Урок-узагальнення та систематизації знань "Арифметична прогресія та її застосування"

Тема. Арифметична прогресія та її застосування.

Мета.   Узагальнити  знання і уміння учнів про арифметичну прогресію,    

   Формувати в учнів уміння і навички творчого застосування знань  

   з теми  у нестандартних умовах; показати практичну спрямованість

   математичних знань.

   Розвивати творче мислення учнів, увагу, кмітливість.

   Виховувати інтерес до математики, культуру спілкування.

Тип уроку : узагальнення знань.

Обладнання : дидактичний матеріал, комп’ютерна презентація.

 

Девіз: « …Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому».

                                                                  М.П.Єругін                          

                                                                  

                      Організація класу до уроку

            До цього уроку учні повинні повторити весь теоретичний матеріал з даної теми, а також переглянути  у своїх  зошитах  практичні завдання , які вони виконували  по даній темі. Сильнішим учням, які вміють творчо  працювати , пропонується вибрати цікаві задачі , які розв’язуються шляхом застосування формул , властивостей арифметичної прогресії.

                                              Хід  уроку

І. Постановка мети і завдань уроку

            На сьогоднішньому уроці ми узагальнимо свої  знання про арифметичну прогресію , покажемо практиктичне застосування даної теми на прикладних  задачах.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів  ( у формі  бліц-опитуванн

1. Сформулювати  означення арифметичної прогресії.
2. Яке число називають різницею арифметичної прогресії?
3. Яка характерна властивість арифметичної прогресії?
4. Записати формулу n -го члена арифметичної прогресії.
5. Записати формули суми n перших членів арифметичної прогресії.

 

 

                  Усне розв’язування вправ

1. Назвати три наступні члени  арифметичної прогресії:

1; 5; 9; …

2. Чи буде  дана послідовність арифметичною прогресією?

0,5;  1;  1,5;  2;  3 …

3. Знайти різницю  арифметичної  прогресії:

-2;  -4;  -6;  -8;  -10…

4.  Знайти невідомий член прогресії :

             2,6;  х;  2,8;  3; …

5.a₁ = 5,  d=2.  Знайти  11-й  член арифметичної прогресії.

      6.  Знайти суму перших двадцяти п’яти натуральних чисел.

ІІІ.   Виконання  учнями тестів.

«…покажи мені -  і я запам’ятаю, дай мені діяти самому – і я навчусь…»                        

                                китайська мудрість

В – І    Прізвище  та  ім’я  учня:
1.	Яка з послідовностей є арифметичною прогресією? А)-1; -2; -4; …   Б)1;  3,5;  4; …    В) -5; -10;  -15…     Г)-1; 3; -6…
2.	Знайти різницю арифметичної прогресії:     -10; -8; -6;… А) -2;   Б) -4;    В) 2;   Г) 0,8.
3.	Знайти невідомі члени прогресії:  Х; -14; -12; У; -8; … А) -16;  -10;  Б)  -20; -10;  В) 16; 10;  Г)  16; 10.
4.	В арифметичній прогресії   ():   =5;  d =0,6 . Знайти  11 член прогресії. А) 11;  Б) 5,6;  В)  10,6;  Г)  15.
5.	Знайдіть перший член арифметичної прогресії ( , якщо =25; d= -2. А) 40;  Б) -41;  В)41;  Г)  -31.
6.	Знайти суму перших дев’ятнадцяти  натуральних чисел. А)  190;  Б) 200;  В) 180;  Г) 25.
7.	Знайти  суму одинадцяти  перших  членів  прогресії: -1; -2; -3; -4;… А) 11;  Б) -33;  В) 543;  Г) -66.
8.	Знайти суму натуральних  чисел  з 11 по 35 включно. А)570 ; Б)  675;  В)  575;  Г) 745.

 

 

 

В – ІІ   Прізвище  та  ім’я  учня:
1.	Яка з послідовностей є арифметичною прогресією? А)1; 2; 6; …   Б)1;  2,5; 4; …    В) -10; -100;  -200…     Г)-1; 3; -6…
2.	Знайти різницю арифметичної прогресії:     -12; -10; -8;… А) -2;   Б) -4;    В) 2;   Г) 0,8.
3.	Знайти невідомі члени прогресії:  Х; -14; -12; У; -8; … А) -15;  -10;  Б)  -20; -10;  В) 16; 10;  Г)  -16;  -10
4.	В арифметичній прогресії   ():   =5;  d =0,6 . Знайти  21 член прогресії. А) 11;  Б) 5,6;  В)  10,6;  Г)  17.
5.	Знайдіть перший член арифметичної прогресії ( , якщо =25; d= -2. А) 40;  Б) 41;  В) -41;  Г)  -61.
6.	Знайти суму перших двадцяти  дев’яти   натуральних чисел. А)  190;  Б) 435;  В) 180;  Г) 25.
7.	Знайти  суму  перших двадцяти одного  членів  арифметичної  прогресії: -1; -2; -3; -4;… А) 11;  Б) -33;  В) 543;  Г) -231.
8.	Знайти суму натуральних  чисел  з 11 по 29 включно. А) 380;  Б)  675;  В)  575;  Г) 745.

 

ІV.   Історична довідка

"Прогресія", "прогрес", "прогресивний" - слова одного кореня. Прогресія - це послідовність, побудована за таким законом, який дає змогу продовжувати її необмежено, тобто рухатися вперед.

 

«І не бояться математики  ні  труднощів, ні перешкод, а ні тенет.                      Бо знають точно    «Прогресіо – це рух вперед»

Прогресія - явище без перебільшення, унікальне. Історія виникнення прогресії сягає глибини віків.

Перші задачі на прогресії пов'язані із запитами господарського життя і суспільної практики (розподіл спадщини, одержання винагороди), із спостережень над явищами природи, з досліджень суспільно-економічних явищ.

 

Розглянемо приклади задач  прикладного характеру

 

V. Творче  застосування  ( узагальнення знань, навичок та умінь)

        Доповідачі  виступають зі своїми повідомленнями. У кінці кожного виступу  учні задають  доповідачу запитання.

 

                          Виступ перший

    

                        Історична задача    

 

             Хтось продавав коня. Просив за нього 20 рублів. Купець, який забажав  купити коня, обурився, що дорого.  «Добре, - відповів продавець. Бери коня даром , а мені заплати тільки за цвяхи , на його підковах. А цвяхів у всякій підкові 6. І будеш ти мені платити за них у такий спосіб: за перший цвях – 10 коп., за другий – 20 коп., за третій цвях  - 30 коп. і.. т.д.» Купець, подумавши,  що заплатить набагато менше, чим 20 рублів, погодився. Чи проторгувався  покупець?

 

Відповідь. Проторгувався, заплативши 30 руб.

                             

 

                                         

Виступ другий

 

Історична задача  про поділ хліба

 

Задачу  про  поділ  хліба  було знайдено у знаменитому єгипетському папірусі Рінда. Цей  папірус  був  знайдений  Ріндом  наприкінці  минулого  століття. Складений  близько  2000 років до н.е. і списаний з іншого , ще давнішого математичного твору, який   належить,  можливо ,  до третього тисячоліття до н.е.

 

 

Задача про поділ хліба.              

 

         Сто мір хліба слід розділити між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки само більше хліба від першого , на скільки  третій більше від другого, четвертий  більше від третього , п’ятий від четвертого. Крім того  двоє перших  повинні одержати хліба у 7 раз менше від трьох інших. Скільки мір хліба треба дати кожному

 

                      

 

                              

  Розв’язання

 

          Кількості  мір хліба , одержані  людьми, складають зростаючу арифметичну прогресію.

 

Позначимо її перший член  х , а різницю у.

 

х  мір – одержав перший;

(х + у)мір – другий;

(х+ 2у)мір – третій;

( х+3у)мір – четвертий;

(х+4у)мір – п’ятий

Згідно умови маємо систему рівнянь :

 

х+(х+у) + (х+2у) +(х+3у)+ (х+ 4у) = 100;

7(х+х+у) = ( х+ 2у) + (х+ 3у) + (х + 4у) .

 

Відповідь:  ; ;  20;  ;  .

 

                              

 

Виступ  третій

 

                                          Задача                                                             

            Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну – на 3 м    менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

                       Розв’язання

Що дано?         a₁ =15,   d = -3,   a_n = 0,    

Що знайти?      S_n - ?                               

Розв’язання.               Як знайти п?           a_n = a₁ + d(n – 1),

                                        15 – 3(n -1) = 0,

                                         n  = 6,

                                       S₆ =   45

Відповідь: 45 м.  

                Задача Феофана Прокоповича   

         Якась людина має багато коней і усім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкращий 55 золотих.  І ціна від одного до другого  коня  весь час піднімається на 3 золотих. Питаємо  скільки ж усього було коней?

                                  

 

Відповідь.     18 коней.

 

 

Задача про криницю

            Людям, які копають криницю, обіцяно за перший її метр заплатити 300 грн., а за кожний інший на 200 грн. більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать за копання 12-метрової криниці? 

Відповідь.  16 800 грн.

 

VІ. Обговорення виступів

Учні висловлюють свої враження від виступів, аналізують їх, вносять доповнення, роблять поправки.

 

VIІ. Підсумок уроку

 

Вчитель підсумовує учнівські виступи та доповнення до них, вказує на культуру математичного мовлення і мовлення взагалі, на лаконічність та ясність виступів та відповідей на запитання. Проводиться оцінювання учнів. Решта учнів отримують оцінки за тести, враховуючи  усні відповіді на уроці.