Арифметична прогресія. Формула n-го члена. Властивості та ознаки.

Тема уроку: Арифметична прогресія.

Розглянемо такі послідовності:1, 2, 3, 4, 5, ….2, 4, 6, 8, 10, …1, 3, 5, 7, 9, …Кожний наступний член послідовностіотримано в результаті додавання до попереднього одного й того самого числа. Для першої послідовності це числодорівнює 1, для другої послідовності це число дорівнює 2, для третьої це число дорівнює 2.

Такі послідовності називають арифметичними прогресіями(від лат. progressio – рух уперед). Означення. Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого доданоодне й те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії.

Різницю арифметичної прогресії (аn)позначають буквою d (першою літерою лат. слова differentia - різниця). Щоб знайти d (різницю (аn)) потрібновід наступного члена послідовностівідняти попередній:d = а2 – а1= а3 – а2= а4 – а3= … = а n + 1 – а n . d = а n + 1 – а n .

З означення арифметичної прогресії:а2 = а1 + d; а3 = а2 + d = а1 + 2d;а4 = а3 + d = а1 + 3d; а5 = а4 + d = а1 + 4d; …Дану формулу називають формулою n-го члена арифметичної прогресії.аn = а1 + (n - 1)d;

Властивості арифметичної прогресії. Будь-який член нескінченноїарифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із ним членів: Ця властивість є характеристичною властивістю арифметичної прогресії.аn = аn - 1 + аn + 1 2.

Для тих, хто хоче знати більше!d = аn - аm n - m . Різницю арифметичної прогресії можназнайти також за такою формулою: Цю формулу використовуємо, коли відомі будь-які члени арифметичної прогресії. аn = аm + (n - m)d;Формула зв’язку між будь-якимичленами арифметичної прогресії:

Для тих, хто хоче знати більше!Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох рівновіддалених від нього членів прогресії. Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, є величиною сталою: а1 + аn = ak + аn + 1 – k = … = 2а1 + d(n - 1) - const. аk + аl = am + аn, k + l = m + n.

Ознаки арифметичної прогресії: Якщо будь-який член числової послідовності, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох будь-яких рівновіддалених від нього членів послідовності, то така послідовність є арифметичною прогресією.

Ознаки арифметичної прогресії: Якщо сума будь-яких двох членів скінченої числової послідовності, рівновіддалених від її кінців, є величиною сталою, тобто:а1 + аn = ak + аn + 1 – k = … = const, то така послідовність є арифметичною прогресією.

Ознаки арифметичної прогресії: Якщо n – ий член послідовності визначається лінійно від n функцією, тобто an = dn + b, то числова послідовність є арифметичною прогресією, причому кутовий коефіцієнт d – є різницею прогресії.

№ 31.9(1) Чи є членом арифметичної прогресії (аn) число 20,4, якщо а1 = 11,4, а різниця прогресії d = 0,6? Розв’язування Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії: аn = а1 + d(n - 1). 20,4 = 11,4 + 0,6(n - 1), 0,6n = 9,6, n = 16. Відповідь: так, n = 16.

№ 31.13 Знайдіть перший член арифметичної прогресії (аn), якщо а5 = 11, а11 = - 7. Розв’язування Використаємо формулу : Відповідь: 23.а5 = а1 + (5 - 1) d; 11 = а1 -12; а1 = 23. Використаємо формулу : аn = аm + (n - m)d; d = аn - аm n - m .d = -7 - 11 11 - 5 ,d = - 3.

№ 31.18 Скільки додатних членів містить арифметична прогресія (аn): 5,2; 4,9; 4,6, … . Розв’язування Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії: аn = а1 + d(n - 1). За умовою: аn > 0. Знайдемо: d = а2 – а1 = 4,9 - 5,2 = - 0,3. 5,2 - 0,3(n - 1) > 0, 0,3n < 5,5, n < 18 , 13 Оскільки n - натуральне число, то n = 18. Відповідь: n = 18.

№ 31.38 При якому значенні х значення виразівх2 – 4; 5х + 3; 3х + 2 будуть послідовними членами арифметичної прогресії? Розв’язування Використаємо характеристичну властивістьарифметичної прогресії: аn = аn - 1 + аn + 1 2.5х + 3 = х2 – 4 + 3х + 2 2.

Відповідь: - 3; - 2; - 1 або 60; 43; 26.х2 – 4 + 3х + 2 = 10х + 6,х2 – 7х - 8 = 0,a = 1, b = - 7, c = - 8,a - b + c = 0, то х1 = - 1, х2 = 8. При х1 = - 1, маємо: - 3; - 2; - 1. При х2 = 8, маємо: 60; 43; 26.

Готуємось до ЗНО 2023!За якого від’ємного значення х значення виразів x2 – 4, 3 – 5х та 2 – 3 х будуть послідовними членами арифметичної прогресії? (16,4%)В арифметичній прогресії (ап) задано а1 = 4, а2 = - 1. Укажіть формулу для знаходження n – го члена цієї прогресії. [Т.2013.]АБВГДап = - 1 + 5nап = 7 - 3nап = 5 - nап = 1 + 3nап = 9 - 5n

Готуємось до ЗНО 2023!В арифметичній прогресії (аn) а2 = - 9, а4 = - 4. Визначте різницю цієї прогресії. АБВГД2,5 6,5- 2/3; 2/3- 2,5- 6,5 В арифметичній прогресії (ап): а1 = - 4; а5 = а4 + 3. Визначте десятий член а10 цієї прогресії. (51,8%)АБВГД - 31- 27262723

Домашня робота:§ 7, п. 31, № 31.4 (1), № 31.7 (1), № 31.10, № 31.14, № 31.20, № 31.39.

Дякую за увагу!

Здобувайте знання дистанційно із задоволенням!Бережіть себе!Мийте руки!Слухайте маму!

Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею №1 ЖМРПанським Володимиром Анатолійовичем2021