь прямої на площині. 

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

                           y = kx + b                                                            (1)

де  k=tg ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 1,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.1.б-г.

     y                        y                          y                               y

      b                                                                  а

                                                                                                b

                                    135⁰

                x                                 x                               x                                   x

           а                         б                            в                                 г

                                      Рис.1

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

                               Ax + By + C = 0                                              (2)

Якщо B0 , то рівняння (2) можна перетворити у (1). 

Приклади.  Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tg= -1, отже =135⁰ (рис. 2,а). В другому прикладі маємо y=2x+2 , отже, k=tg=2 (рис. 2,б).

                   y                                                          y

                                                                                          2x-y+2=0

 y=1-x                                                        

                       1                                                     2

                            =135⁰

                               1                       x               -1                                  x

                             а                                        б

                                                 Рис. 2

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x₁;y₁) та (x₂;y₂):

                                 ,                                           (3)

або, що те саме,

                              .                                         (3)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁;y₁) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

                            y-y₁=a(x-x₁)                                                             (4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁;y₁) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

                                                                            (5)

Рівняння прямої у відрізках

                                                                                              (6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

                              -2x+y=2,

                              .

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

                               y=2x+2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x₁;y₁)=(-1;0) та (x₂;y₂)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

                           .

2.Кут між прямими. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Відстань від точки до прямої.

Кут між прямими  y=a₁x+b₁ та y=a₂x+b₂  обчислюється за формулою

Прямі y=a₁x+b₁ та y=a₂x+b₂ отже, є паралельними, якщо a₁=a₂, та перпендикулярними, якщо  a₁a₂ = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

                       .

Відстань від точки M(x₁;y₁) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою

                            .

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар  залежно від його ціни p на ринку задається формулою  p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок)  залежно від  ціни задає формула  p=p(Q)=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.3).

                             p

                         500

                                                                                   Пропозиція

                            p^*

                                                               Попит

                           50

                                                     Q^*                            Q

                                             Рис. 3.

 Ціну рівноваги p^* (а також рівноважний випуск Q^*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

                       .

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p^*=200  та  Q^*=30 .

Приклад.  Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V_c=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F_c=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

                T_c = F_c + QV_c = 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

                T_R = pQ =10Q .

Визначимо такий випуск Q^*, за якого доход фірми збігається з її витратами:

                  T_R = T_C ,

                 10Q = 40+5Q ,

                  Q^* = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q^*>8 і далі необмежено зростає (рис. 4).

                    T_c,T_R

                                                   T_R(доход)=10Q

                                                        T_c(витрати)=40+5Q

                         40

                                     Q^*=8                          Q

                                               Рис. 4.

3.Коло. Еліпс. Гіпербола. Парабола.

Розглянемо основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні  x²  і/або  y².

Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд

                                    (x-a)²+(y-b)²=r² .

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

                                    x²+y²=r² .

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується  так (рис. 5):

                                                                      A(x;y)

                                                                         c

                                                   F₁                F₂

                                            Рис. 5.

Точки  F₁(-c;0) та F₂(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

•            для довільної точки A на еліпсі ;
•            c²=a²-b².

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F₁ та F₂ є сталою) має вигляд (рис. 6):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

•            для довільної точки A на гіперболі  ;
•            c²=a²+b².

                                                      y

                                                                           A(x;y)

                                 F₁(-c;0)                              F₂(c;0)       х

                                              Рис. 6.

Рівняння параболи  (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 7): y = 2px.

                                           B                           A(x;y)

                                                      p/2          p/2

                                                                                    F 

                                                    Рис. 7.

Тут для довільної точки A(x;y) параболи y = 2px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .